优化模型实例

摘要本文主要研究人力资源安排的最优化方案问题。根据问题1中所提供的各专业人员结构及工资情况、不同项目和各种人员的收费标准、各项目对专业技术人员结构的要求，以及在问题2中各专业人员的四种组合情况分别建立了整数规划模型。在此基础上运用LINGO对模型进行求解，得到数学系每天的最大直接收益为40106元，以及专业人员工作天数有差异时一星期内的最大收益196070元，同时满足了各项目对专业技术人员的数量和结构要求。然后对各专业技术人员人数改变对收益的影响和最优解不变条件下项目薪酬的变化进行了灵敏度分析。最后在适当简化模型的同时，对模型进行了改进和推广，使得该模型在解决实际问题时更具有可信性和可用性。关键词：人力资源安排整数规划灵敏度分析人员能力系数LINGO1一问题重述某学校数学系现有64名教师，不同职称结构的专业技术人员相应的日工资水平标准不同。目前，该系承接有4个项目，其中2项项目实践，需要到现场监理，分别在A地和B地，主要工作在现场完成；另外2项是理论研究，分别在C地和D地，主要工作在办公室完成。由于4个项目来源于不同客户，并且工作的难易程度不一，因此，各项目的合同对有关技术人员的报酬标准不同。为了保证项目质量，各项目中必须保证各职称人员结构符合客户的要求。根据题目中的表3可以看到，4个项目地对技术人员总人数都有限制；各项目客户对教授的配备有不能少于一定数目的限制，也不能超过其最高要求；对于项目D，由于技术要求较高，人员配备必须是讲师以上，助教不能参加；而且，C、D项目需每人每天支付50元的管理费开支。（1）、4个项目总共同时最多需要的人数是17+20+15+18=70，多于数学系现有人数64。因此，要求通过建立合理的数学模型，来合理分配现有的技术力量，使数学系每天的直接收益最大，并且满足各项目对专业技术人员的要求。（2）、以一个星期为周期，每个教授最多只能工作四天，每个副教授最多只能工作5天，讲师和助教每天都可以工作。此时又如何合理的分配现有的技术力量，使数学系一个星期的直接收益最大，并且满足各项目对专业技术人员的要求？二问题分析在本问题中，要求合理的分配人力资源，但是问题中含有复杂的约束条件，不仅要使得数学系每天的直接收益达到最大，而且要满足了各项目对专业技术人员的要求。因此，本问题的关键在于两个方面：（1）尽可能的把数学系的现有人员都安排到4个项目地，因为各专业技术人员的项目报酬都比其相应的工资要高，故对每个专业人员均能获得直接收益；（2）要对人员的分配做到最优，因为各专业技术人员的项目报酬标准各不相同，所以不同的分配方案的直接收益可能不同；由于人员安排不可能是小数，因此本问题应该是一个整数规划问题，数学系的直接收益是目标函数，而对于约束条件主要涉及到以下几个方面：（1）各项目对人员总数的约束，各项目的总人数不能超过规定的限制；（2）各项目对人员结构的约束，比如，各项目对教授的配备不能少于一定的数目，也不能超过一定的的限度。对于项目D，由于技术要求较高，助教不能参加，各项目对其他职称人员也有不同的限制或要求；（3）数学系的人员总数的约束，这主要表现在现有人数和工资两个方面，数学系现有人员总数64人，少于个项目最多需要的人数70人，而数学系要发放给专业人员工资，这就使得数学系的直接收益减少；（4）管理费开支，C、D两项目要求每人每天有50元的管理费开支，所以分配在C、D两地的人员数越多，也将使得数学系的直接收益降低。对于问题2中，由于在一个星期内，各人员的工作天数有限制，所以必须考虑到在工作天数的限制下，如何安排各专业人员在一星期内进行工作，使得数学系在一星期内的直接收益最大，同时满足问题1中的相应要求。2可以看出，要使得数学系的直接收益最大，就应该使得总项目薪酬最高，而管理费和工资开支最低，用公式可以表示为：费开支报酬－人员工资－管理直接收益＝项目所得总三模型假设与符号说明3.1模型假设（1）假设各数学系的人员，无论是否安排到4各项目工作，都应发放工资；（2）假设在一段时间内，各专业技术人员的收费和工资不发生变化；（3）C、D两项目的除管理费外没有其他费用开支，并且人员不在C、D两地工作时不开支管理费；（4）同一级别的专业技术人员的工作能力是没有差别的；（5）在一段时间内，公司不会再增加和减少各专业技术人员的人数；（6）在一星期这个周期内的某一天，不因某职称的专业技术人员不工作而使得各项目的人员结构的要求受到影响。3.2基本符号定义与说明4,3,2,1i----分别表示教授、副教授、讲师和助教；4,3,2,1j----分别表示A,B,C,D四个项目所在地；R----数学系的直接收益，单位为元；ijc----表示第i人员对第j项目的收费，其矩阵形式记为ijijcC)(＝；ijx----表示第i人员安排在第j项目的人数，ijx为整数；ia----表示第i人员的工资，单位元/天；ib----表示第i人员的现有数量；jd----表示第j项目限制的人数；ijn----表示项目地j对人员i的最低要求，其矩阵形式记为ijijnN)(＝；ijm----表示项目地j对人员i的最高要求，其矩阵形式记为ijijmM)(＝；四模型建立及分析根据对问题的分析和模型假设，综合考虑各因素的影响，分别对问题1和问题2建立整数规划模型。4.1模型一：技术人员的工作天数无差别在各专业技术人员工作天数相同和现有人员总数的情况下，同时要保证各项目地对总人数和人员结构的限制，以每天的直接收益最大为目标函数，建立模型。资－管理费开支目所得总报酬－人员工数学系的直接收益＝项3其中，项目所得总报酬可以表示为：ijijijxc4141，管理费为：4143)(50iiixx，在人员数不变动时，人员工资41iiiba是不变的。在目标函数下必须考虑如下的约束条件,数学系总人数的约束：ijijbx41，4,3,2,1i各项目对总人数的约束:jiijdx41，4,3,2,1j各项目对人员结构的约束:ijijijmxn，4,3,2,1i，4,3,2,1j因此，可以将此情况下的模型一表示为：目标函数Max41434141411)(50iiiiiiijijijxxbaxcR＝(1.1)s.t.ijijbx41，4,3,2,1i(1.2)jiijdx41，4,3,2,1j(1.3)ijijijmxn，4,3,2,1i，4,3,2,1j(1.4)ijx取整数，4,3,2,1i，4,3,2,1j(1.5)4.2模型二：技术人员的工作天数不相同在一个星期内，由于各专业技术人员的工作天数不同，所以在问题1的情况下还应考虑由于工作天数不同而使最优方案的改变。对问题进行分析，可以得到下述结论。以一个星期为一个周期，为了获得最大的直接收益，数学系的专业技术人员的工作天数都应该为最大。事实上，对于每个专业技术人员，其项目所得报酬减去工资和管理费仍然能够获得直接收益，即050iijac。如果某专业技术人员在一星期内的工作天数没有达到最大，即使是在C、D两项目地的管理费可以不开支，数学系同样要给该技术人员发放工资，而技术人员的工资均多于管理费，也即050ia，这样数学系的直接收益必然要减少。所以，为了获得最大的直接收益，各专业技术人员的工作天数都应该达到最大。4因此，在一个星期内，每个教授应该工作4天，每个副教授应该工作5天，讲师和助教一周7天都要工作。在上面结论的条件下，数学系人员的组合情况只有以下四种：教授、副教授、讲师和助教；教授、讲师和助教；副教授、讲师和助教；讲师和助教。而且，在一星期内，至少有2天是在教授、副教授、讲师和助教的组合情况下工作，至少有1天是在副教授、讲师和助教的组合情况下工作。对四种不同的组合情况分别进行建模求解。4.2.1情况1：教授、副教授、讲师和助教都工作这种情况下，由于各专业技术人员的构成与问题1完全相同，所以此时的模型与模型一完全相同，各人员的分配情况也相同。4.2.2情况2：只有副教授、讲师和助教工作在只有副教授、讲师和助教工作，教授不工作时，各项目对人员构成的要求要改变为下表所示的情况：表1副教授、讲师和助教工作，教授不工作的人员结构ABCD副教授讲师助教总计≥2≥2≥1≤16≥2≥2≥3≤18≥2≥2≥1≤132～8≥1--≤17(注：其中的总人数要求要相应得减去对教授的最低人数要求)此时，只需对模型一稍作修改即可得到该情况下的模型二，如下：目标函数Max4243414241)2(2)(50iiiiiiijijijxxbaxcR＝(2.1)s.t.ijijbx41，4,3,2i(2.2))2(42jiijdx，4,3,2,1j(2.3)ijijxn)2(，4,3,2i，4,3,2,1j(2.4)824x(2.5)044x(2.6)ijx取整数，4,3,2i，4,3,2,1j(2.7)其中(2.5)和(2.6)分别为项目D对副教授和助教的人员要求，41iiiba表示对于不工作的教授仍然要发放工资；(2.1)、(2.4)、(2.3)中的)2(ijc、)2(jd、)2(ijn分5别为对应于此模型下的取值。4.2.3情况3：只有教授、讲师和助教工作与4.2.2情况类似，在只有教授、讲师和助教工作，副教授不工作时，各项目对人员构成的要求要改变为下表所示的情况：表2教授、讲师和助教工作，副教授不工作的人员结构ABCD教授讲师助教总计1～3≥2≥1≤162～5≥2≥3≤18＝2≥2≥1≤131～2≥1--≤16(注：其中的总人数要求要相应得减去对副教授的最低人数要求)此时，只需对模型一稍作修改即可得到该情况下的模型三，如下：目标函数Max42,1434142,141)3(3)(50iiiiiiiiijijijxxbaxcR＝(3.1)s.t.ijijbx41，4,3,1i(3.2))3(42,1jiiijdx，4,3,2,1j(3.3)ijijxn)3(，4,3,1i，4,3,2,1j(3.4)044x(3.5)ijx取整数，4,3,1i，4,3,2,1j(3.6)其中(3.5)项目D对助教的人员要求，41iiiba表示对于不工作的副教授仍然要发放工资；(3.1)、(3.4)、(3.3)中的)3(ijc、)3(jd、)3(ijn分别为对应于此模型下的取值。4.2.4情况4：只有讲师和助教工作在只有讲师和助教工作，教授和副教授不工作时，各项目对人员构成的要求为下表：6表3讲师和助教工作，副教授和教授不工作的人员结构ABCD讲师助教总计≥2≥1≤14≥2≥3≤16≥2≥1≤11≥1--≤15(注：其中的总人数要求要相应得减去对教授和副教授的最低人数要求)此时，只需对模型二或模型三稍作修改即可得到该情况下的模型四，如下：目标函数Max4343414341)4(4)(50iiiiiiijijijxxbaxcR＝(4.1)s.t.ijijbx41，4,3i(4.2))4(43jiijdx，4,3,2,1j(4.3)ijijxn)4(，4,3i，4,3,2,1j(4.4)044x(4.5)ijx取整数，4,3i，4,3,2,1j(4.6)其中(4.5)为项目D对助教的人员要求，41iiiba表示对于不工作的教授和副教授仍然要发放工资；(4.1)、(4.4)、(4.3)中的)4(ijc、)4(jd、)4(ijn分别为对应于此模型下的取值。五模型求解5.1模型一的求解模型一中有约束条件ijijijmxn，4,3,2,1i，4,3,2,1j，其中ijn表示项目地j对人员i的最低要求，其值是表3中各项目对专业技术人员要求的最小值，即，4444440131122222221221)(nN，ijm表示项目地j对人员i的最高要求，其中,,,,24141211mmmm为相应人员要求