正弦定理余弦定理和解斜三角形学习精解

《正弦定理、余弦定理、解斜三角形学习精解》一、复习要求：1．掌握正弦、余弦定理，能运用知识解斜三角形。2．用正弦、余弦定理判断三角形的形状。二、知识点回顾（1）正弦定理：,22sinsinsinSabcRCcBbAa（2R为三角形外接圆直径），（S为三角形面积），其他形式：a：b：c=sinA：sinB：sinCa=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC(2)余弦定理：a2=b2+c2-2bccosA,(可按a,b,c,a轮换得另二式)余弦定理变式：bcacbA2cos222,(轮换得另二式)余弦定理向量式：如图a=b+c,c=a–bc2=|c|2=|a-b|2=(a-b)2=a2+b2-2﹒a﹒b=a2+b2-2abcosC(其中｜a|=a,|b|=b,|c|=c)三、典型例题分析：例1：在三角形ABC中，若C=3B，求bc的范围分析：角边比转化，可用正弦定理解：1cos4cos22cossin)2sin(sin3sinsinsin2BBBBBBBBBCbcA+B+C=1800，C=3B，４Ｂ１８００，００Ｂ４５０，1cos22B１４cos2B-13故31bc练习1：在ABC中，若sinA=2cosBsinC,则ABC的形状是例2：在ABC中，已知4sinBsinC=1,BC,且b2+c2=a2+bc,求A，B，C。解：2122cosA222bcbcbcacb，A=600又4sinBsinC=14sinBsin(1200-B)=11sin22sin31)sin21cos23(sin42BBBBBBconB22sin3332tanB2B=300或2100BC,2B=2100即B=1050A=600B=1050C=150练习2：在ABC中，2B=A+C且tanAtanC=2+3求（1）A、B、C的大小CABacb（2）若AB边上的高CD=43，求三边a、b、c例３：如图，已知Ｐ为ABC内一点，且满足∠ＰＡＢ＝∠ＰＢＣ＝∠ＰＣＡ＝求证cot=cotA+cotB+cotC解：在ABC中，APBcPBsinsinBcABOBAPcsinsin＝Bcsin同理CaCPBsin)sin(CCCaCCaBcsin)sincoscos(sinsin)sin(sinsinsinAsinBsinCcos=sinAsinBcosCsin+sin2CsinCBABABABACBACCcotcotcotsinsinsincossinsincotsinsinsincotcot四：作业１．在ABC中，a+b=366030A060B求边c的长２．在ABC中，Ｓ是它的面积，a,b是它的两条边的长度，Ｓ＝)(4122ba求这个三角形的各内角．３．已知圆Ｏ的半径为Ｒ，它的内角三角形ＡＢＣ中，２Ｒ（sin2A-sin2C）=Bbasin)2(成立，求三角形ＡＢＣ的面积Ｓ的最大值．ABCP