专训2--构造全等三角形的五种常用方法--公开课精品课件

阶段方法技巧训练（一）专训2构造全等三角形的五种常用方法习题课在进行几何题的证明或计算时，需要在图形中添加一些辅助线，辅助线能使题目中的条件比较集中，能比较容易找到一些量之间的关系，使数学问题较轻松地解决．常见的辅助线作法有：翻折法、构造法、旋转法、倍长中线法和截长(补短)法，目的都是构造全等三角形．应1．如图，在△ABC中，BE是∠ABC的平分线，AD⊥BE，垂足为D.求证：∠2＝∠1＋∠C.方法1翻折法如图，延长AD交BC于点F.(相当于将AB边向下翻折，与BC边重合，A点落在F点处，折痕为BE)∵BE平分∠ABC，∴∠ABE＝∠CBE.∵BD⊥AD，∴∠ADB＝∠BDF＝90°.证明：在△ABD和△FBD中，∠ABD＝∠FBD，BD＝BD，∠ADB＝∠FDB＝90°，∴△ABD≌△FBD(ASA)．∴∠2＝∠DFB.又∵∠DFB＝∠1＋∠C，∴∠2＝∠1＋∠C.应2．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，∠ABC＝45°，点D为BC的中点，CE⊥AD于点E，其延长线交AB于点F，连接DF.求证：∠ADC＝∠BDF.方法2构造法如图，过点B作BG⊥BC交CF的延长线于点G.∵∠ACB＝90°，∴∠2＋∠ACF＝90°.∵CE⊥AD，∴∠AEC＝90°，∴∠1＋∠ACF＝180°－∠AEC＝180°－90°＝90°.∴∠1＝∠2.证明：在△ACD和△CBG中，∠1＝∠2，AC＝CB，∠ACD＝∠CBG＝90°，∴△ACD≌△CBG(ASA)．∴∠ADC＝∠G，CD＝BG.∵点D为BC的中点，∴CD＝BD.∴BD＝BG.{又∵∠DBG＝90°，∠DBF＝45°，∴∠GBF＝∠DBG－∠DBF＝90°－45°＝45°.∴∠DBF＝∠GBF.在△BDF和△BGF中，BD＝BG，∠DBF＝∠GBF，BF＝BF，∴△BDF≌△BGF(SAS)．∴∠BDF＝∠G.∴∠ADC＝∠BDF.{本题运用了构造法，通过作辅助线构造△CBG，△BGF是解题的关键．应3．如图，在正方形ABCD中，E为BC边上一点，F为CD边上一点，BE＋DF＝EF，求∠EAF的度数．方法3旋转法如图，延长CB到点H，使得BH＝DF，连接AH.∵∠ABE＝90°，∠D＝90°，∴∠D＝∠ABH＝90°.在△ABH和△ADF中，AB＝AD，∠ABH＝∠ADF＝90°，BH＝DF，解：{∴△ABH≌△ADF.∴AH＝AF，∠BAH＝∠DAF.∴∠BAH＋∠BAF＝∠DAF＋∠BAF，即∠HAF＝∠BAD＝90°.∵BE＋DF＝EF，∴BE＋BH＝EF，即HE＝EF.在△AEH和△AEF中，AH＝AF，AE＝AE，EH＝EF，∴△AEH≌△AEF.∴∠EAH＝∠EAF.∴∠EAF＝∠HAF＝45°.{图中所作辅助线，相当于将△ADF绕点A顺时针旋转90°，使AD边与AB边重合，得到△ABH.12应4．如图，在△ABC中，D为BC的中点．(1)求证：AB＋AC2AD；(2)若AB＝5，AC＝3，求AD的取值范围．方法4倍长中线法延长AD至点E，使DE＝AD，连接BE.∵D为BC的中点，∴CD＝BD.又∵AD＝ED，∠ADC＝∠EDB，∴△ADC≌△EDB.∴AC＝EB.∵AB＋BEAE，∴AB＋AC2AD.(1)证明：∵AB－BEAEAB＋BE，∴AB－AC2ADAB＋AC.∵AB＝5，AC＝3，∴22AD8.∴1AD4.(2)解：本题运用了倍长中线法构造全等三角形，将证明不等关系和求线段取值范围的问题通过证全等，转化到一个三角形中，利用三角形的三边关系来解决．应5．如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝120°，∠B＝∠ADC＝90°.E，F分别是BC，CD上的点，且∠EAF＝60°.探究图中线段BE，EF，FD之间的数量关系并证明．方法5截长(补短)法EF＝BE＋FD.解：如图，延长FD到点G，使DG＝BE，连接AG.∵∠B＝∠ADC＝90°，∴∠B＝∠ADG＝90°.在△ABE与△ADG中，证明：AB＝AD，∠B＝∠ADG＝90°，BE＝DG，∴△ABE≌△ADG.∴AE＝AG，∠BAE＝∠DAG.又∵∠BAD＝120°，∠EAF＝60°，∴∠BAE＋∠FAD＝60°，∴∠DAG＋∠FAD＝60°，{即∠GAF＝60°，∴∠EAF＝∠GAF＝60°.在△EAF与△GAF中，AE＝AG，∠EAF＝∠GAF，AF＝AF，∴△EAF≌△GAF.∴EF＝GF＝FD＋DG.∴EF＝FD＋BE.{证明一条线段等于两条线段的和的方法：“截长法”或“补短法”．“截长法”的基本思路是在长线段上取一段，使之等于其中一短线段，然后证明剩下的线段等于另一短线段；“补短法”的基本思路是延长短线段，使之延长部分等于另一短线段，再证明延长后的线段等于长线段．