5.6-正弦定理、余弦定理和解斜三角形

上海市剑青教育中心由教学研究专家和中学一线教师组成强大的师资队伍由考试研究专家精心打造训练材料，为全面提高上海市中小学生的各科成绩服务15．6正弦定理、余弦定理和解斜三角形正弦定理：,22sinsinsinSabcRCcBbAa（2R为三角形外接圆直径），（S为三角形面积），其他形式：a：b：c=sinA：sinB：sinCa=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC余弦定理：a2=b2+c2-2bccosA,(可按a,b,c,轮换得另二式)余弦定理变式：bcacbA2cos222,(轮换得另二式)余弦定理向量式：如图a=b+c,c=a–bc2=|c|2=|a-b|2=(a-b)2=a2+b2-2﹒a﹒b=a2+b2-2abcosC(其中｜a|=a,|b|=b,|c|=c)【例1】在△ABC中，求证：tanAtanB＝a2＋c2－b2b2＋c2－a2.►变式训练1在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边．求证：cosBcosC＝c－bcosAb－ccosA.【例2】在△ABC中，若B＝60°，2b＝a＋c，试判断△ABC的形状．►变式训练2在△ABC中，已知(a＋b＋c)(b＋c－a)＝3bc，且sinA＝2sinBcosC，试确定△ABC的形状．CABacb上海市剑青教育中心由教学研究专家和中学一线教师组成强大的师资队伍由考试研究专家精心打造训练材料，为全面提高上海市中小学生的各科成绩服务2【当堂训练】1、在三角形ABC中,如果BAcossin,那么这个三角形是（）A．直角三角形B．锐角三角形C．钝角三角形D．直角三角形或钝角三角形2、在△ABC中，“A30”是“1sinA2”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件3、在△ABC中，已知B=30°,b=503,c=150，那么这个三角形是（）A．等边三角形B．直角三角形C．等腰三角形D．等腰三角形或直角三角形4、设A是△ABC中的最小角，且1cos1aAa，则实数a的取值范围是（）A．a≥3B．a＞－1C．－1＜a≤3D．a＞05、在△ABC中，a,b,c,分别是三内角A、B、C所对的边，若B=2A，则b:a的取值范围是（）A．2,2B．1,2C．1,1D．0,16、在△ABC中，若三个内角A，B，C成等差数列且ABC，则coscosAC的取值范围是（）A．11,24B．31,44C．11,24D．31,447、在ABC中，CBA、、所对的边长分别为cba、、，设cba、、满足条件222abccb和132cb，求A和Btan的值．8、已知ABC的三边a、b、c成等比数列，且47cotcot7AC，3ca．（1）求Bcos；（2）求ABC的面积．上海市剑青教育中心由教学研究专家和中学一线教师组成强大的师资队伍由考试研究专家精心打造训练材料，为全面提高上海市中小学生的各科成绩服务3【家庭作业】一、填空题1．在ABCΔ中，已知613πB,b,a，则c___________2．已知等腰三角形的底边上的高与底边长之比为34:，则它的顶角的正切值是__________3．在ABCΔ中，若2coscossincoscossinsinsinBABABABA，那么三角形的形状为_______________4．在ABCΔ中，211BcotAcot，则Csinlog2_______________5．在ABCΔ中，313S,b,πA，则CsinBsinAsincba6．在锐角ABCΔ中，若11tBtan,tAtan，则t的取值范围是__________7．在ABCΔ中，若1222CsinBsinAsinCsinBsin，则A________________8．在ABCΔ中，已知42πA,a，若此三角形有两解，则b的取值范围是__________________9．(A)在ABCΔ中，acb,BCA22，则三角形的形状为________________(B)已知ABC，且sincoscosABC，则在cotcottantanBCBC、、sinB+sinC及coscosBC中必为常数的有_________10．(A)在ABCΔ中，21a,c，则C的取值范围是__________________(B)已知三角形的三边长分别是2223,33,20aaaaaa，则三角形的最大角等于______________二、选择题11．在ABCΔ中，BcosAcosBsinAsin是2πC（）A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.既非充分又非必要条件12．在ABCΔ中，若543::Csin:Bsin:Asin则此三角形是（）A.等腰三角形B.直角三角形C.锐角三角形D.钝角三角形13．在ABCΔ中，若232222bAcoscCcosa，那么其三边关系式为（）A.cba2B.bca2C.acb2D.bca32214．(A)在ABCΔ中，c,b,a为三角形三条边，且方程02222bacxx有两个相等的实数根，则该三角形是（）A.直角三角形B.锐角三角形C.钝角三角形D.等腰三角形(B)已知关于x的方程2coscos1cos0xxABC的两根之和等于两根之积的一半，则ABCΔ是（）A.等腰三角形B.直角三角形C.等腰或直角三角形D.等腰直角三角形三、解答题15．在ABCΔ中，若22AcosCsinBsin，试判断三角形的形状上海市剑青教育中心由教学研究专家和中学一线教师组成强大的师资队伍由考试研究专家精心打造训练材料，为全面提高上海市中小学生的各科成绩服务416．在ABCΔ中，若accbacba，求B。17．在ABCΔ中，若272242AcosCBsin。（1）求A；（2）若33cb,a，求c,b的值。18．(A)已知A码头在B码头的南偏西75处，两码头相距200千米，甲、乙两船同时分别由A码头和B码头出发，乙船朝着西北方向航行，乙船的航行速度为40海里/小时，如果两船出发后5小时相遇，求甲船的速度。（1海里=1.852千米）（精确到0.1海里）(B)甲船在A点发现乙船在北偏东60的B点处，测的乙船以每小时a海里的速度向正北行使。已知甲船速度是每小时a3海里，问：甲船如何行驶才能最快与乙船相遇？19、(A)在ABCΔ中，若CcosBcosCsinBsinAsin，（1）判断三角形的形状；（2）如果三角形面积为4，求三角形周长的最小值。(B)三条线段长分别为sin,sin和sin，其中02、，，是否能以此三条线段构成三角形？并说明理由。上海市剑青教育中心由教学研究专家和中学一线教师组成强大的师资队伍由考试研究专家精心打造训练材料，为全面提高上海市中小学生的各科成绩服务5参考答案例1、证明方法一左边＝sinAcosAsinBcosB＝sinAcosBsinBcosA＝ab·a2＋c2－b22acb2＋c2－a22bc＝a2＋c2－b2b2＋c2－a2＝右边，所以tanAtanB＝a2＋c2－b2b2＋c2－a2.方法二右边＝a2＋c2－b22ac·2acb2＋c2－a22bc·2bc＝a2＋c2－b22ac·ab2＋c2－a22bc·b＝cosBcosA·sinAsinB＝sinAcosA·cosBsinB＝tanAtanB＝左边，所以tanAtanB＝a2＋c2－b2b2＋c2－a2.变式1证明方法一左边＝a2＋c2－b22aca2＋b2－c22ab＝b(a2＋c2－b2)c(a2＋b2－c2)右边＝c－b·b2＋c2－a22bcb－c·b2＋c2－a22bc＝b(a2＋c2－b2)c(a2＋b2－c2)∴等式成立．方法二右边＝2RsinC－2RsinB·cosA2RsinB－2RsinC·cosA＝sin(A＋B)－sinBcosAsin(A＋C)－sinCcosA＝sinAcosBsinAcosC＝左边∴等式成立．例2、解方法一根据余弦定理得b2＝a2＋c2－2accosB.∵B＝60°，2b＝a＋c，∴a＋c22＝a2＋c2－2accos60°，整理得(a－c)2＝0，∴a＝c.∴△ABC是正三角形．方法二根据正弦定理，2b＝a＋c可转化为2sinB＝sinA＋sinC.又∵B＝60°，∴A＋C＝120°.∴C＝120°－A，∴2sin60°＝sinA＋sin(120°－A)，整理得sin(A＋30°)＝1，∴A＝60°，C＝60°.∴△ABC是正三角形．变式2解由(a＋b＋c)(b＋c－a)＝3bc，得b2＋2bc＋c2－a2＝3bc，即a2＝b2＋c2－bc，∴cosA＝b2＋c2－a22bc＝bc2bc＝12，∴A＝π3.又sinA＝2sinBcosC．∴a＝2b·a2＋b2－c22ab＝a2＋b2－c2a，∴b2＝c2，b＝c，∴△ABC为等边三角形．【当堂训练】1、答案：D上海市剑青教育中心由教学研究专家和中学一线教师组成强大的师资队伍由考试研究专家精心打造训练材料，为全面提高上海市中小学生的各科成绩服务6解析：利用正、余弦定理将角变为边求解2、答案：B解析：利用三角形内角和与三角函数的性质来解决3、答案：D解析：利用正弦定理4、答案：A解析：因为A是最小的角，根据A的范围来求。5、答案：B6、答案：C解析：∵2B=A+C，∴3B．设3Ad，3Cd（d0）．则21coscossin4ACd，又03d∴30sin2d．∴11coscos,24AC7、答案：60A,1t2anB解析：解法一：由余弦定理1cos2A，因此，60A在△ABC中，∠C=180°－∠A－∠B=120°－∠B.由已知条件，应用正弦定理：BBBCbcsin)120sin(sinsin321,21cot23sinsin120coscos120sinBBBB解得cot2B从而1t2anB解析：（1）由47cotcot7ACsin()47sinsin7ACACBCA2sinsinsin，BCAsin)sin(774sinsin2BB…47sinB由a、b、c成等比数列，知2bac，且b不是最大边43471sin1cos22BB（2）由余弦定理Baccabcos2222得上海市剑青教育中心由教学研究专家和中学一线教师组成强大的师资队伍由考试研究专家精心打造训练材料，为全面提高上海市中小学生的各科成绩服务7accaaccaac27)(432222，2ac47sin21BacSABC【家庭作业】一、填空题1.2或12.55483.等腰直角三角形4.215.39326.(，2)7.38.222,9.（A）等边三角形，(B)tantanBC10.（A）60,,(B)120二、选择题11.C12.B13.B14.（A）A(B)A三、解答题15.由22ACBcossinsin，得CBACBcoscossinsin112，化简得1CBcos，CB，CB，即ABC是等腰三角形。16.accbacba，accab222，21222222222acaccacaacbcaBcos，120B17.（1）由题设得2712122ACBcoscos，即2712122AAcoscos，解得21Acos，故60A；（2）,cos21A212222bcacb，即bc