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参赛密码（由组委会填写）第第十十届届华华为为杯杯全全国国研研究究生生数数学学建建模模竞竞赛赛学校三峡大学参赛队号11075008队员姓名1.尹辉2.雷林3.姚远参赛密码（由组委会填写）第第十十届届华华为为杯杯全全国国研研究究生生数数学学建建模模竞竞赛赛题目空气中PM2.5问题的研究摘要：本文建立了相关性分析模型，灰色关联度模型，混合回归模型，高斯烟羽模型，分期治理最优化模型等模型，通过定量与定性分析的方法，从相关因素、分布与演变、控制管理三个方面，对PM2.5进行了深入的研究与探讨。针对问题一：1、以六种污染物为相关量，建立了相关性分析模型。将附件1的数据代入模型中，求得的结果表明：相关性最高的指标组是PM2.5和CO，其相关系数为0.82，相关性最低的指标组是NO2和O3，其相关系数为-0.063，即独立性最强。2、以PM2.5为参考数列，其它5种污染物为比较数列，建立了灰色关联度分析模型，将附件1的数据代入模型中，求得的结果表明：PM2.5与其它五种污染物的平均关联度为0.80，可见相关性较高。以PM2.5为因变量，其它五种污染物为自变量，先后建立多元线性回归模型和混合回归模型，模型结果表明：混合回归模型更优（相关系数由0.85增加为0.89）。3、利用互联网收集到全国76个城市AQI的6个监测指标和湿度数据，以PM2.5为因变量，其它五种污染物为自变量，建立了线性回归模型。将湿度指标也考虑为自变量后，回归模型的相关系数得到明显提升（由0.88提升到0.92），表明湿度与PM2.5存在较强的相关性。针对问题二：1、通过伽马分布预测出2013年西安市13个地区PM2.5的全部数据，利用MATLAB画出了PM2.5时空分布图，并得出了三种分布规律。考虑到各地区“污染程度”为较模糊的概念，因此建立了模糊综合评价模型，对每个地区的污染程度进行了综合评价，模型结果表明：高压开关厂地区污染指数最高（94.39），阎良区地区污染指数最低(75.27)。-1-2、对PM2.5受风力影响在大气中扩散的问题，建立了高斯烟羽模型进行分析。假设风向为正北向，风速为40/kmh，扩散系数σ为0.00001，排放源有效高度为50m，初始浓度为各监测站点的最高值，对模型进行求解，得到13个地区的扩散数据（仅列出高压开关厂地区的上风处扩散数据）：距离（km）02468101112PM2.5浓度（mg/m3）1000850703480292108210时间（min）0203658821061151213、将PM2.5污染程度划分为重度污染、中度污染和轻度污染（安全）三个级别，同样假设风向为正北向，风速为40/kmh，扩散系数σ为0.00001，排放源有效高度为50m，初始浓度为某站点最高值2倍，利用高斯烟羽模型求出13个地区的扩散数据，结合各个地区之间的距离，得到了各地区的污染程度。以高压开关厂为例，得到结果如下：轻度污染（安全）中度污染重度污染阎良区临潼区广运潭纺织城长安区市体育馆曲江文化集团兴庆小区其它地区4、利用互联网收集到了福岛第一核电站的放射性物质扩散数据，将放射性物质与PM2.5扩散数据进行对比，发现两者的扩散规律总体一致，从而验证了模型的合理性。利用物质的自身沉降作用和雨水吸附作用对高斯烟羽模型进行了修正，得到了修正后更为一般性的扩散模型。针对问题三：1、根据以往空气质量的变化趋势及PM2.5当前年平均浓度（2803/gmm)，预测出在不治理的情况下，五年后PM2.5年平均浓度为3243/gmm。然后采用分期治理的思想，将五年的治理时期分为前期、中期和后期。考虑到实际治理进度的变化规律与柯西分布函数相似，通过计算机模拟找出了最理想的柯西分布函数，由此确定了PM2.5的分期治理计划：时期前期（准备期）中期（治理期）后期（稳固期）年次第一年第二年第三年第四年第五年治理量百分比（%）9.632.738.815.33.6治理量31.1105.94125.7149.5711.662、以专项治理总费用最小为目标，建立了最优化模型。然后同样采用分期治理的思想，利用柯西分析函数对最优化模型进行修正，得到修正后的分期治理最优化模型。以数据1中PM2.5年平均浓度（823/gmm）为初始浓度，假设最终治理目标为303/gmm，对模型进行求解，得到总费用为3.38（百万），逐年治理计划如下表：时期前期（准备期）中期（治理期）后期（稳固期）年次第一年第二年第三年第四年第五年治理量3/gmm4.1513.6519.19.853.25费用（百万元）0.0860.9321.8240.4850.053将模型得到的治理计划与实际环境治理计划进行对比，发现两者的治理进度变化规律总体一致，从而验证了模型的合理性。关键字：相关性分析模型灰色关联度模型高斯烟羽模型柯西分布函数-2-1问题重述1.1问题背景“2013年初以来，中国发生大范围持续雾霾天气。据统计，受影响面积约占国土面积的1/4，受影响人口约6亿人”。对空气质量监测，预报和控制等问题，国家和地方政府均制定了相应政策、法规和管理办法。调整了环境空气功能区分类等。AQI是无量纲指数，它的分项监测指标为6个基本监测指标（二氧化硫SO2、二氧化氮NO2、可吸入颗粒物PM10、细颗粒物PM2.5、臭氧O3和一氧化碳CO等6项）。新标准中，首次将产生灰霾的主要因素——对人类健康危害极大的细颗粒物PM2.5的浓度指标作为空气质量监测指标。1.2问题的提出对细颗粒物PM2.5及相关的因素的统计数据还太少，对PM2.5的客观规律也了解得很不够。我们必须千方百计利用现有的数据开展研究，同时新课题、探索性研究、“灰箱问题”也有可能成为数学建模爱好者的用武之地。1.3本文所需解决的问题一、PM2.5的相关因素分析请依据附件1或附件2中的数据或自行采集数据，利用或建立适当的数学模型，对AQI中6个基本监测指标的相关与独立性进行定量分析，尤其是对其中PM2.5（含量）与其它5项分指标及其对应污染物（含量）之间的相关性及其关系进行分析。如果你们进而发现AQI基本监测指标以外的、与PM2.5强相关的（可监测的）成分要素，请陈述你们的方法、定量分析结果、数据及来源。二、PM2.5的分布与演变及应急处理请依据附件2、附件3中的数据或自行采集某地区的数据，通过数学建模探索完成以下研究：1、描述该地区内PM2.5的时空分布及其规律，并结合环境保护部新修订的《环境空气质量标准》地区进行污染评估。2、建立能够刻画该地区PM2.5的发生和演变（扩散与衰减等）规律的数学模型，合理考虑风力、湿度等天气和季节因素的影响，并利用该地区的数据进行定量与定性分析。3、假设该地区某监测点处的PM2.5的浓度突然增至数倍，且延续数小时，请建立针对这种突发情形的污染扩散预测与评估方法。并以该地区PM2.5监测数据最高的一天为例，在全地区PM2.5浓度最高点处的浓度增至2倍，持续2小时，利用你们的模型进行预测评估，给出重度污染和可能安全地区。4、采用适当方法检验你们模型和方法的合理性，并根据已有研究成果探索PM2.5的成因、演变等一般性规律。三、空气质量的控制管理数据1所在地区的环境保护部门考虑治污达标的紧迫性和可行性，在未来五年内，拟采取综合治理和专项治理相结合的逐年达到治理目标的方案。请考虑以下问题：-3-1、该地区目前PM2.5的年平均浓度估计为280（单位为3/gmm），要未来五年内逐年减少PM2.5的年平均浓度，最终达到年终平均浓度统计指标35（单位为3/gmm），请给出合理的治理计划，即给出每年的全年年终平均治理指标。2、据估算，综合治理费用，每减少一个PM2.5浓度单位，当年需投入一个费用单位（百万元），专项治理投入费用是当年所减少PM2.5浓度平方的0.005倍（百万元）。请你为数据1所在地区设计有效的专项治理计划，使得既达到预定PM2.5减排计划,同时使经费投入较为合理，要求你给出五年投入总经费和逐年经费投入预算计划，并论述该方案的合理性。2模型假设与符号说明2.1模型假设假设1：连续排放时PM2.5排放的速率恒定；假设2：PM2.5在平整、无障碍的地面上空扩散；假设3：地面及地标地物对PM2.5无吸收；假设4：风向水平，风速和风向恒定；假设5：风速大于无风情况下放射性气体扩散的速度；假设6：排放源的源强是连续且均匀的，初始时刻PM2.5的浓度、温度呈均匀分布。2.2符号说明表2-1符号说明参数符号符号说明(1,2,,6)iXi=分别代表SO2、NO2、PM10、CO、O3、PM2.5的监测指标(1,2,,5)iri=分别代表SO2、NO2、PM10、CO、O3对PM2.5的关联度ixPM2.5第i年减少（治理）量y代表样本PM2.5的含量u平均风速dPM2.5物质粒子直径iσ扩散系数αPM2.5年平均增长率0cPM2.5初始浓度-4-jc第j年PM2.5浓度Z五年专项治理投入总经费iS每年专项治理投入费用ik第一年到第i年PM2.5的累计减少量与PM2.5初始量之比3问题分析3.1针对问题一1、对AQI中6个基本监测指标的相关与独立性进行定量分析：这个问题是典型的相关性分析问题，因此可以建立相关性分析模型来求解。2、对PM2.5含量与其它5项污染物含量之间的相关性及其关系进行分析：首先可以利用灰色关联度模型分析PM2.5含量与其它5项污染物含量的关联度，然后可以以PM2.5含量为因变量，其它污染物含量为自变量，先后建立多元线性回归方程和混合回归模型，从而确定PM2.5与其它污染物的定量关系。3、PM2.5其它相关因素的探寻：题目中提到了二氧化硫（SO2），二氧化氮（NO2），一氧化碳（CO）是在一定环境条件下形成PM2.5前的主要气态物体，可以认为这些污染物在空气中通过物理和化学反应转化为了PM2.5，而水一般都是化学反应不可缺少的物质，因此有理由相信空气湿度与PM2.5有关。首先可以通过互联网收集到湿度数据，然后对数据进行分析，说明湿度与PM2.5的相关性。3.2针对问题二1、描述该地区PM2.5的时空分布及其规律，并地区进行污染评估：首先可以利用MATLAB画出该地区PM2.5的时空分布图，并由时空分布图分析PM2.5的分布规律。由于“污染程度”属于比较模糊的概念，因此可以利用模糊综合评价模型对各站点进行综合污染评估。2、建立能够刻画该地区PM2.5的扩散规律的数学模型，并利用该地区的数据进行定量与定性分析：考虑风速的情况下，空气中污染物的扩散，可以采用高斯烟羽模型进行分析，利用此模型求出西安市13个地区PM2.5的扩散数据，从而对该地区的污染情况进行定量与定性分析。3、全地区PM2.5含量最高点处的含量增至2倍，持续2小时，利用模型进行预测评估，给出重度污染和可能安全地区：首先根据新修订的《环境空气质量标准》将PM2.5划分为重度污染，中度污染，轻度污染（安全）三个等级，然后利用模型求出各个地区的扩散数据，最后结合各地区的两两距离，判断各个地区的污染情况。4、采用适当方法检验模型和方法的合理性，并根据已有研究成果探索PM2.5的成因、演变等一般性规律：由于发射性物质在大气中的扩散规律与PM2.5的扩散规律相似，因此可以将模型求出的PM2.5的扩散数据与已有的放射性物质扩散数据进行对比，从而检验结果和模型的合理性。对PM2.5扩散-5-一般性规律的探索，可以利用PM2.5自身沉降作用、雨水吸附作用等一般性因素对高斯扩散模型进行修正，从而得出PM2.5更为一般性的扩散规律。3.3针对问题三1、给出合理的PM2.5治理计划：考虑到实际环境治理过程中，往往是分期进行治理工作的，而且治理进度是先慢变快，再由快变慢（这种变化规律与柯西分布函数的变化规律很相似）。因此可以将PM2.5的治理计划分为前期（准备期），中期（治理期），后期（稳固期）三个时期，并由柯西分布函数对治理计划进行模拟，得出与实际环境治理过程相符的分期治理计划。2、给出合理的PM2.5专项治理计划：首先可以以专项治理费用最小为目标，建立最优化模型，同样可以引入分期治理的思想，利用柯西分布