工程电磁场--课后答案(王泽忠-全玉生-卢斌先-著)-清华大学出版社课后题解

电磁场题解第二章静电场(注意：以下各题中凡是未标明电介质和导体的空间，按真空考虑）2-1在边长为a的正方形四角顶点上放置电荷量为q的点电荷，在正方形几何中心处放置电荷量为Q的点电荷。问Q为何值时四个顶点上的电荷受力均为零。解如图建立坐标系，可得xxxxaQaaqEeee2/122421221420220××+×+=πεπεyyyyaQaaqEeee2/122421221420220××+×+=πεπε据题设条件，令022421=++Qq，解得()2214+−=qQ2-2有一长为2l，电荷线密度为τ的直线电荷。1）求直线延长线上到线电荷中心距离为2l处的电场强度和电位；2）求线电荷中垂线上到线电荷中心距离为2l处的电场强度和电位。解1）如图（a）建立坐标系，题设线电荷位于x轴上l~l3之间，则x处的电荷微元在坐标原点产生的电场强度和电位分别为()xxxeE−=204ddπετ，xx04ddπετϕ=由此可得线电荷在坐标原点产生的电场强度和电位分别为()()()xllxlllxxeeEE−=−==∫∫0320364dd0πετπετ()3ln44dd00303lπετπετϕϕ===∫∫lllxx2）如图（b）建立坐标系，题设线电荷位于y轴上l−~l之间，则y处的电荷微元在点()l2,0处产生的电场强度和电位分别为()rryeE−=204ddπετ，ry04ddπετϕ=式中，θθ2cosd2dly=，θcos2lr=，514sin22=+=lllα，分别代入上两式，并考虑对称性，可知电场强度仅为x方向，因此可得所求的电场强度和电位分别为()lllrylxxxx0000020054sin4dcos4cos4d2d20,2πεταπετθθπετθπεταααeeeeEE=====∫∫∫()01000024.0421tan21tanln2cosd4d20,2πετππετθθπετϕϕαα=+===−∫∫l2-3半径为a的圆盘，均匀带电，电荷面密度为σ。求圆盘轴线上到圆心距离为b的场点的电位和电场强度。解根据电荷分布的对称性，采用圆柱坐标系。坐标原点设在圆盘形面电荷的圆心，z轴与面电荷轴线重合。场点P的坐标为()b,,0α。在带电圆8电磁场题解盘上取一个电荷元σα′′′rrdd，源点坐标为()′′r,,α0。由电荷元产生的电位dddϕσαπε=′′′rrR40计算P点电位时，场点坐标()b,,0α不变，源点坐标()′′r,,α0中′r′α是变量。22brR+′=整个圆盘形面电荷产生的电位为()()bbabbaabrrrabrrr−+−+=+′′′=+′′′′=∫∫∫220222002200202202=22d4ddεσεσεσπεασϕπ根据电荷分布的对称性，整个圆盘形面电荷产生的电场强度只有ez方向的分量zzzbabbbbabzeeeE+−=−+−=−=−∇=2202220122εσεσ∂∂ϕϕ2-4在空间，下列矢量函数中哪些可能是电场强度，哪些不是？回答并说明理由。1）34eeeyxz+−2）xyzxzeeey+−43）yzxxzeeey+−44）rre（球坐标系）5）r2eα（圆柱坐标系）解对于给定各矢量表达式求旋度，可得1）()014343=−∂∂∂∂∂∂=−+×∇zyxxyxzxeeeeeey2）()044=−∂∂∂∂∂∂=−+×∇zyxzyxzyxxyxzxeeeeeey3）()yxyxzxxzyzyxxzyeeeeeeey244=−∂∂∂∂∂∂=−+×∇4）()0=×∇rre5）()()()zzzzrrrrrrrrArrreeeee3311122=⋅=⋅∂∂=∂∂=×∇αα据0=×∇E，可知式3）和式5）不可能是电场强度表达式，而其余各式可能是电场强度表达式。2-5有两相距为d的平行无限大平面电荷，电荷面密度分别为σ和−σ。求两无穷大平面分割出的三个空间区域的电场强度。解如图2-4所示的三个区域中，作高斯面1S，据高斯通量定理，可得在区域（1）和（3）中，电场强度为零；再作高斯面2S，据高斯通量定理，可得在区域（2），0εσ=E9电磁场题解2-6求厚度为d，体电荷密度为ρ的均匀带电无限大平板在空间三个区域产生的电场强度。解如图2-5所示的三个区域中，作高斯面1S，据高斯通量定理，电场强度在1S上的通量为01112d1ερdSSEs==⋅∫sE可得在区域（1）和（3）中，电场强度012ερdE=对于区域（2），如图建立坐标系，作高斯面2S，据高斯通量定理，电场强度在2S上的通量为022221ερxSSESE=+，得−=−=−=22000102dxdxExEερερερερ2-7有一半径为a的均匀带电无穷长圆柱体其单位长度上带电荷量为τ。求空间的电场强度。解如图建立圆柱坐标系，设圆柱体的体电荷密度为ρ，则有τπρ=⋅2a，即2aπτρ=作柱对称高斯面，可得当ar，022ερππrrE=⋅，解得20022arrEπετερ==当ar≥，02ετπ=⋅rE，解得rE02πετ=2-8如图2-7所示，一半径为a的均匀带电无穷长圆柱体电荷，电荷体密度为ρ，在其中挖出半径为ab的无穷长平行圆柱孔洞，两圆柱轴线距离为d。求孔洞内各处的电场强度。解设孔洞内任意场点至大、小两圆柱体轴心的矢径分别为1r、2r，则当孔洞内充满体密度为ρ的电荷时，场点处有01112ερrEr=孔洞内充满充满体密度为ρ−的电荷时，由ρ−在场点处产生的场强为02222ερrEr−=则所求场点的电场强度为()0022112122ερερabdrrrrrEEE=−=+=式中abr为两圆柱轴线间距d的单位矢量，方向为从大圆柱体的轴心指向小圆柱体的轴心。2-9求如图2-8所示电偶极子p对实验电荷qt的作用力。解据教材36页式（2-67），可得实验电荷qt处的电场强度为()θθπεθθπεeeeE30304sincos24Rprpr=+=则实验电荷qt所受电场力为θπεeF304Rpqt=2-10如图2-9所示，平行平板电容器中，一半是介电常数为ε的电介质，另一半是真空。电容器正负极之间距离为d，加电压U。求电介质中的电场强度、电位移矢量、极化强度、极化电荷体密度以及电介质与真空分界面上的极化面电荷密度。10电磁场题解解设介电常数为ε的电介质中的电场强度为1E，真空中的电场强度为2E，据边界条件可得dUEEE===21，据EDε=，可得电位移矢量分别为dUDε=1，dUD02ε=据EDP0ε−=，可得介质中的极化强度为()dUEEP00εεεε−=−=以上各矢量的方向均为从正极板指向负极板。极化电荷体密度为0=⋅∇′−=PPρ分界面上的极化面电荷密度为0=⋅=nPePσ2-11有一带电导体球，带电荷量为q，周围空间为空气。空气的介电常数为ε0，空气的击穿场强为E0。问导体球的半径大到什么程度就不会出现空气击穿？解电场强度在导体球表面达到最大值，即020max4ERqE==πε则004EqRπε=2-12试证明在线性、各向同性、均匀电介质中若没有自由体电荷就不会有束缚体电荷。证明由于在线性、各向同性、均匀电介质中，DEP∝∝，又0=ρ，则0=⋅∇D，可得0=⋅∇P，即0=Pρ。2-13已知某种球对称分布的电荷产生的电位在球坐标系中的表示式为ϕ()rarbr=e，a和b均为常数。求体电荷密度。解()[]()[]brbrbrbrbrbrbrerabbebrberabraerreraberarrrerarrrrrrrr22222222222111111=+−=−∂∂=+−∂∂=∂∂∂∂=∂∂∂∂=∇ϕϕ据ερϕ−=∇2，可得brerab0ερ−=2-14有一平行平板电容器，两极板距离AB=d，之间平行地放置两块薄金属片C和D，忽略薄金属片的厚度，有AC=CD=DB=d3。若将AB两极板充电到电压U0后，拆去电源，问：1）AC,CD,DB之间的电压为多少？C和D两金属片上电荷分布如何？AC,CD,DB之间的电场强度为多少？2）在1）的基础上，若将C和D两金属片用导线联接后再断开，重新回答1）中的三个问题。3）若充电前先用导线联接C和D两金属片，充电完成后先断开电源，再断开C和D之间连线，重新回答1）中的三个问题。4）在2）的基础上，若将A和B用导线联接再断开，重新回答1）中的三个问题。解极板间的电场强度为均匀的，各极板位于等位面上。1）各极板间距相同，因此3/UUUUDBCDAC===，在C、D两金属片的两面均匀分布有电量相同的正、负面电荷，dU/0εσ=各极板间的电场强度相同，dUE/=2）将C和D两金属片用导线联接，则0=CDU，0=CDE，由于A、B极板上的电荷不变，11电磁场题解则A、C间和D、B间的电场强度不变，电压也不变，即3/UUUDBAC==，dUEEDBAC/==；C、D相对的面上电荷中和后为零，另一面不变，量值dU/0εσ=。3）若充电前先用导线联接C和D两金属片，则充电后2/UUUDBAC==，0=CDU，各极板上的电荷同2）一样，分布在A、C或D、B相对的面上，但电荷的量值为dU2/0εσ=，A、C及D、B之间的电场强度为dUEEDBAC2/==，C、D之间的电场强度为零。4）据题设条件，可知0=ABU，这时C、D极板上的电荷量不变，但分布于极板的两侧，设A、C及D、B相对面的电荷为1σ，而D、C相对面的电荷为2σ，则σσσ=+21，根据电荷分布，设011/εσ===EEEDBAC，022/εσ==EEDC，可得()dUEE/0210εσε==+，即dUEE/21=+①，根据0=ABU可得03/3/3/121=+−dEdEdE，即0221=−EE②，解式①、②，可得dUE3/1=、dUE3/22=，因此可得9/UUUDBAC==、dUUCD9/2−=，A、C及D、B相对面电荷分布dU3/01εσ=，C、D相对面电荷分布dU3/202εσ=。2-15有一分区均匀电介质电场，区域1（z0）中的相对介电常数为εr1，区域2（z0）中的相对介电常数为εr2。已知Eeee1201050=−+xyz，求D1、E2和D2。解根据EDε=，已知zyxeeeE5010201+−=，则有zryrxreeeD0101011501020εεεεεε+−=有根据边界条件，可得zrryxeeeE212501020εε+−=及zryrxreeeD0202022501020εεεεεε+−=2-16一半径为a的金属球位于两种不同电介质的无穷大分界平面处，导体球的电位为ϕ0。求两种电介质中各点的电场强度和电位移矢量。解设上、下半球的电荷面密度分别为1σ和2σ，则在半径为r的球面上，有()2212221222arDrDπσσππ⋅+=⋅+⋅，即()2212221arDrDσσ+=+将111EDε=、222EDε=代入上式，同时考虑到在介质界面上，电场强度只有沿界面切线方向的分量，即EEE==21，则有()2212221aErErσσεε+=+()()221221raEεεσσ++=，据题意可得()aaa1d212210⋅++=⋅=∫∞εεσσϕrE，由此可得()a21021εεϕσσ+=+，()()202212210raraaEϕεεεεϕ=++=，20111raEDϕεε==，并可得20222raEDϕεε==2-17在直角坐标系中，给定一电荷分布为12电磁场题解ρρπ=−≤≤00cos())axaxaxa(()求空间各区域的电位分布。解作图2-12所示的圆柱面，两端面位于ax±=处，则当ax≤时，闭合面内所包围的电荷量为()⋅===∫xaaSxaaSxxaSxQxxππρππρπρsin2sin2dcos200000电场强度为xxaaeE=ππερsin00当ax时，闭合面内所包围的电荷量为()0s