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第五节空间几何体的表面积与体积考纲点击了解球、棱柱、棱锥、台的表面积和体积的计算公式(不要求记忆公式).热点提示1.通过考查几何体的表面积和体积，借以考查空间想象能力和计算能力.2.多与三视图、简单组合体相联系.3.以选择、填空的形式考查，属容易题.1．旋转体的表面积名称图形表面积圆柱S＝2πr(r＋l)圆锥S＝πr(r＋l)圆台S＝π(r′2＋r2＋r′l＋rl)球S＝4πR22.几何体的体积公式(1)设棱(圆)柱的底面积为S，高为h，则体积V＝Sh.(2)设棱(圆)锥的底面积为S，高为h，则体积V＝13Sh.(3)设棱(圆)台的上、下底面面积分别为S′、S，高为h，则体积V＝13(S′＋S′S＋S)h.(4)设球半径为R，则球的体积V＝43πR3.1．母线长为1的圆锥的侧面展开图的圆心角等于43π，则该圆锥的体积为()A.2281πB.881πC.4581πD.1081π【解析】设圆锥的底面半径为r，则2πr1＝43π，∴r＝23，∴圆锥的高h＝1－(23)2＝53.∴圆锥的体积V＝13πr2h＝4581π.【答案】C2．正方体的表面积为a2，它的顶点均在一个球面上，这个球的表面积为()A.π3a2B.π2a2C．2πa2D．3πa2【解析】由题意，球的直径2R等于正方体的体对角线长，设正方体的棱长为x，则6x2＝a2，∴x＝16a＝66a，∴正方体的体对角线长为3x＝22a，即2R＝22a，∴R＝24a.球的表面积S＝4πR2＝π2a2.【答案】B3．将边长为a的正方形ABCD沿对角线AC折起，使BD＝a，则三棱锥D－ABC的体积为()A.a36B.a312C.312a3D.212a3【解析】∵BD＝DA＝DC＝a，又△ABC为直角三角形，∴三棱锥的高即为△ADC中AC边上的高22a，∴三棱锥的体积为13×12a2×22a＝212a3.【答案】D4．一个几何体的三视图如图，则这个几何体的体积为________．【解析】由三视图可得该几何体的直观图．∴该几何体是一个底面为直角三角形且两直角边分别为1cm，2cm，高为2cm的三棱柱．∴该几何体的体积为×1×2×2＝2(cm3)．【答案】2cm35．将一棱长为6cm的正方体木块加工成一个体积最大的木球，这个球的体积为________．【解析】由题意可知该球是正方体的内切球，球直径与正方体的棱长相等，∴球半径r＝3cm，∴球体积为＝36πcm3.【答案】36πcm3(2008年山东高考改编)如图是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的表面积是________．【自主探究】由三视图可知，该几何体是由一个球和圆柱组合而成的几何体，球的直径为2，圆柱的底面直径为2，高为3，则S球＝4πR2＝4π，S圆柱＝2πrh＋2πr2＝2π×1×3＋2π＝8π，∴几何体的表面积为S＝4π＋8π＝12π.【答案】12π【方法点评】1.高考中对几何体的表面积的考查一般在客观题中，借以考查空间想象能力和运算能力，只要正确把握几何体的结构，准确应用面积公式，就可以顺利解决．2．多面体的表面积是各个面的面积之和．圆柱、圆锥、圆台的侧面是曲面，计算侧面积时需要将这个曲面展为平面图形计算，而表面积是侧面积与底面圆的面积之和．3．组合体的表面积应注意重合部分的处理．1．已知圆台的母线长为4cm，母线与轴的夹角为30°，上底面半径是下底面半径的，求这个圆台的侧面积．【解析】如图是将圆台还原为圆锥后的轴截面，由题意知AC=4cm，∠ASO=30°，O1C=，设O1C=r，则OA=2r，∴SC=2r，SA=4r，∴AC=SA-SC=2r=4cm，∴r=2cm.所以圆台的侧面积为S=π(r+2r)×4=24π(cm2)．如图，在三角形ABC中，若AC＝3，BC＝4，AB＝5，以AB所在直线为轴，将此三角形旋转一周，求所得旋转体的表面积和体积．【思路点拨】先通过想象确定旋转体的形状，再求几何体的表面积和体积．【自主探究】如图，所得旋转体是两个底面重合的圆锥．高的和为AB=5，底面半径等于CO=∴所得旋转体的表面积为【方法点评】求解旋转体的表面积和体积时，首先要弄清楚它的结构，再通过轴截面分析和解决问题．2.如右图所示，扇形中心角为90°，其所在圆的半径为R，弦AB将扇形分成两个部分，这两部分各以AO为轴旋转一周，所得的旋转体体积V1和V2之比为()A．1∶1B．1∶C．1∶2D．1∶【解析】Rt△AOB绕OA旋转一周形成圆锥，其体积V1＝πR3，扇形绕OA旋转一周形成半球，其体积V＝πR3，∴V2＝V－V1＝πR3－πR3＝πR3，∴V1∶V2＝1∶1.有一根长为3πcm，底面半径为1cm的圆柱形铁管，用一段铁丝在铁管上缠绕2圈，并使铁丝的两个端点落在圆柱的同一母线的两端，则铁丝的最短长度为多少？【思路点拨】把圆柱沿这条母线展开，将问题转化为平面上两点间的最短距离．【自主探究】把圆柱侧面及缠绕其上的铁丝展开，在平面上得到矩形ABCD(如图)，由题意知BC=3πcm，AB=4πcm，点A与点C分别是铁丝的起、止位置，故线段AC的长度即为铁丝的最短长度．AC==5πcm，故铁丝的最短长度为5πcm.【方法点评】1.几何体的表面积，除球以外，都是利用展开图求得的．利用了空间问题平面化的思想．把一个平面图形折叠成一个几何体，再研究其性质，是考查空间想象能力的常用方法，所以几何体的展开与折叠是高考的一个热点．2．几何体的展开图(1)多面体的展开图①直棱柱的侧面展开图是矩形．②正棱锥的侧面展开图是由一些全等的等腰三角形拼成的，底面是正多边形．③正棱台的侧面展开图是由一些全等的等腰梯形拼成的，底面是正多边形．(2)旋转体的展开图①圆柱的侧面展开图是矩形，矩形的长是底面圆周长，宽是圆柱的母线长．②圆锥的侧面展开图是扇形，扇形的半径是圆锥的母线长，弧长是圆锥的底面周长．③圆台的侧面展开图是扇环，扇环的上、下弧长分别为圆台的上、下底面周长．3．把长、宽分别为4πcm、3πcm的矩形卷成圆柱，如何卷体积最大？【解析】以3πcm为高时，圆柱的体积为π()2·3π＝12π2(cm3)，以4πcm为高时，圆柱的体积为π()2·4π＝9π2(cm3)，所以，以4πcm为底面周长，以3πcm为高时，卷成的圆柱体积最大．1．(2009年辽宁高考)正六棱锥P－ABCDEF中，G为PB的中点．则三棱锥D－GAC与三棱锥P－GAC体积之比为()A．1∶1B．1∶2C．2∶1D．3∶2【解析】∵G为PB中点，∴VP－GAC＝VP－ABC－VG－ABC＝2VG－ABC－VG－ABC＝VG－ABC，又多边形ABCDEF是正六边形，∴S△ABC＝S△ACD，∴VD－GAC＝VG－ACD＝2VG－ABC，∴VD－GAC∶VP－GAC＝2∶1.【答案】C2．(2009年陕西高考)若正方体的棱长为，则以该正方体各个面的中心为顶点的凸多面体的体积为()A.B.C.D.【解析】所求八面体体积是两个底面边长为1，高为的四棱锥的体积和，一个四棱锥体积故八面体的体积V＝2V1＝，∴选B.【答案】B3.(2009年辽宁高考)设某几何体的三视图如下(尺寸的长度单位为m)：则该几何体的体积为________m3.【解析】由三视图知，三棱锥的高为侧视图中直角三角形的竖直边，底面三角形一边上的高恰为左视图中直角三角形的水平边．∴V＝×2××3×4＝4(m3)【答案】44．(2009年浙江高考)若某几何体的三视图(单位：cm)如图所示，则此几何体的体积是________cm3【解析】由三视图可知此几何体是由两块长、宽均为3cm，高为1cm的长方体构成，故其体积为2×(3×3×1)＝18(cm3)．【答案】181．棱柱、棱锥、棱台是不同的多面体，但它们也有联系、棱柱可以看成是上、下底面全等的棱台；棱锥又可以看作是一底面缩为一点的棱台，因此它们的侧面积和体积公式可分别统一为一个公式．(1)圆台的侧面积公式与圆柱及圆锥的侧面积公式之间的变化关系：(2)柱体、锥体、台体的体积公式之间存在的关系：2．空间内何体的表面积即为全面积，注意侧面展开图的面积计算．正棱柱、正三棱锥和正三棱台的侧面展开图一定要熟记在心(如下面的示意图)：3．相同几何体的体积相等，但体积相等的几何体不一定相同．4．有关旋转体的问题或球与多面体的切接问题，要特别注意应用轴截面．5．对于复杂的几何体可以分割成简单几何体的组合体，也可以用补形法解决几何体的体积问题，即可以用割补法和等积变换法求几何体的体积．课时作业点击进入链接课时作业点击进入链接