二次函数中平行四边形通用解决方法

1●探究（1）在图1中，已知线段AB，CD，其中点分别为E，F。①若A（-1，0），B（3，0），则E点坐标为__________；②若C（-2，2），D（-2，-1），则F点坐标为__________；（2）在图2中，已知线段AB的端点坐标为A（a，b），B（c，d），求出图中AB中点D的坐标（用含a，b，c，d的代数式表示），并给出求解过程；●归纳无论线段AB处于直角坐标系中的哪个位置，当其端点坐标为A（a，b），B（c，d），AB中点为D（x，y）时，x=_________，y=___________；（不必证明）●运用在图2中，一次函数y=x-2与反比例函数的图象交点为A，B。①求出交点A，B的坐标；②若以A，O，B，P为顶点的四边形是平行四边形，请利用上面的结论求出顶点P的坐标。2图2图3图1以二次函数为载体的平行四边形存在性问题是近年来中考的热点，其图形复杂，知识覆盖面广，综合性较强，对学生分析问题和解决问题的能力要求高．对这类题，常规解法是先画出平行四边形，再依据“平行四边形的一组对边平行且相等”或“平行四边形的对角线互相平分”来解决．由于先要画出草图，若考虑不周，很容易漏解．为此，笔者另辟蹊径，借助探究平行四边形顶点坐标公式来解决这一类题．1两个结论，解题的切入点数学课标，现行初中数学教材中没有线段的中点坐标公式，也没有平行四边形的顶点坐标公式，我们可帮助学生来探究，这可作为解题的切入点。1.1线段中点坐标公式平面直角坐标系中，点A坐标为(x1,y1)，点B坐标为(x2,y2)，则线段AB的中点坐标为(221xx,221yy).证明：如图1，设AB中点P的坐标为(xP,yP).由xP-x1=x2-xP，得xP=221xx，同理yP=221yy，所以线段AB的中点坐标为(221xx,221yy).1.2平行四边形顶点坐标公式□ABCD的顶点坐标分别为A(xA,yA)、B(xB,yB)、C(xC,yC)、D(xD,yD)，则：xA+xC=xB+xD；yA+yC=yB+yD.证明：如图2，连接AC、BD，相交于点E．∵点E为AC的中点，∴E点坐标为(2CAxx,2CAyy).又∵点E为BD的中点，∴E点坐标为(2DBxx,2DByy).∴xA+xC=xB+xD；yA+yC=yB+yD.即平行四边形对角线两端点的横坐标、纵坐标之和分别相等．2一个基本事实，解题的预备知识如图3，已知不在同一直线上的三点A、B、C，在平面内另找一个点D，使以A、B、C、D为顶点的四边形是平行四边形．答案有三种：以AB为对角线的□ACBD1，以AC为对角线的□ABCD2，以BC为对角线的□ABD3C．3图43两类存在性问题解题策略例析与反思3.1三个定点、一个动点，探究平行四边形的存在性问题例1已知抛物线y=x2-2x+a(a＜0）与y轴相交于点A，顶点为M.直线y=21x-a分别与x轴、y轴相交于B、C两点，并且与直线AM相交于点N.(1)填空：试用含a的代数式分别表示点M与N的坐标，则M(),N()；(2)如图4，将△NAC沿y轴翻折，若点N的对应点N′恰好落在抛物线上，AN′与x轴交于点D，连接CD，求a的值和四边形ADCN的面积；(3)在抛物线y=x2-2x+a(a＜0）上是否存在一点P，使得以P、A、C、N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，试说明理由.解：(1)M(1,a-1)，N(a34,-a31)；(2)a=-49；S四边形ADCN=16189；(3)由已知条件易得A(0,a)、C(0,-a)、N(a34,-a31).设P(m,m2-2m+a).①当以AC为对角线时，由平行四边形顶点坐标公式（解题时熟练推导出），得：ammaaama23134002,∴81525am.∴P1(25,-85)；②当以AN为对角线时，得:ammaaama23103402,∴81525am(不合题意，舍去).③当以CN为对角线时，得:ammaaama23103402,∴8321am.∴P2(-21,87).∴在抛物线上存在点P1(25,-85)和P2(-21,87)，使得以P、A、C、N为顶点的四边形是平行四边形.反思：已知三个定点的坐标，可设出抛物线上第四个顶点的坐标，运用平行四边形顶点坐标公式列方程（组）求解.这种题型由于三个定点构成的三条线段中哪条为对角线不清楚，往往要以这三条线段分别为对角线分类，分三种情况讨论.4图5图63.2两个定点、两个动点，探究平行四边形存在性问题例2如图5，在平面直角坐标系中，抛物线A(-1,0),B(3,0),C(0,-1)三点.（1）求该抛物线的表达式；（2）点Q在y轴上，点P在抛物线上，要使以点Q、P、A、B为顶点的四边形是平行四边形，求所有满足条件点P的坐标.解：（1）易求抛物线的表达式为y=132312xx；(2)由题意知点Q在y轴上，设点Q坐标为(0,t)；点P在抛物线上，设点P坐标为(m,132312mm).尽管点Q在y轴上，也是个动点，但可理解成一个定点，这样就转化为三定一动了．①当以AQ为对角线时，由四个顶点的横坐标公式得：-1+0=3+m，∴m=-4，∴P1(-4,7)；②当以BQ为对角线时，得：-1+m=3+0，∴m=4，∴P2(4,35)；③当以AB为对角线时，得：-1+3=m+0，∴m=2，∴P3(2,-1).综上，满足条件的点P为P1(-4,7)、P2(4,35)、P3(2,-1).反思：这种题型往往特殊，一个动点在抛物线上，另一个动点在x轴（y轴）或对称轴或某一定直线上．设出抛物线上的动点坐标，另一个动点若在x轴上，纵坐标为0，则用平行四边形顶点纵坐标公式；若在y轴上，横坐标为0，则用平行四边形顶点横坐标公式．该动点哪个坐标已知就用与该坐标有关的公式．本例中点Q的纵坐标t没有用上，可以不设．另外，把在定直线上的动点看成一个定点，这样就转化为三定一动了，分别以三个定点构成的三条线段为对角线分类，分三种情况讨论.例3如图6，在平面直角坐标系中，已知抛物线经过A(-4,0),B(0,-4),C(2,0)三点．（1）求抛物线的解析式；（2）若点M为第三象限内抛物线上一动点，点M的横坐标为m，△AMB的面积为S．求S关于m的函数关系式，并求出S的最大值；（3）若点P是抛物线上的动点，点Q是直线y=-x上的动点，判断有几个位置能使以点P、Q、B、O为顶点的四边形为平行四边形，直接写出相应的点Q的坐标．解：（1）易求抛物线的解析式为y=21x2+x-4；（2）s=-m2-4m(-4m0)；s最大=4（过程略）；（3）尽管是直接写出点Q的坐标，这里也写出过程．由题意知O(0,0)、B(0,-4).由于点Q是直线y=-x上的动点，设Q(s,-s)，把Q看做定点；设P(m,21m2+m-4).①当以OQ为对角线时，42140002mmsms∴s=-252.∴Q1(-2+52,2-52)，Q2(-2-52,2+52)；5②当以BQ为对角线时，smmsm44210002∴s1=-4，s2=0(舍).∴Q3(-4,4)；③当以OB为对角线时，42140002mmsms∴s1=4，s2=0(舍).∴Q4(4,-4).综上，满足条件的点Q为Q1(-2+52,2-52)、Q2(-2-52,2+52)、Q3(-4,4)、Q4(4,-4).反思：该题中的点Q是直线y=-x上的动点，设动点Q的坐标为(s,-s)，把Q看做定点，就可根据平行四边形顶点坐标公式列方程组了.4问题总结这种题型，关键是合理有序分类：无论是三定一动，还是两定两动，统统把抛物线上的动点作为第四个动点，其余三个作为定点，分别以这三个定点构成的三条线段为对角线分类，分三种情况讨论，然后运用平行四边形顶点坐标公式转化为方程（组）．这种解法，不必画出平行四边形草图，只要合理分类，有序组合，从对角线入手不会漏解，条理清楚，而且适用范围广．其本质是用代数的方法解决几何问题，体现的是分类讨论思想、数形结合的思想.6如图，在平面直角坐标系中，已知Rt△AOB的两条直角边OA、OB分别在y轴和x轴上，并且OA、OB的长分别是方程x2—7x+12=0的两根(OA0B)，动点P从点A开始在线段AO上以每秒l个单位长度的速度向点O运动；同时，动点Q从点B开始在线段BA上以每秒2个单位长度的速度向点A运动，设点P、Q运动的时间为t秒．(1)求A、B两点的坐标。(2)求当t为何值时，△APQ与△AOB相似，并直接写出此时点Q的坐标．(3)当t=2时，在坐标平面内，是否存在点M，使以A、P、Q、M为顶点的四边形是平行四边形?若存在，请直接写出M点的坐标；若不存在，请说明理由．7如图，抛物线经过A（﹣1，0），B（5，0），C（0，）三点．（1）求抛物线的解析式；（2）在抛物线的对称轴上有一点P，使PA+PC的值最小，求点P的坐标；（3）点M为x轴上一动点，在抛物线上是否存在一点N，使以A，C，M，N四点构成的四边形为平行四边形？若存在，求点N的坐标；若不存在，请说明理由．8如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y=2x+4与y轴交于A点，与x轴交于B点，抛物线C1：y=﹣x2+bx+c过A、B两点，与x轴另一交点为C．（1）求抛物线解析式及C点坐标．（2）向右平移抛物线C1，使平移后的抛物线C2恰好经过△ABC的外心，抛物线C1、C2相交于点D，求四边形AOCD的面积．（3）已知抛物线C2的顶点为M，设P为抛物线C1对称轴上一点，Q为抛物线C1上一点，是否存在以点M、Q、P、B为顶点的四边形为平行四边形？若存在，直接写出P点坐标；不存在，请说明理由．9如图，在平面直角坐标系中，直线y=﹣3x﹣3与x轴交于点A，与y轴交于点C．抛物线y=x2+bx+c经过A，C两点，且与x轴交于另一点B（点B在点A右侧）．（1）求抛物线的解析式及点B坐标；（2）若点M是线段BC上一动点，过点M的直线EF平行y轴交x轴于点F，交抛物线于点E．求ME长的最大值；（3）试探究当ME取最大值时，在x轴下方抛物线上是否存在点P，使以M，F，B，P为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，试说明理由．