线性波理论

线性波理论1.1波浪的流体动力基本方程及边界条件实际海水河水均为有黏性流体，且水表面存在表面张力，所以流浪运动实际呈黏性流，但黏性及表面张力的影响大小，与波浪的频率有关。在船舶和海洋工程中，船舶摇摆和拍击，船舶稳定，兴波阻力；海岸工程中，波浪对港口、防波堤的作用；离岸工程中，钻井平台，海工建筑，海底油管等。水波起制约作用的物理因素是重力，粘性力可忽略不计。因此可以用理想流体的势流理论来研究波浪运动的规律。如下图所示，一间谐前进波沿x轴正向移动。h—（水深从平均水平面到底部的距离）η（x，t）—自由面在平均水面以上的瞬时垂直距离H—波高，对于小振幅波，H=2aT—周期波速C=L/T,波数k=2π/L，圆频率σ=2π/T（2π时间内的波动次数）对于线性波理论，必须遵循以下3个假设：（1）理想不可压缩流体，重力不能忽略；（2）运动是无旋的，具有速度势；’（3）波浪是线性波（微振幅波），即水深H远远小于波长L。且满足Laplace方程，△φ=𝜕2φ∂x+𝜕2φ∂x=0（0＜z＜η，-∞＜x＜+∞）底部条件（不可穿透条件）𝑣𝑧=∂φ∂z=0（z=-h）自由表面边界条件η=−1𝑔∂φ∂t|𝑧=η（由Lagrange积分∂φ∂t+12𝑣2+𝑝𝜌+gz=0，令z=η，自由表面上相对压力p=0，为使边界条件线性化，假定速度的平方趋向于0，而得到）。在z=0处满足（自由边界条件的近似）η=−1𝑔∂φ∂t|𝑧=0综合整理上述公式，可得线性波（小振幅波）的基本方程与边界条件{𝜕2φ∂x+𝜕2φ∂x=0(0＜z＜η，−∞＜x＜+∞)∂φ∂z=0(z=−h)η=−1𝑔∂φ∂t|𝑧=01.2线性波理论上述波浪速度势的求解存在两个困难：（1）自由表面的非线性；（2）这些条件仅在自由表面z=η上满足，η是未知量，因此只能近似求解。假定波浪振幅足够小，即波高H远远小于波长L，可得到上述方程的线性解，故称为线性波理论。由分离变量法求解，令φ=f（z）sin⁡（kx−σt）将其带入拉普拉斯方程可得𝑑2𝑓𝑑𝑧2sin（kx-σt）−𝑘2𝑓sin（kx−σt）=0即𝑑2𝑓𝑑𝑧2⁡−𝑘2𝑓=0根据线性其次方程解得方程的通解为f(z)=A𝑒kz+B𝑒−kz所以φ=（A𝑒kz+B𝑒−kz）sin⁡（kx−σt）∂φ∂z=𝑘（A𝑒−kz−B𝑒kz）sin⁡（kx−σt）∂φ∂z|𝑧=−h=⁡𝑘（A𝑒−kh−B𝑒kh）sin⁡（kx−σt）=0（不可穿透，即海底沿z轴方向上的波速为零）由方程的性质可知，必须A𝑒−kh−B𝑒kh=0恒成立，上式才能成立，所以A𝑒−kh=B𝑒kh令D/2=A𝑒−kh=B𝑒kh，则A=D𝑒kh/2，B=D𝑒−kh/2所以φ=D(A𝑒k（z+h）+B𝑒−k（z+h）)sin(kx−σt)/2或φ=Dcoshk（z+h）sin(kx−σt)/2η=−1𝑔∂φ∂t|𝑧=0={−1𝑔Dcoshk（z+h）[−σsin(kx−σt)]}|𝑧=0波面方程为η=𝐷𝜎𝑔⁡coshkhcos(kx−σt)令𝐷𝜎𝑔⁡coshkh=a（a为波幅）即D=ag𝜎coshkh，则φ=ag𝜎coshkh⁡coshk（z+h）sin(kx−σt)所以自由面形状（波面方程）为η=a⁡cos(kx−σt)当h趋向于无穷大时，该式φ=ag𝜎coshkh⁡coshk（z+h）sin(kx−σt)可化为φ=ag𝜎ekzsin(kx−σt)，此公式适用于无限水深的情况波速，波长，周期自由表面η（x，t）上任意一点的z方向速度分量𝑣𝑧=dηdt，即波面抬高速度近似等于z方向上的速度分量将上式与𝑣𝑧=∂φ∂z联立∂φ∂z=∂η∂t=𝜕∂t(−1𝑔∂φ∂t)=−1𝑔𝜕2φ∂t2由式φ=ag𝜎coshkh⁡coshk（z+h）sin(kx−σt)对t求二阶导后再乘以−1𝑔，与此同时，再对上式的z求一阶导，上述两次求导得到的结果需满足∂φ∂z=−1𝑔𝜕2φ∂t2最终求得σ2=gktanhkh，又C=L/T=2𝜋𝑘2𝜋𝜎=𝜎𝑘，所以σ=kc，将σ=kc带入式子σ2=gktanhkh，求得波速C=√𝑔L2𝜋tanh2𝜋h𝐿（该波速公式适用于各种水深）由上式，在已知L，h的前提下，可求得C；在已知T，h的前提下，可求得L下面将水波按照水深进行分类由于双曲函数有渐进值，所以按双曲函数的性质将水波进行分类，其目的是为了工程应用方便，所谓的深水波、浅水波是一种相对概念。波的类型水深htanh2𝜋h𝐿近似值近似公式深水波L/2≤h＜∞1C=√𝑔L2𝜋中等水深波L/20＜h＜L/2tanh2𝜋h𝐿C=√𝑔L2𝜋tanh2𝜋h𝐿浅水波0＜h≤L/202𝜋h𝐿C=√gh通过上述表格可以得出以下结论，深水波：波速只是波长的函数，与水深无关。浅水波：波速是水深的函数，与波长无关。中等深水波：波速是波长与水深的函数。