平面几何的几个重要的定理梅涅劳斯定理

平面几何的几个重要的定理一、梅涅劳斯定理：1BAACCBCBAhhhhhhRBARQACQPCBPlCBAhhh的垂线的长度，则：到直线、、分别是、、证：设注：此定理常运用求证三角形相似的过程中的线段成比例的条件；。的交点，证明：与是的中点，是上，在点的平分线，是是斜边上的高，中，：若直角例CE//BFCKDEFACDAKEACKCECKABC11PCBPRQPABCABCABCABCl1RBARQACQ，则、、的延长线分别交于或它们、、的三边的顶点，并且与不经过：若直线定理CE//BFCKEFKBKEBKKCKFBEBKFCKFBEBKBCBPACEPACCKAEEKFCKF1FCKFEKAEDACDFEDACKEPCKEPBCEBCCEBH90HCBACEHCBHBCACEHBCACKEBCBHBEBC＝依分比定理有：＝即：＝于是依梅涅劳斯定理有：、、和三点对于，则：上的高作为等腰三角形即：则：的平分线中，作在证：111111111111DBDA:CBCABDAD:BCACDCBADCBAK1，试证：、、、和、、、线分别交这四条直线于引四条直线，另两条直】从点【练习注：此定理常用于证明三点共线的问题，且常需要多次使用再相乘；共线；、、证明点引的垂线的垂足，、、向是从点、、的外接圆上；位于点例111111CBAABCABCPCBAABCP.2三点共线；、、综上可得：也重合与的延长线上时，同在与类似地可证得当矛盾＝这与于是可得即这时设必定重合，不然的话，与线段上，则同在与若的延长线上；线段上，或者同在或者同在与因此，或边上的点的个数也为三点中，位于、、由于在同一直线上的＝，则：又得：，于是由定理交于与直线证：设直线RQPRRABRRBRARBRARBRARBRAR,BRBR,ARABARAB,ARARRRABRRABABRR20ABCRQPRBARBRAR1RBARQACQ1BRARQACQ1RABPQ''''''''''''''''''PCBPPCBP三点共线；、、求证：，，这时若或边上的点的个数为三点中，位于、、三点，并且上或它们的延长线上的、、的三边分别是、、：设定理RQPPCBP20ABCRQPABCABCABCRQP21RBARQACQCBA1A1B1C三点共线；、、依梅涅劳斯定理可知，＝可得且将上面三条式子相乘，证：易得：111111111111111CBA1BCACABCBCABA180PBAPCA,PCBPAB,PBCPACPBAcosPBPABcosAPBCACPACcosAPPCAcosCPABCB,PCBcosCPPBCcosBPCABA直线上；在同一条、、的交点与，与，与，则、、上的切点分别为、、的内切圆在三边】设不等腰【练习ZYXABDECAFDBCEFFEDABCABCABC2三点共线；、、，试证：的交点是与线，直的交点是与，直线的交点为和，直线相交于，，】已知直线【练习222211211211111CBABCAACACBBCCBAABOCCBBAA311111111111111111111111111111111111111DBDA:CBCABDAD:BCAC1CBDBDACABDBCACAD1LDDBKBBKBDLD1BKKBCBLCLCBC1LCCAKAAKACLC1AKKADALDLDADBLBALALDAADDA//AD1即：得：将上面四条式子相乘可可得：和别用于，则把梅涅劳斯定理分相交与点与若，结论显然成立；证：若的证明练习共线、、，证明：、、的交点依次为和，和，和，和，记直线、、，在另一条上取点、、】在一条直线上取点【练习NMLNMLBCEFAFCDAFCDEDABDFBACE4三点共线、、可得的边上，由定理都不在、、又得：将上面三条式子相乘可＝＝同理可得：＝代人上式可得：又可得：所截，由定理被直线证：的证明练习ZYX2ABCZYX1ZBAZYACYXCBXBDEAZBAZAFDCYACYCEFBXCBXAFAE1FBAFEACEXCBX1XFEABC2共线由梅涅劳斯定理可知可得：将上面的三条式子相乘应用梅涅劳斯定理有：，和，和，和们边上的点：对所得的三角形和在它的交点，和，和，和分别是直线、、证：设的证明练习222222222221111221111221111211211211111111222C,B,A1BACACBABACBC1CBABOCCCAAOA1BACAOBBBCCOC1ACBCBBOBOAAA)B,CA(OAC),A,CB(OBC),C,BA(OABBAABCAACCBBCCBA3平面几何的几个重要定理――――塞瓦定理塞瓦定理：1:RBARQACQPCBPCRBQAPABCABCABCRQP的充要条件是三线共点、、边上的点，则、、的分别是、、设共线点得：将上面五条式子相乘可，则有点涅劳斯定理于五组三元，应用梅，对、、的交点分别为和，和，和证：记直线的证明练习N,M,L,1VNUNUMWMWLVL1UFVFWDUDVBWB1UEVEWCUCVAWA1WBVBUCWCVNUN1YMWMVFUFWAVA1UDWDWLVLVEUE)F,D,B(),E,C,A(),N,C,B(),F,M,A(),E,D,L(UVWWVUCDABABEFCDEF4MQRACPB；相交于一点点、、重合，故必与上，所以都在线段和因为＝于是：，由塞瓦定理有：，于交，且直线相交于与，设再证充分性：若＝以上三式相乘，得：同理：，则：相交于点、、证：先证必要性：设’’‘’‘’‘MCRBQAPRRABRRRBARBRARBRARQACQPCBPRABCMMBQAPRBARQACQPCBPRBARQACQPCBPSSRBARSSQACQSSSSSSPCBPMCRBQAPBCMACMABMBCMACMABMCMPBMPACPABP111交于一点；：证明：三角形的中线例1交于一点；成立，即而显然有：我们只须证明，，，的中线证明：记ABCABCBCABABCACABCBCABABCACABCBCABABCACCCBBAAABC1,,1111111111111111111111分线交于一点；】证明：三角形的角平【练习1高交于一点；】证明：锐角三角形的【练习2ABCPPBMANNMBCACLLABCABC，证明：的交点是和，设和足分别是的垂线，垂和作边，从于的平分线交于中，角：在锐角例2CBA1A1B1CCBA1A1B1CABCPPANBMCKBLBCACALBLBCACALBLBCNBBKBKCBNLACALAKAMAKCAMLNBBKAKAMCNMCAKBKNBCNMCAMANBMCKPANBMCKABCK点三线共点，且为、、理可知：依三角形的角平分线定即要证即要证明：又即要证：三线共点，依塞瓦定理、、要证点，三线共点，且为、、下证证：作1111FDAEDAANAMBFBDAFCECDAEFBAFEACEDCBDPCFBEADBFBDAFANCECDAEAMBFAFBDANCEAECDAMBDFANFCDEAMEBCMNBCAD1,,,//，根据塞瓦定理可得：共点于、、于是，可得，故三线共点；、、，证明：，且、、外有三点】已知【练习CRBNAMBCMACNABRCBMCANBARRNMABC,,3KLNMCBAFDAEDAFEABACCPBPADPBCDABCAD＝，则和交于、分别与、上任一点，是边上，若在的高，且是设例.3ANAMFDAEDANMDFDEADA可以转化为证明，。欲证、交于的延长线分别、的垂线，与作证：过于一点；也相交、、直线分线对称于这些直线的一点，证明，关于角平相交于、、，使、、上取点、、的边】在【练习2221111114CCBBAACCBBAACBAABCABCABCBABCBBACABAACBCACCABCBCABABCACCBAABCABCABC111111111111111sinsinsinsinsinsin.4证明：，、、上取点、、的边在例BABCBBACABAACBCACCABCBCABABCACCABABCBBABCBBCACABAACABAABCBCACCBCACCBCBBCCCAACCCCACBCCACC11111111111111111111111111111111sinsinsinsinsinsinsinsinsinsinsinsinsinsinsinsinsinsinsinsinsinsin从而同理：即：应用正弦定理，可得：和证：如图对一点；三角形的角平分线交于的角平分线分别是证：记答案：练习1,,,,,1111111111111111ABCBCABABCACcaABCBbcCABAabBCACCCBBAAABC于一点；锐角三角形的三条高交同理可得：则：则：＝，那么＝设的角平分线分别是证：记锐角答案：练习12,22,222)(,,,,21111112221222122212221222122212212211111ABCBCABABCACacabCAabacBAcbcaBCcacbACbabcABbcbaxCBxaBBxbcxbABxCBCCBBAAABC平面几何的几个重要定理－－托勒密定理托勒密定理：圆内接四边形中，两条对角线的乘积(两对角线所包矩形的面积)等于两组对边乘积之和(一组对边所包矩形的面积与另一组对边所包矩形的面积之)sin(sin)sin(sin)sin(sin)sin(sin)sin(sin)sin(sin1)sin(1)sin(sinsin,,3ABACBCANCNCACBABCMBMCACBABAMCCMACAMABMABCAMACBAMABSSCMBMCBAABCRABCRNACBNMBCAMACMABM＝同理：＝即：、、三个内角分别记为的交于与，交于与交于与证：设的答案：练习‘‘‘‘‘‘‘‘‘‘‘三点共线。、、根据塞瓦定理可知：＝：将以上三式子相乘可得＝‘‘‘‘‘‘‘‘‘‘‘CRBNAMBRARANCNCMBMBCBACABRAR1)sin(sin)sin(sin三线共点、、从而，则、、关于角平分线对称于、、又的结论有：的边上，根据例位于、、证：的答案：练习222222222111111111111222222211211122222222222222222211sinsinsinsinsinsinsinsinsinsinsinsin,,sinsinsinsinsinsin44CCBBAAABCBCABABCACCBABBACAACBCCBBBABBAAACAACCCBCBABCBBACABAACBCACCCBCACCCBCACCCCBBAACCBBAABABCBBACABAACBCACCABCBCABABCACABCCBA和)．即：；内接于圆，则有：设四边形BDACBCADCDABABCD；内接于圆时，等式成立并且当且仅当四边形中，有：定理：在四边形ABCDBD