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§8.2空间几何体的表面积与体积考点探究•挑战高考考向瞭望•把脉高考§8.2空间几何体的表面积与体积双基研习•面对高考柱、锥、台与球的侧面积和体积双基研习•面对高考基础梳理面积体积圆柱S侧＝________V＝Sh＝_______圆锥S侧＝_____V＝13Sh＝13πr2h＝13πr2l2－r2圆台S侧＝__________V＝13(S上＋S下＋S上·S下)h＝13π(r21＋r22＋r1r2)h2πrhπr2hπrlπ(r1＋r2)l面积体积直棱柱S侧＝___V＝_____正棱锥S侧＝12ch′V＝______正棱台S侧＝_________V＝13(S上＋S下＋S上·S下)h球S球面＝4πR2V＝______chSh13Sh12(c＋c′)h′43πR3思考感悟对不规则的几何体应如何求体积？提示：对于求一些不规则的几何体的体积常用割补的方法，转化为已知体积公式的几何体进行解决．课前热身1．(教材习题改编)一个圆柱形的玻璃瓶的内半径为3cm，瓶里所装的水深为8cm，将一个钢球完全浸入水中，瓶中水的高度上升到8.5cm，则钢球的半径为()A．1cmB．1.2cmC．1.5cmD．2cm答案：C2．用与球心距离为1的平面去截球，所得的截面面积为π，则球的体积为()A.8π3B.82π3C．82πD.32π3答案：B3．(2011年蚌埠质检)如图，一个空间几何体的主视图、左视图、俯视图为全等的等腰直角三角形，如果直角三角形的直角边长为1，那么这个几何体的表面积为()A.3＋32B．3＋3C.16D.32答案：A4．如图是一个几何体的三视图．若它的体积是33，则a＝______.答案：35．(2009年高考上海卷)若等腰直角三角形的直角边长为2，则以一直角边所在的直线为轴旋转一周所成的几何体体积是________．答案：8π3考点探究•挑战高考考点突破几何体的表面积求解有关多面体表面积的问题，关键是找到其特征几何图形，如棱柱中的矩形，棱台中的直角梯形，棱锥中的直角三角形，它们是联系高与斜高、边长等几何元素间的桥梁，从而架起求侧面积公式中的未知量与条件中已知几何元素间的联系；求球的表面积关键是求其半径；旋转体的侧面积就是它们侧面展开图的面积．例1(2010年高考课标全国卷)设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱的长都为a，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为()A．πa2B.73πa2C.113πa2D．5πa2【思路点拨】根据图形特征，球心为三棱柱上、下底面的中心连线的中点，构造三角形可求得球的半径，代入公式可求得表面积．【解析】三棱柱如图所示，由题意可知：球心在三棱柱上、下底面的中心O1、O2的连线的中点O处，连接O1B、O1O、OB，其中OB即为球的半径R，由题意知：O1B＝23×3a2＝3a3，所以半径R2＝(a2)2＋(3a3)2＝7a212，所以球的表面积S＝4πR2＝7πa23，故选B.【答案】B【名师点评】求几何体的表面积要抓住关键量，如多面体的高，底面边长及几何体特征，旋转体的高、底面半径及几何特征，球的半径，同时注意整体思维的运用，以减少计算量．变式训练1(2009年高考海南、宁夏卷)一个棱锥的三视图如图，则该棱锥的全面积(单位：cm2)为()A．48＋122B．48＋242C．36＋122D．36＋242解析：选A.由三视图可知原棱锥为三棱锥，记为P-ABC(如图)，且底面为直角三角形，顶点P在底面的射影为底边AC的中点，且由已知可知AB＝BC＝6，PD＝4.则全面积为S＝12×6×6＋2×12×6×5＋12×4×62＝48＋122.故选A.几何体的体积计算柱、锥、台体的体积，关键是根据条件找出相应的底面面积和高，应注意充分利用多面体的截面和旋转体的轴截面，将空间问题转化为平面问题求解．(2010年高考陕西卷)如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，AP＝AB，BP＝BC＝2，E，F分别是PB，PC的中点．(1)证明：EF∥平面PAD；(2)求三棱锥E-ABC的体积V.例2【思路点拨】(1)由线面平行的判定定理易证EF∥平面PAD.(2)由图形特征易求得三棱锥E-ABC的底面积及高12PA，代入体积公式可求V.【解】(1)证明：在△PBC中，E，F分别是PB，PC的中点，∴EF∥BC.∵四边形ABCD是矩形，∴BC∥AD，∴EF∥AD，又∵AD平面PAD，EFØ平面PAD，∴EF∥平面PAD.(2)连接AE，AC，EC，过E作EG∥PA，交AB于点G，则EG⊥平面ABCD，且EG＝12PA.在△PAB中，AP＝AB，∠PAB＝90°，BP＝2，∴AP＝AB＝2，EG＝22.∴S△ABC＝12AB·BC＝12×2×2＝2，∴VE-ABC＝13S△ABC·EG＝13×2×22＝13.【名师点评】求锥体的体积，要选择适当的底面积和高，然后应用公式V＝13Sh进行计算即可．常用方法：割补法和等积变换法．(1)割补法：求一个几何体的体积可以将这个几何体分割成几个柱体、锥体，分别求出锥体和柱体的体积，从而得出几何体的体积．(2)等积变换法：①利用三棱锥的任一个面可作为三棱锥的底面．求体积时，可选择容易计算的方式来计算；②利用“等积性”可求“点到面的距离”．变式训练2有一根木料，形状为直三棱柱形，高为6cm，横截面三角形的三边长分别为3cm、4cm、5cm，将其削成一个圆柱形积木，求该木料被削去部分体积的最小值．解：如图所示，只有当圆柱的底面圆为直三棱柱的底面三角形的内切圆时，圆柱的体积最大，削去部分体积才能最小，设此时圆柱的底面半径为R，圆柱的高即为直三棱柱的高．在△ABC中，令AB＝3，BC＝4，AC＝5，∴△ABC为直角三角形．根据直角三角形内切圆的性质可得7－2R＝5，∴R＝1.∴V圆柱＝πR2·h＝6π(cm3)．而三棱柱的体积为V三棱柱＝12×3×4×6＝36(cm3)．∴削去部分的体积为36－6π＝6(6－π)(cm3)．即削去部分体积的最小值为6(6－π)cm3.几何体的折叠与展开几何体的表面积，除球以外，都是利用展开图求得的，利用了空间问题平面化的思想．把一个平面图形折叠成一个几何体，再研究其性质，是考查空间想象能力的常用方法，所以几何体的展开与折叠是高考的一个热点．例3(1)有一根长为3πcm、底面半径为1cm的圆柱形铁管，用一段铁丝在铁管上缠绕2圈，并使铁丝的两个端点落在圆柱的同一母线的两端，则铁丝的最短长度为多少？(2)把长、宽分别为4πcm和3πcm的矩形卷成圆柱，如何卷能使体积最大？【思路点拨】把圆柱沿着铁丝的两个端点落在的那条母线展开，将问题转化为平面上两点间的最短距离．【解】(1)把圆柱侧面及缠绕其上的铁丝展开，在平面上得到矩形ABCD(如图)，由题意知BC＝3πcm，AB＝4πcm，点A与点C分别是铁丝的起、止位置，故线段AC的长度即为铁丝的最短长度．AC＝AB2＋BC2＝5πcm，故铁丝的最短长度为5πcm.(2)以3πcm为高时，圆柱的体积为π(4π2π)2·3π＝12π2(cm3)，所以，以4πcm为高时，圆柱的体积为π(3π2π)2·4π＝9π2(cm3)，所以，以4πcm为底面周长，以3πcm为高时卷成的圆柱体积最大．【规律小结】几何体的展开图方法感悟方法技巧1．对于基本概念和能用公式直接求出棱柱、棱锥、棱台与球的表面积的问题，要结合它们的结构特点与平面几何知识来解决．(如例1)2．当给出的几何体比较复杂，有关的计算公式无法运用，或者虽然几何体并不复杂，但条件中的已知元素彼此离散时，我们可采用“割”、“补”的技巧，化复杂几何体为简单几何体(柱、锥、台)，或化离散为集中，给解题提供便利．(如例2)3．有关柱、锥、台、球的面积和体积的计算，应以公式为基础，充分利用几何体中的直角三角形、直角梯形求有关的几何元素．失误防范1．面积、体积的计算中应注意的问题(1)柱、锥、台体的侧面积分别是某侧面展开图的面积，因此，弄清侧面展开图的形状及各线段的位置关系，是求侧面积及解决有关问题的关键．(2)计算柱、锥、台体的体积关键是找到相应的底面积和高．充分运用多面体的截面及旋转体的轴截面，将空间问题转化成平面问题．(3)球的有关问题，注意球半径与截面圆半径，球心到截面距离构成直角三角形．(4)有关几何体展开图与平面图形折成几何体问题，在解决的过程中注意按什么线作轴来展或折，还要坚持被展或被折的平面，变换前、后在该面内的大小关系与位置关系不变．在完成展或折后，要注意条件的转化对解题也很重要．2．与球有关的组合体问题与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接．解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图，如球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径；球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径．球与旋转体的组合，通常作它们的轴截面进行解题，球与多面体的组合，通过多面体的一条侧棱和球心，或“切点”、“接点”作出截面图．考情分析考向瞭望•把脉高考空间几何体的表面积、体积是高考的必考知识点之一．题型既有选择题、填空题，又有解答题，难度为中、低档．客观题主要考查由三视图得出几何体的直观图，求其表面积、体积或由几何体的表面积、体积得出某些量；主观题考查比较全面，其中一步往往设置为表面积、体积问题，无论是何种题型都考查学生的空间想象能力．预测2012年高考仍将以空间几何体的表面积、体积为主要考查点，重点考查学生的空间想象能力、运算能力及逻辑推理能力．规范解答例(本题满分12分)(2010年高考课标全国卷)如图，已知四棱锥P-ABCD的底面为等腰梯形，AB∥CD，AC⊥BD，垂足为H，PH是四棱锥的高．(1)证明：平面PAC⊥平面PBD；(2)若AB＝6，∠APB＝∠ADB＝60°，求四棱锥P-ABCD的体积．【解】(1)证明：因为PH是四棱锥P-ABCD的高，所以AC⊥PH.又AC⊥BD，PH、BD都在平面PBD内，且PH∩BD＝H，所以AC⊥平面PBD，又AC平面PAC，故平面PAC⊥平面PBD.6分(2)因为四边形ABCD为等腰梯形，AB∥CD，AC⊥BD，AB＝6，所以HA＝HB＝3.8分因为∠APB＝∠ADB＝60°，所以PA＝PB＝6，HD＝HC＝1.可得PH＝3，AC＝BD＝3＋1，10分等腰梯形ABCD的面积为S＝12AC×BD＝2＋3.所以四棱锥的体积V＝13×(2＋3)×3＝3＋233.12分【名师点评】(1)本题易失误的是：①不会转化思想的应用，一看到梯形就定向思维以致求不出底面积；②用错锥体体积的计算公式．(2)计算空间几何体的体积时要注意：①分析清楚空间几何体的结构，搞清楚该几何体的各个部分的构成特点；②进行合理的转化和一些必要的等积变换，如三棱锥的体积计算就可以通过“换顶点”的方法进行等积变换；③正确选用体积计算公式．在体积计算中都离不开空间几何体的“高”这个几何量(球除外)，因此体积计算中的关键一步就是求出这个量．在计算这个几何量时要注意多面体中的“特征图”和旋转体中的轴截面．如图所示(单位：cm)，求图中阴影部分绕AB旋转一周所形成的几何体的体积．名师预测解：由图中数据，根据圆台和球的体积公式，得V圆台＝13×π(22＋2×5＋52)×4＝52π(cm3)，V半球＝43π×23×12＝163π(cm3)．所以，旋转体的体积为V圆台-V半球＝52π－163π＝1403π(cm3)．