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直线与圆的位置关系第29讲┃直线与圆的位置关系考点聚焦归类探究考点1直线和圆的位置关系考点聚焦回归教材中考预测设⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d，那么(1)直线l和⊙O相交⇔________(2)直线l和⊙O相切⇔________(3)直线l和⊙O相离⇔________drd=rdr第29讲┃直线与圆的位置关系考点聚焦归类探究回归教材中考预测考点2切线的性质定理：圆的切线________于经过切点的半径．技巧：圆心与切点的连线是常用的辅助线．垂直第29讲┃直线与圆的位置关系考点聚焦归类探究回归教材中考预测考点3切线的判定定理：经过半径的外端并且________于这条半径的直线是圆的切线．证圆的切线技巧：(1)如果直线与圆有交点，连接圆心与交点的半径，证明直线与该半径垂直，即“有交点，作半径，证垂直”．(2)如果直线与圆没有明确的交点，则过圆心作该直线的垂线段，证明垂线段等于半径，即“无交点，作垂直，证半径”．垂直第29讲┃直线与圆的位置关系考点4三角形的内切圆考点聚焦归类探究回归教材中考预测三角形的内切圆与三角形各边都相切的圆叫三角形的内切圆，这个三角形叫圆的外切三角形三角形的内心三角形内切圆的圆心叫做三角形的内心．它是三角形______________的交点，三角形的内心到三边的________相等三条角平分线距离第29讲┃直线与圆的位置关系考点聚焦归类探究回归教材中考预测规律清单⊙I内切于△ABC，切点分别为D、E、F，如图．则(1)∠BIC＝90°＋12∠BAC；(2)△ABC三边长分别为a、b、c，⊙I的半径为r，则有S△ABC＝12r(a＋b＋c)；(3)(选学)△ABC中，若∠ACB＝90°，AC＝b，BC＝a，AB＝c，则内切圆半径r＝a＋b－c2第29讲┃直线与圆的位置关系探究一直线和圆的位置关系的判别命题角度：1.定义法判别直线和圆的位置关系；2.d，r比较法判别直线和圆的位置关系．考点聚焦归类探究回归教材中考预测归类探究例1[2013·南州]Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3cm，BC＝4cm，以C为圆心，r为半径作圆，若圆C与直线AB相切，则r的值为()A．2cmB．2.4cmC．3cmD．4cmB第29讲┃直线与圆的位置关系考点聚焦归类探究回归教材中考预测解析r的长即为斜边AB上的高，由勾股定理易求得AB的长，根据直角三角形面积的不同表示方法，即可求出r的值．Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3cm，BC＝4cm，由勾股定理，得AB2＝32＋42＝25，∴AB＝5.过点C作CD⊥AB于点D.∵AB是⊙C的切线，∴CD＝r.∵S△ABC＝12AC·BC＝12AB·r，∴r＝2.4cm.第29讲┃直线与圆的位置关系在判断直线与圆的位置关系的时候可以根据定义法，也可以利用圆心到直线的距离与圆的半径的大小关系进行比较，在判断其关系时要结合题目的已知条件选择正确的方法．考点聚焦归类探究回归教材中考预测第29讲┃直线与圆的位置关系探究二圆的切线的性质命题角度：1.已知圆的切线得出结论；2.利用圆的切线的性质进行有关的计算或证明．考点聚焦归类探究回归教材中考预测例2[2012·湛江]如图29－1，已知点E在Rt△ABC的斜边AB上，以AE为直径的⊙O与直角边BC相切于点D.(1)求证：AD平分∠BAC；(2)若BE＝2，BD＝4，求⊙O的半径．图29－1第29讲┃直线与圆的位置关系考点聚焦归类探究回归教材中考预测解析(1)先连接OD，则OD⊥BC，且AC⊥BC，再由平行从而得证；(2)设圆的半径为R，在Rt△BOD中利用勾股定理即可求出半径．第29讲┃直线与圆的位置关系考点聚焦归类探究回归教材中考预测解(1)证明：连接OD，∵BC与⊙O相切于点D，∴OD⊥BC.又∵∠C＝90°，∴OD∥AC，∴∠ODA＝∠DAC.而OD＝OA，∴∠ODA＝∠OAD，∴∠OAD＝∠DAC，即AD平分∠BAC.第29讲┃直线与圆的位置关系考点聚焦归类探究回归教材中考预测解(2)设圆的半径为R，在Rt△BOD中，BO2＝BD2＋OD2.∵BE＝2，BD＝4,∴(BE＋OE)2＝BD2＋OD2，即(2＋R)2＝42＋R2，解得R＝3，故⊙O的半径为3.第29讲┃直线与圆的位置关系“圆的切线垂直于过切点的半径”，所以连接切点和圆心构造垂直或直角三角形是进行有关证明和计算的常用方法．考点聚焦归类探究回归教材中考预测第29讲┃直线与圆的位置关系探究三圆的切线的判定方法命题角度：1.利用圆心到一条直线的距离等于圆的半径，判定这条直线是圆的切线；2.利用一条直线经过半径的外端，且垂直于这条半径，判定这条直线是圆的切线．例3[2013·湖州]如图29－2，已知P是⊙O外一点，PO交⊙O于点C，OC＝CP＝2，弦AB⊥OC，劣弧AB︵的度数为120°，连接PB.(1)求BC的长；(2)求证：PB是⊙O的切线．图29－2第29讲┃直线与圆的位置关系考点聚焦归类探究回归教材中考预测解(1)连接OB，∵弦AB⊥OC，劣弧AB的度数为120°，∴∠COB＝60°.又∵OC＝OB，∴△OBC是正三角形，∴BC＝OC＝2.第29讲┃直线与圆的位置关系考点聚焦归类探究回归教材中考预测解(2)证明：∵BC＝CP，∴∠CBP＝∠CPB.∵△OBC是正三角形，∴∠OBC＝∠OCB＝60°.∴∠CBP＝30°，∴∠OBP＝∠CBP＋∠OBC＝90°，∴OB⊥BP.∵点B在⊙O上，∴PB是⊙O的切线．第29讲┃直线与圆的位置关系在涉及切线问题时，常连接过切点的半径，要想证明一条直线是圆的切线，常常需要作辅助线．若已知直线过圆上某一点，则作出过这一点的半径，证明直线垂直于半径；若直线与圆的公共点没有确定，则应过圆心作直线的垂线，证明圆心到直线的距离等于半径．考点聚焦归类探究回归教材中考预测第29讲┃直线与圆的位置关系探究四三角形的内切圆命题角度：1.三角形的内切圆的定义；2.求三角形的内切圆的半径．例4[2012·玉林]如图29－3，Rt△ABC的内切圆⊙O与两直角边AB，BC分别相切于点D、E，过劣弧DE︵(不包括端点D、E)上任一点P作⊙O的切线MN，与AB，BC分别交于点M，N，若⊙O的半径为r，则Rt△MBN的周长为()A．rB.32rC．2rD.52r图29－3C第29讲┃直线与圆的位置关系考点聚焦归类探究回归教材中考预测解析连接OD、OE，则∠ODB＝∠DBE＝∠OEB＝90°，推出四边形ODBE是正方形，得出BD＝BE＝OD＝OE＝r.根据切线长定理得出MP＝DM，NP＝NE,Rt△MBN的周长为：MB＋NB＋MN＝MB＋BN＋NE＋DM＝BD＋BE＝r＋r＝2r，故选C.第29讲┃直线与圆的位置关系解三角形内切圆问题，常转化到直角三角形中，利用勾股定理或直角三角形的性质及三角函数等解决．考点聚焦归类探究回归教材中考预测第29讲┃直线与圆的位置关系切线的判别教材母题北师大版九下P131数学理解第1题回归教材考点聚焦归类探究回归教材中考预测如图29－4，已知直线AB经过⊙O上的点C，并且OA＝OB，CA＝CB，那么直线AB是⊙O的切线吗？为什么？图29－4第29讲┃直线与圆的位置关系考点聚焦归类探究回归教材中考预测解：直线AB是⊙O的切线．理由：连接OC，∵OA＝OB，CA＝CB，∴OC⊥AB.∵OC为⊙O的半径，∴直线AB是⊙O的切线．第29讲┃直线与圆的位置关系考点聚焦归类探究回归教材中考预测中考预测1．在平面直角坐标系中，以点(－1，2)为圆心，1为半径的圆必与()A．x轴相交B．y轴相交C．x轴相切D．y轴相切D解析由题意，得点(－1，2)到x轴的距离为2(大于半径)，到y轴的距离为1(等于半径)，所以以点(－1，2)为圆心，1为半径的圆必与y轴相切．第29讲┃直线与圆的位置关系考点聚焦归类探究回归教材中考预测2．如图29－5，已知在⊙O中，AB是直径，过B点作⊙O的切线，连接CO，若AD∥OC交⊙O于D，求证：CD是⊙O的切线．图29－5第29讲┃直线与圆的位置关系考点聚焦归类探究回归教材中考预测解证明：连接OD，∵AD∥OC，∴∠COB＝∠DAO，∠COD＝∠ODA.∵OA＝OD，∴∠ODA＝∠OAD，∴∠COB＝∠COD.第29讲┃直线与圆的位置关系考点聚焦归类探究回归教材中考预测解又∵CO为公共边，OD＝OB，∴△COB≌△COD，∴∠CBO＝∠ODC.又∵BC是⊙O的切线，AB是直径，∴∠CBO＝∠ODC＝90°，∴CD是⊙O的切线．