浅析大学物理中高等数学的应用技巧

浅析大学物理中高等数学的应用技巧郝卜呼方涛王猛黄朝军（陕西理工学院物理系陕西汉中723000）摘要：数学是物理学的基础和工具，灵活应用数学知识可使物理问题的研究大为简化，本文结合一些具体实例，分析了大学物理中数学知识的应用技巧，为大学物理课程的学习提供了方法和思路。关键词：大学物理；数学知识；应用技巧引言数学是物理的基础，是研究物理学的工具，所有物理问题的定量分析、计算和研究都离不开数学知识，从简单的代数运算到物理问题的数学建模以及物理问题的数值计算都和数学密切相关，故学好数学是学好物理的关键，没有良好的数学基础，想要学好物理是不可能实线的。就大学物理学习而言，其中所有内容均广泛涉及到高等数学知识，虽然目前很多院校在大学物理课程开设之前，已经开设相的应高等数学，但学生在整体上对所学的高等数学知识还来不及完全理解，甚至部分内容还比较生疏，根本不知道如何在大学物理中应用高等数学求解物理问题，进而导致大学物理学习效果不明显，质量不高。大学物理是以高等数学为基础的离开了高等数学，大学物理就成了无木之本，无水之鱼。因此，如何在大学物理学习中应用数学知识就成为学好大学物理的关键，作者根据自身的体会，结合一些具体实例分析了大学物理学习中高等数学的应用技巧，供大学物理学习者参考。1微元思想的应用大学物理和中学物理的最大区别在于中学物理通常研究的都是稳恒量和离散量，而大学物理所研究的基本都是连续量和变量，若想借鉴已有的知识进一步的学习，微元法的思想就尤为重要。例如速度的求解就用到位移元和时间微元（）；刚体质心的求解就用到质量微元，电场强度和电势的求解用到电荷微元，磁场强度的求解用到电流元等等[1-2]。有了微元量之后我们就可以利用已经掌握的知识求解这些微元量的物理问题进而利用求和的方法求得连续体的物理问题。2导数的应用2.1力学中导数的应用对于大学物理中的运动学，可以分为两类问题：第一类是微分问题，即已知物体的运动方程，求解物体的运动速度和加速度；第二类问题则是已知物体的加速度和初始条件求解物体的运动方程和轨道方程。对第一类问题，其本质就是利用微元思想，根据物理量的定义求解运动方程关于时间的一阶导数或二阶导数（；）。此外还有牛顿第二定律的普遍表达式、功率以及刚体力学中的角速度、角加速度都是关于时间的导数求解[3]。2.2物理中的极值问题在求解物理问题中，常遇到一些求极值的问题，单从物理知识的角度又不易解答，若将这类难于解答的问题转化为数学问题，问题就要简单的多。最常用的方法为求导法，即将要求物理量的表达式看成是某一个变量的函数，将该函数关于变量求一阶导数并令其等于零则可以求出变量的定值，然后带入原表达式就可以求出该物理问题的极值。例如：气体分子速率分布中的最概然速率的求解、含源闭合回路最大匹配功率的求解。此外，还可以利用二次方程判别式求解物理问题的极值，即把含求物理量的表达式看成是方程，在方程中选定适当的物理量为未知量，通过变换使该物理出现二次项，这样，方程就变成了一元二次方程，通过判别式就可求出极值。某些时候也利用三角函数值域求解物理极值，即当待求量表达式中含有正弦(或余弦)函数时，通过三角函数变换，用某一个正弦函数(或余弦函数)表示待求量，运用三角函数值域，分析待求量的表达式，求得极值。3积分的应用对于所有的物理问题，我们都可以根据已有的定律、定理及物理问题的客观属性进行定性分析，但涉及到定量计算则必须利用数学表达式，而大部分定律、定理都是针对离散量或理想模型，对于连续量的物理问题我们除了应用微元法外，还要利用积分知识，即对求得的离散的微元问题进行求和，从物理上将就是标量的代数和、矢量的迭加原理。例如：电场高斯定理中高斯面内电荷的代数和、磁场安培环路定理中环路内电流的代数和等标量的迭加，还有电场强度、磁场强度等矢量的迭加原理。可以说积分是大学物理中应用最广泛的工具之一，若能灵活巧妙的掌握积分方法，则可以简便快捷的求解物理问题3.1积分变量的选取积分变量的选取在很大程度上决定了解决问题的繁简程度，积分变量越少，即积分重数（或维数）越少，问题的求解越简单，大多数情况下可以根据求解问题的相互关系转换积分变量以达到简化求解问题的目的。例如：大学物理静电场基本规律中求解有限长均匀带电细棒在空间一点激发的电场强度时，就将电荷元转化为，这样就将含有两个变量的原电荷元激发的电场强度转化为只含有一个变量的电荷元激发的电场强度，从而简化了积分的难度。与此相同的问题比较多，例如有限长载流直导线空间激发的磁场、有限长载流螺旋管内部激发的磁场等等。此外积分变量的选取还要遵循简单的原则，最好可以直接通过几何或代数的方法直接求解，这样就可以使问题大为简化。例如：在静电场中应用高斯定理时，要根据带电体的形状来选择高斯面和积分微元，若带电体是球形则选择球面作为高斯面；若带电体是轴对称分布则选择柱面作为高斯面。否则，可能不但简化不了求解的难度，很可能导致问题不能求解。3.2积分路径的选取积分路径的选取通常有两个原则：一是要遵循客观规律；二是求解问题简单。例如：在求解力做功的问题中，首先要判断力是保守力还是非保守力，若是保守力则选择最简单的积分路径，因为保守力做功与路径无关只取决于受力物体的始末位置，若是非保守力，则不能任意选择路径，而必须沿物体经过的路径积分。3.3积分限的选取积分限的选取直接决定了物理问题的求解结果，在没有给出积分限的物理问题中，一定要根据物理问题的客观规律进行选取。例如：势能零点的选取和电势零点的选取并不是一成不变的。重力势能并不是都选地面为势能零点；电势能也不是都选无穷远处为势能零点。4几何模型的应用大学物理中所涉及的大部分问题基本上都可以归结为对一些基本模型所遵循的基本规律的求解，若要提高学习效果，就要求我们熟悉各种模型之间的相互联系，从而达到事半功倍的作用。例如：在求解刚体的转动惯量时，我们可以由点到线，由线到面，由面到体，这样就可以通过已掌握的知识来探讨未知的知识，而且还可以归纳总结出属于自己的学习方法；不仅力学中可以这样，在电学中也可以利用几何模型之间点－线－面－体的关系求解带电体所激发的电场强度。5结语本文分析了大学物理学习中数学知识的重要性，通过一些实例分析了微元法、导数、积分和几何模型在学习大学物理过程中的具体应用，实际上大学物理所涉及的数学知识远不止这些，比如概率论与数理统计、线性代数、矢量代数、矩阵论等等都是研究物理问题中必不可少的工具，笔者的意图在于通过分析大学物理中数学知识的应用，引起广大物理学习者的注意，要学好物理必须先学好数学，同时也通过自己的体会起到抛砖引玉的作用，望广大物理学习者总结、归纳出学习大学物理的方法，以供学习者参考，提高大学物理的学习效率。参考文献[1]程守株,江之永.普通物理学[M].北京：高等教育出版社,2006.[2]张三慧.大学物理学[M].北京：清华大学出版社,2009.[3]吴百诗.大学物理学[M].西安:西安交通大学出版社,2002.