排列组合公式

排列组合公式1．分类计数原理（加法原理）12nNmmm.2．分步计数原理（乘法原理）12nNmmm.3．排列数公式mnA=)1()1(mnnn=！！)(mnn.(n，m∈N*，且mn)．注:规定1!0.4．排列恒等式(1)1(1)mmnnAnmA;(2)1mmnnnAAnm;(3)11mmnnAnA;(4)11nnnnnnnAAA;(5)11mmmnnnAAmA.(6)1!22!33!!(1)!1nnn.5．组合数公式mnC=mnmmAA=mmnnn21)1()1(=！！！)(mnmn(n∈N*，mN，且mn).6．组合数的两个性质(1)mnC=mnnC;(2)mnC+1mnC=mnC1.注:规定10nC.7．组合恒等式(1)11mmnnnmCCm;(2)1mmnnnCCnm;(3)11mmnnnCCm;(4)nrrnC0=n2;(5)1121rnrnrrrrrrCCCCC.(6)nnnrnnnnCCCCC2210.(7)14205312nnnnnnnCCCCCC.(8)1321232nnnnnnnnCCCC.(9)rnmrnrmnrmnrmCCCCCCC0110.(10)nnnnnnnCCCCC22222120)()()()(.8．排列数与组合数的关系mmnnAmC！.9．单条件排列以下各条的大前提是从n个元素中取m个元素的排列.（1）“在位”与“不在位”①某（特）元必在某位有11mnA种；②某（特）元不在某位有11mnmnAA（补集思想）1111mnnAA（着眼位置）11111mnmmnAAA（着眼元素）种.（2）紧贴与插空（即相邻与不相邻）①定位紧贴：)(nmkk个元在固定位的排列有kmknkkAA种.②浮动紧贴：n个元素的全排列把k个元排在一起的排法有kkknknAA11种.注：此类问题常用捆绑法；③插空：两组元素分别有k、h个（1hk），把它们合在一起来作全排列，k个的一组互不能挨近的所有排列数有khhhAA1种.（3）两组元素各相同的插空m个大球n个小球排成一列，小球必分开，问有多少种排法？当1mn时，无解；当1mn时，有nmnnnmCAA11种排法.（4）两组相同元素的排列：两组元素有m个和n个，各组元素分别相同的排列数为nnmC.10．分配问题（1）(平均分组有归属问题)将相异的m、n个物件等分给m个人，各得n件，其分配方法数共有mnnnnnnmnnnmnnmnnmnCCCCCN)!()!(22.（2）(平均分组无归属问题)将相异的m·n个物体等分为无记号或无顺序的m堆，其分配方法数共有mnnnnnnmnnnmnnmnnmmnmCCCCCN)!(!)!(!...22.（3）(非平均分组有归属问题)将相异的)12mP(P=n+n++n个物体分给m个人，物件必须被分完，分别得到1n，2n，…，mn件，且1n，2n，…，mn这m个数彼此不相等，则其分配方法数共有!!...!!!!...21211mnnnnpnpnnnmpmCCCNmm.（4）(非完全平均分组有归属问题)将相异的)12mP(P=n+n++n个物体分给m个人，物件必须被分完，分别得到1n，2n，…，mn件，且1n，2n，…，mn这m个数中分别有a、b、c、…个相等，则其分配方法数有!...!!!...211cbamCCCNmmnnnnpnp12!!!!...!(!!!...)mpmnnnabc.（5）(非平均分组无归属问题)将相异的)12mP(P=n+n++n个物体分为任意的1n，2n，…，mn件无记号的m堆，且1n，2n，…，mn这m个数彼此不相等，则其分配方法数有!!...!!21mnnnpN.（6）(非完全平均分组无归属问题)将相异的)12mP(P=n+n++n个物体分为任意的1n，2n，…，mn件无记号的m堆，且1n，2n，…，mn这m个数中分别有a、b、c、…个相等，则其分配方法数有!...)!!(!!...!!21cbannnpNm.（7）(限定分组有归属问题)将相异的p（2mpnnn1+++）个物体分给甲、乙、丙，……等m个人，物体必须被分完，如果指定甲得1n件，乙得2n件，丙得3n件，…时，则无论1n，2n，…，mn等m个数是否全相异或不全相异其分配方法数恒有!!...!!...21211mnnnnpnpnnnpCCCNmm.11．“错位问题”及其推广贝努利装错笺问题:信n封信与n个信封全部错位的组合数为1111()![(1)]2!3!4!!nfnnn.推广:n个元素与n个位置,其中至少有m个元素错位的不同组合总数为1234(,)!(1)!(2)!(3)!(4)!(1)()!(1)()!mmmmppmmmmfnmnCnCnCnCnCnpCnm12341224![1(1)(1)]pmpmmmmmmmpmnnnnnnCCCCCCnAAAAAA.12．不定方程2nxxxm1+++的解的个数(1)方程2nxxxm1+++（,nmN）的正整数解有11mnC个.(2)方程2nxxxm1+++（,nmN）的非负整数解有11nmnC个.(3)方程2nxxxm1+++（,nmN）满足条件ixk(kN,21in)的非负整数解有11(2)(1)mnnkC个.(4)方程2nxxxm1+++（,nmN）满足条件ixk(kN,21in)的正整数解有12222321(2)11121221(1)nmnmnknmnknmnknnnnnnCCCCCCC个.13．二项式定理nnnrrnrnnnnnnnnbCbaCbaCbaCaCba222110)(;二项展开式的通项公式rrnrnrbaCT1)210(nr，，，.