直线与平面垂直练习题-

直线与平面垂直练习题一、解答题1.如图，在四棱锥SABCD中，SA平面ABCD，底面ABCD为直角梯形，//ADBC，90,1,2ABCSAABBC.1.求证：BA平面SAD；2.求异面直线AD与SC所成角的大小．2.如图，在三棱锥PABC中，,,PAACPCBCM为PB的中点，D为AB的中点，且AMB△为正三角形.（1）求证：BC平面PAC；（2）若2PABC，三棱锥PABC的体积为1，求点B到平面DCM的距离.3.如图，在四棱锥PABCD中，侧面PAD是正三角形，且与底面ABCD垂直，底面ABCD是边长为2的菱形，60BAD，N是PB的中点，E为AD的中点，过,,ADN的平面交PC于点M．（1）求证：//EN平面PDC；（2）求证：BC平面PEB；（3）求直线AB与平面PBC所成角的正弦值．4.如图,在三棱锥PABC中,平面PAB平面ABC,6AB,23BC,26AC,D为线段AB上的点,且2ADDB,PDAC.1.求证:PD平面ABC;2.若π4PAB,求点B到平面PAC的距离.5.如图所示，在三棱锥ABCD中，,OE分别是,BDBC的中点,2CACBCDBD,2ABAD.1.求证：AO平面BCD；2.求异面直线AB与CD所成角的余弦值；6.如图,在三棱锥PABC中,22BCAB,4PAPBPCAC, O为AC的中点.1.证明:PO平面ABC;2.若点M在棱BC上,且2MCMB,求点 C到平面POM的距离.7.如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是菱形，60BAD，PA平面ABCD，E是PC的中点，F是AB的中点．（1）求证：DF平面PAB（2）求证://BE平面PDF．8.如图，在三棱柱111ABCABC中，1,90AAABABC,侧面11AABB底面ABC.1.求证:1AB平面1ABC;2.若15,3,60ACBCAAB,求三棱柱111ABCABC的体积.9.直三棱柱111ABCABC中,14ACBCAA,ACBC.1.证明:1AC平面1ABC;2.设四边形11AACC的两条对角线的交点为D,求三棱锥11CABD的体积.10.如图,D是AC的中点,四边形BDEF是菱形,平面BDEF平面,60,ABCFBDABBC，2ABBC.1.若点M是线段的中点，证明:BF平面AMC;2.求六面体ABCDE的体积.11.如图,三角形ABC△中,22ACBCAB,ABED是边长为1的正方形,平面ABED⊥平面ABC,若,GF分别是,ECBD的中点.1.求证://GF平面ABC;2.求证:AC平面EBC;3.求几何体ADEBC的体积.二、计算题12.如图，在直三棱柱111ABCABC中，123AA，24ACAB，60BAC1.证明：1BC⊥平面1ABC；2.求三棱锥11CABB的体积。参考答案一、解答题1.答案：1.证明：∵SA平面ABCD，AD平面ABCD，∴SABA又∵90ABC，//ADBC，∴BAAD，又∵SAADA，∴BA面SAD2.∵//ADBC，∴异面直线AD与SC所成角是BCS或其补角，∵,BCSABCBA，且SABAA,∴BC平面SAB，SB平面SAB，∴BCSB在RtSAB△中，∵2222SBSAAB，2BC，∴45BCS，∴异面直线AD与SC所成角的大小为45解析：2.答案：（1）证明：在正AMB△中，D是AB的中点，所以MDAB．因为M是PB的中点，D是AB的中点，所以//MDPA，故PAAB．又PAAC，,,ABACAABAC平面ABC，所以PA平面ABC．因为BC平面ABC，所以PABC．又,,,PCBCPAPCPPAPC平面PAC，所以BC平面PAC．（2）设ABx,则3123,,22xPBMDxBCACx三棱锥PABC的体积为311138ABCVSPAx，得2x设点B到平面DCM的距离为h．因为AMB△为正三角形，所以2ABMB．因为3,BCBCAC，所以1AC．所以11111313222224BCDABCSSBCAC△△．因为3MD，由（1）知//MDPA，所以MDDC．在ABC△中，112CDAB，所以11331222MCDSMDCD△．因为MBCDBMCDVV，所以1133BCDMCDSMDSh△△，即131333432h．所以32h．故点B到平面DCM的距离为32．解析：3.答案：（1）因为//ADBC，BC平面PBC，AD平面PBC，所以//AD平面PBC．又平面ADMN平面PBCMN，所以//ADMN．又因为//ADBC，所以//MNBC．又因为N为PB的中点，所以M为PC的中点，所以12MNBC．因为E为AD的中点，1122DEADBCMN，所以//DEMN，所以四边形DENM为平行四边形，所以//ENDM．又因为EN平面PDC，DM平面PDC，所以//EN平面PDC．（2）因为四边形ABCD是边长为2的菱形，且60,BADE为AD中点，所以BEAD．又因为,PEADPEBEE，所以AD平面PEB．因为//ADBC，所以BC平面PEB．（3）如图建立空间直角坐标系Exyz，则0,0,1A，0,3,0B，0,3,2C，3,0,0P，∴1,3,0AB，0,3,3PB，2,0,0BC.设平面PBC的法向量,,nxyz，则02033xzyzyx,0，令1y，则0,1,1n，46223cos.直线AB与平面PBC所成角的正弦值为46．解析：4.答案：1.连接CD,据题知4AD,2BD,222ACBCAB,∴90ACB,∴233cos63ABC,∴2222(23)2223cos8CDABC,∴22CD,∴222CDADAC,则CDAB.∵平面PAB平面ABC,∴CD平面PAB,∴CDPD,∵PDAC,ACCDC,∴PDABC.2.由题1得PDAB,∵π4PAB,∴4PDAD,42PA,在RtPCD△中,2226PCPDCD,∴PAC△是等腰三角形,∴可求得82PACS△.设点B到平面PAC的距离为d,由BPACPABCVV,得1133PACABCSdSPD△△,∴3ABCPACSPDdS△△.故点B到平面PAC的距离为3.解析：5.答案：1.证明：连接OC,BODOABADAOBD,BODOBCCDCOBD在AOC△中，由已知可得1,3AOCO，而2222,ACAOCOAC90AOC，即AOOCBDOCOAOBCD平面2.取AC的中点M，连接,,OMMEOE由E为BC的中点知,MEABOEDC////∴直线OE与EM所成的锐角就是异面直线AB与CD所成的角.在OME△中,1222EMAB，112OEDC∵OM是RtAOC△斜边AC上的中线112OMAC∴2cos4OEM解析：6.答案：1.证明：连接BO，由于,ABBCO为AC的中点，则BOAC。由勾股定理得：222BOOCBC，而12,222OCACBC，所以2BO在PAC△中，O为AC中点，4PAPCAC，所以POAC，由勾股定理得2216423POPAAO。由于2,4BOPB，则222PBPOBO，故POB△是直角三角形，且POBO由于BOACO，则PO平面ABC。2.连接OM，过M作MDAC于点D，因为PO平面ABC所以POMD，又MDAC，所以MD平面PAC。由于22BC，2MCMB，则24233MCBC。在ABC△中，由于2OBOC，22BC，则OBC△是等腰直角三角形，且45C。则4cos3MDDCMCC，则42233ODOCDC。在RtMOD△中，由勾股定理有：22253OMMDOD。由于POOM，则1125215232223POMSOMPO△而111332PMOCMOCVPOSPOCODM△114832323239。设点C到平面POM的距离为d。则13PMOCCPOMPOMVVdS△。故83345352153PMOCPOMVdS△。即点C到平面POM的距离为455。解析：7.答案：（1）连BD，∵在菱形ABCD中，60BAD，∴ABD△为等边三角形，∵F是AB中点，∴DFAB，又PA平面ABCD，DF平面ABCD，∴PADF，∵APABA，∴DF平面PAB，（2）证明：取PD中点G点，连EG，∵EG、分别是PC，PD中点，∴1//2EGCD且12EGCD又1//2FBCD且12FBCD，∴//EGFB且EGFB。∴四边形EBFG是平行四边形，∴//BEFG，∵BE平面PDF，FG平面PDF，∴//BE平面PDF．解析：8.答案：1.在侧面11AABB中,∵1AAAB,∴四边形11AABB为菱形,∴11ABAB.∵侧面11AABB底面,90ABCABC,∴CB平面11AABB.∵1AB平面11AABB,∴1CBAB.又1ABBCB,∴1AB平面1ABC.2.如图,过1A作1ADAB,垂足为D.∵平面ABC平面11AABB,平面ABC平面11AABBAB,∴1AD平面ABC,∴1AD为三棱柱111ABCABC的高.∵3,5,90BCACABC，∴4AB,又11,60AAABAAB,∴1AAB△为等边三角形,∴13232ADAB.∴1111ABCABCABCVSAD△143231232.解析：9.答案：1.∵BCAC,1BCAA,1ACAAA,∴BC平面11AACC,∵1AC平面11AACC,∴1ACBC.易知四边形11AACC是正方形,∴11ACAC,又1BCACC,∴1AC平面1ABC.2.由题1得点B到平面11ACD的距离为BC.1114242ACDS△,∴11111111633CABDBACDACDVVSBC△.解析：10.答案：1.如图,连接,MDFD.∵四边形BDEF为菱形,且60FBD,∴DBF△为等边三角形.∵M是BF的中点,∴DMBF.∵,2,ABBCABBCD时AC的中点,∴BDAC∵平面BDEF平面ABCBD,平面BDEF平面,ABCAC平面ABC，∴AC平面BDEF.又BF平面BDEF,∴ACBF.又,,DMBFACBFDMACD,∴BF平面AMC.2.12sin602BDEFSBDBF菱形133211222.由1知AC平面BDEF,∴113313326CBDEFBDEFVSCD四棱锥菱形.∴323ABCEFCBDEFVV六面体四棱锥解析：11.答案：1.取BC的中点,MAB的中点N连结GM、FN、MN(如图)∵G、F分别是EC和BD的中点∴//GMBE,且12GMBE,//NFDA,且12NFDA,又∵ADEB为正方形∴//,BEADBEAD∴//GMNF且GMNF∴MNFG为平行四边形∴//GFMN,又MN面ABC,GF面ABC∴//GF平面ABC2.∵ADEB为正方形,∴EBAB,又∵平面ABED平面ABC,∴BE平面ABC∵AC面ABC,∴BEAC又∵222CACBAB∴ACBC,∵BCBEB,∴AC平面BCE3.连结CN,因为ACBC,∴