用于特快速暂态分析的大型电力变压器线圈的宽频建模

中国科学E辑:技术科学2009年第39卷第10期:1655~1662www.scichina.comtech.scichina.comSCIENCEINCHINAPRESS引用格式:杨钰,王赞基.用于特快速暂态分析的大型电力变压器线圈的宽频建模.中国科学E辑:技术科学,2009,39(10):1655—1662YangY,WangZJ.Widebandmodelingoflargepowertransformerwindingsforveryfasttransientovervoltage(VFTO)analysis.SciChinaSerE-TechSci,2009,52(9):2597—2604,doi:10.1007/s11431-009-0240-z用于特快速暂态分析的大型电力变压器线圈的宽频建模杨钰,王赞基*清华大学电机系电力系统国家重点实验室,北京100084*E-mail:[e-mail]收稿日期:2008-12-08;接受日期:2009-05-24摘要针对将多导体传输线(MTL)模型用于大型变压器整个绕组宽频带建模存在着的困难,本文首先推导了多导体传输线长度归一化的模型,解决了由于实际线匝长度不一致带来传输线上模量计算上的困难,并且可以将多导体传输线模型扩展应用到多绕组线圈的建模;其次,分析了以线匝为单元的集总参数电路模型相对于多导体传输线模型的误差,指出前者用于大型超高压和特高压变压器建模的适用频率大致在2.5MHz以内;然后,从多导体传输线二端口模型出发,推导了一种以线匝为单元的新型集总参数等值电路模型,该模型用于大型超高压和特高压变压器线圈的建模,其适用频率范围比原有的集总参数电路模型提高近2MHz.关键词特快速暂态电力变压器宽频建模集总参数模型多传输线模型多导体传输线(MTL)模型已经大量地用于大型电力变压器线圈的高频或宽频建模,以便分析线圈中的特快速暂态过电压(VFTO)[1~5]、局部电磁振荡[6]和局部放电[7]等.但是,将MTL应用于大型变压器线圈以线匝为单元的建模时存在一些还没有被充分注意到的问题或者难以解决的问题.第1个问题由变压器绕组线匝长度不等引起.在MTL模型中,所有传输线是平行直线且等长度的.但是变压器线圈的线匝是圆形的或近似矩形的且匝长不相等.虽然平行传输线与大型同轴圆回路传输线的电磁场可以假设为相似的,但是线圈中线匝长度不相等却是不能忽略的.大型变压器的线圈,无论是心式变压器还是壳式变压器,多数是饼式线圈.在现有已经生产的超高压或特高压变压器的高压绕组中,线饼中线匝长度之差可达20%左右.这个问题不但在建立MTL方程并计算方程系数矩阵时难以处理,而且在求解MTL方程时,比如采用模量法解方程时存在很大困难.多传输线模型用于2个或2个以上绕组建模存在更大困难,这是因为不同绕组的线匝长度差别更大.第2个问题是变压器绕组有很多线匝,而求解大规模MTL方程的复杂度甚高.虽然有人提出将绕组的一部分用MTL建模,剩余的部分用一个终端集总参数阻抗建模[8]或用一个黑匣子建模[3],但是困难在于如何在2种不同的模型之间引入电耦合和磁耦合.一个覆盖从数kHz到数MHz频率范围的宽频模型必须考虑所有线匝间存在的电磁耦合.因此,如果用MTL模型对整个高压绕组建立以线匝为单元的模型,杨钰等:用于特快速暂态分析的大型电力变压器线圈的宽频建模那么模型的维数将会特别巨大,以至于现有的数值计算方法和普通台式计算机根本无法求出满足精度要求的解答.针对以上问题,本文对电力变压器的宽频建模进行研究并提出了一种新型的集总参数电路模型.首先,分析了以平均匝长为传输线长度的MTL模型的物理意义,然后提出了传输线长度归一化的MTL模型;其次将以线匝为单元的多导体传输线模型作为比较依据,分析了以线匝为单元的集总参数等值电路模型的适用频率范围;昀后,基于多导体传输线方程推导出一种以线匝为单元的新型集总参数模型,不但提高了集总参数电路模型的适用频率范围,而且其求解难度远远低于传输线模型.1长度归一化的多导体传输线方程多导体传输线的模型如下式所示,,xtxt∂∂⎧=−−⎪⎪∂∂⎨∂∂⎪=−−⎪∂∂⎩uiLRiiuCGu(1)式中,u,i是沿传输线分布的电压、电流列向量,L,R,C,G分别是传输线单位长度的电感矩阵、电阻矩阵、电容矩阵和电导矩阵.通常,L是满阵.当将传输线模型应用于变压器线圈建模时,首先遇到的是线匝长度不相等的问题.由于在MTL模型中所有传输线必须具有相同的长度,一种自然的办法是以绕组的平均线匝长度作为所有线匝的长度.这样,(1)式的系数矩阵是通过先计算以线匝为单元的集总参数,然后除以平均线匝长度而获得.为了清楚地说明这种处理方法的合理性,不妨先忽略传输线之间的互感和互电容.再假设所有传输线处于均匀介质中,即具有相同的磁导率μ和介质常数ε.若以平均导线长度A代替第m根导线的实际长度,令其比值为mAmk=AA,那么为了保持该传输线总电感和总电容不变,其单位长度电感和电容分别变为0mmmmLkLkL==AA和0,mmmmCkCkC==AA()这样电磁波在该传输线上传输速度改变为2001mmkLC=mvk,而传输时间变为()mmvkv=AAm,即传输时间不变.换句话说,如果实际传输线长度小于平均线长,那么k1,传输线变长了,波速需要增加,传输时间不变;反之亦然.这种处理办法虽然没有改变每条传输线上的传输时间,但是使得所有传输线具有相同的长度.当传输线之间存在电磁耦合时,经过相-模解耦变换之后获得的独立的模量在独立的传输线上传输,这就与前面分析的情况完全相同了.事实上,采用平均匝长的这种MTL模型与以圆柱坐标系下建立的环形传输线模型是完全等效的[9].值得一提的是,上面的方法采用平均匝长代替实际匝长是一种线长和传输速度之间的等效变换,条件是保持波阻抗和传输时间不变.因为只要波阻抗和传输时间不变,电路的解答就不会发生改变.在这样的条件之下,可以将线长变换为任意长度,其中,取线匝长度为1m应该是一种昀好的选择.在这种选择之下,不仅仅多传输线模型可以用于多绕组线圈建模,而且(1)式中的系数矩阵在数值上就等于以线匝为单元所计算的集总参数矩阵.线匝长度取为1m的MTL模型称为长度归一化的MTL模型.下面各节提到的MTL模型就是指这种模型.2以多导体传输线模型为依据分析集总参数电路模型的适用频率将变压器线圈以线匝为单元进行剖分,以所有线匝的始端和末端作为输入输出端口,可以建立其二端口等值电路,如图1所示.图1传输线集总参数π型等值电路其中,R,L表示线匝的集总参数电阻矩阵和电感矩阵;G,C表示线匝之间以及线匝与邻近导体之间的漏电导矩阵和电容矩阵.R为对角矩阵,所有线匝之间都有互感,所以L为满阵;G与C为非对角矩阵,但也不是满阵.IS,IR分别为各线匝首、末端电流向量,其参考方向如图1所示;US,UR分别为各线匝首、末端电压向量.由图1电路可写出线匝首、末端的电流、电压向1656中国科学E辑:技术科学2009年第39卷第10期量之间的关系为()()()()()()1SSS1RRR1,21.2ssss−−⎧=+++−⎪⎪⎨⎪=+++−⎪⎩IGCURLUUIGCURLUURS(2)根据线匝连接关系以及绕组首、末端连接条件,(2)式容易整理成节点电压方程.另一方面,(1)式表示的MTL方程在频域中的形式为()()d,dd,dsxsx⎧=−+=−⎪⎪⎨⎪=−+=−⎪⎩ULRIZIICGUYU(3)其中,U和I分别是(1)式中u和i的拉普拉斯变换.在线匝长度归一化的条件下,系数矩阵L,R,C,G在数值上与(2)式是相同的.令P与W分别为电流、电压向量的相模转换矩阵,且满足:(4)11,s−−==WZYWPYZPΛ22(5)11,s−−==PYWWZPΛTT,==WPPWΛ(6)其中,s是复频率,Λ是对角矩阵,它的第j个对角线元素λj是第j个模速度的倒数,对于约定传输线长度为1m而言,它也是第j个模量在传输线上的传输时间.这样(2)式的解可以表示为(){}(){}1111eeeessss−−−−−−⎧=+⎪⎨=−⎪⎩++UxWWUWUIxPWUWUΛΛΛΛ,,−−RR(7)其中,U+与U−分别表示电压的前向波与反向波,其值由线端条件决定.由(7)式可解出首、末端电压和电流之间的关系为(8)()()()()111SS111RScothsinh,sinhcoth.ssss−−−−−−⎧=−⎪⎨=−+⎪⎩IPWUPWUIPWUPWUΛΛΛΛ令()11112tanh,2sinh.ss−−−⎛⎞=⎜⎟⎝⎠=YPWYPWΛΛ(9)(8)式也可化为()()S1S2SRR1R2RS,.⎧=+−⎪⎨=+−⎪⎩IYUYUUIYUYUU(10)这一关系可用图2所示的二端口电路模型表示.图2传输线的二端口π型等值电路比较(2)和(10)式并且利用(9)式,可以看出,集总参数模型与分布参数模型的区别在于,(2)式用12(G+sC)与1()s−+RL分别取代了(10)式的1tanh2s−⎛⎞⎜⎟⎝⎠PWΛ与()1sinh.s1−−PΛW事实上,当时,||1sΛ1tanh2s⎛⎞⎜⎟⎝⎠Λ12s≈Λ,,于是,(9)式中的Y1与Y2可分别近似为()()11sinhss−−≈ΛΛ(11111tanh,222sss−−⎛⎞=≈=⎜⎟⎝⎠YPWPWCGΛΛ)+(11)()()1111112sinh.sss−−−−−−=≈=YPWPWLRΛΛ+(12)这时,图1和2两个电路是等效的.可见,以线匝为单元的集总参数等值电路是以线匝为单元的分布参数电路在满足1sΛ条件下的等效.现在需要来分析1sΛ这个条件的含义是什么.先做一个定性的分析.前面已经指出,Λ的第j个对角线元素λj是第j个模速度的倒数,或者是第j个模量在归一化传输线上的传输时间.设有一个置于油中的空心线圈,并设油的相对磁导率为1,相对介电常数为2.2,则电磁波传播速度约为2×108m/s.显然,直径为1m的线圈,其传输时间约为0.0157μs;直径为2m的线圈,其传输时间约为0.0314μs.由1sΛ可得(这里Λ=λ):872121010.22fDDλ×=≈ππ其中,D是线圈直径.可见,对于小型变压器线圈(线圈直径一般小于1m),当信号频率远小于10MHz时,满足1sΛ;对于大型变压器线圈(线圈直径2m左右),当信号频率远小于5MHz时,满足1sΛ.表11657杨钰等:用于特快速暂态分析的大型电力变压器线圈的宽频建模表1三个实际线圈计算的λmin与λmaxWindingnumber123λmin/10−80.26921.0201.247λmax/10−82.1945.1695.289给出了3个实际线圈所计算的Λ的昀小值和昀大值.其中第1个线圈是实验室的模型线圈,其平均直径是0.523m;第2个线圈是一台超高压变压器线圈的高压绕组,其平均直径为1.83m;第3个线圈是一台特高压变压器的高压绕组,其平均直径为2.57m.以直径为2.57m的第3个线圈的λmax计算满足ωλmax1的频率,可得f3MHz.这结果与前面定性分析是基本一致的.将多导体传输线π型等值电路模型和集总参数π型等值电路模型统一写成(13)S11S12RR12S11R,.=+⎧⎨=+⎩IYUYUIYUYU在多传输线模型中,Y11与Y12分别为()()111112coth,sinh;ss−−==−YPWYPWΛΛ1−1−而在集总参数模型中,Y11与Y12则为()()11111120.5,.sss−−−⎡⎤=+=−⎣⎦YPWYPWΛΛΛ因此,如果将集总参数电路看成是多传输线模型的近似,其近似的适用频率范围与下面近似式的适用范围是一致的.()()()()111coth0.5(),sinh.sssss−−−⎧≈+⎪⎨≈⎪⎩ΛΛΛΛΛ(14)为此,取s=jω,()()cothjcot,sω=−ΛΛ()1sinhs−=Λ代入到(14)式,定义该近似式的相对误差为(1jsinω−−Λ)()()()11cot0.5err,c