2014创新设计高中数学(苏教版)第十章 第4讲 与圆锥曲线有关的定值、最值与范围问题

整理文档很辛苦,赏杯茶钱您下走!

免费阅读已结束,点击下载阅读编辑剩下 ...

阅读已结束,您可以下载文档离线阅读编辑

资源描述

抓住2个考点突破3个考向揭秘3年高考考点梳理1.圆锥曲线中的最值第4讲与圆锥曲线有关的定值、最值与范围问题(1)椭圆中的最值F1、F2为椭圆x2a2+y2b2=1(ab0)的左、右焦点,P为椭圆的任意一点,B为短轴的一个端点,O为坐标原点,则有抓住2个考点突破3个考向揭秘3年高考①|OP|∈[b,a];②|PF1|∈[a-c,a+c];③|PF1|·|PF2|∈[b2,a2];④∠F1PF2≤∠F1BF2.(2)双曲线中的最值F1、F2为双曲线x2a2-y2b2=1(a0,b0)的左、右焦点,P为双曲线上的任一点,O为坐标原点,则有①|OP|≥a;②|PF1|≥c-a.抓住2个考点突破3个考向揭秘3年高考(3)抛物线中的最值点P为抛物线y2=2px(p0)上的任一点,F为焦点,则有①|PF|≥p2;②A(m,n)为一定点,则|PA|+|PF|有最小值.2.圆锥曲线中的定点、定值问题解决这类定点与定值问题的方法有两种:一是研究一般情况,通过逻辑推理与计算得到定点或定值,这种方法难度大,运算量大,且思路不好寻找;另外一种方法就是先利用特殊情况确定定点或定值,然后验证,这样在整理式子或求值时就有了明确的方向.抓住2个考点突破3个考向揭秘3年高考求最值或范围常见的解法:(1)几何法.若题目的条件和结论能明显体现几何特征及意义,可考虑利用图形性质来解决;(2)代数法.若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系,则可首先建立目标函数,再根据函数知识求最值;(3)求函数最值常用的代数法有配方法、判别式法、导数法、基本不等式法及函数的单调性、有界性法等.【助学·微博】抓住2个考点突破3个考向揭秘3年高考考点自测1.已知P是椭圆x24+y2=1的上顶点,Q是该椭圆上任意一点,则PQ的最大值为________.解析设Q(x0,y0),则x204+y20=1,且-1≤y0≤1.又P(0,1),所以PQ=x20+y0-12=4-4y20+y20-2y0+1=-3y20-2y0+5当y0=-13时,(PQ)max=433.答案433抓住2个考点突破3个考向揭秘3年高考2.已知椭圆x24+y2=1的左、右焦点分别为F1、F2,点P为椭圆上一动点,若∠F1PF2为钝角,则点P的横坐标的取值范围是________.解析设椭圆上一点P的坐标为(x,y),则F1P→=(x+3,y),F2P→=(x-3,y)∵∠F1PF2为钝角,∴F1P→·F2P→<0,即x2-3+y2<0,则有x2<83,解得-263<x<263,∴x∈-263,263答案-263,263抓住2个考点突破3个考向揭秘3年高考3.椭圆x2a2+y2b2=1(ab0)的右焦点为F,焦距为2c,以F为圆心,a为半径的圆与直线x=a2c交于不同的两点,则椭圆离心率的取值范围是________.解析由题意,得a2c-ca,即c2+ac-a20,所以e2+e-10.又0e1,解得5-12e1.答案5-12,1抓住2个考点突破3个考向揭秘3年高考4.已知F1、F2分别是椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点,过F1作垂直于x轴的直线交椭圆于A、B两点,若△ABF2为锐角三角形,则椭圆的离心率的范围是________.解析△ABF2为锐角三角形,又AF1=b2a,F1F2=2c,tan∠AF2F1=b2a2c<tan45°=1,∴b2<2ac,即a2-c22ac,c2+2ac-a20,所以e2+2e-10,解得e2-1.又0e1,所以2-1e1.答案(2-1,1)抓住2个考点突破3个考向揭秘3年高考5.(2012·盐城调研)在平面直角坐标系xOy中,椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左焦点为F,右顶点为A,点P是椭圆上一点,l为左准线,PQ⊥l,垂足为Q.若四边形PQFA为平行四边形,则椭圆的离心率e的取值范围是________.解析由题意知AF=PQ,即a+c=xP+a2c,则xP=a+c-a2c,所以有-a<a+c-a2c<a,∴c<a2c<2a+c,那么a2<2ac+c2,∴e2+2e-1>0.又0<e<1,所以2-1<e<1.答案(2-1,1)抓住2个考点突破3个考向揭秘3年高考考向一与圆锥曲线有关的定值问题【例1】(2013·南京金陵中学模拟)设椭圆x24+y2=1的右顶点为A,过椭圆长轴所在直线上的一个定点M(m,0)(不同于A)任作一条直线与椭圆相交于P、Q两点,直线AP、AQ的斜率分别记为k1、k2.(1)当PQ⊥x轴时,求AP→·AQ→;(2)求证:k1·k2等于定值.抓住2个考点突破3个考向揭秘3年高考(1)解当PQ⊥x轴时,将x=m代入方程x24+y2=1,得Pm,1-m24,Qm,-1-m24.又A(2,0),所以AP→·AQ→=m-2,1-m24·m-2,-1-m24=(m-2)2-1-m24=54m2-4m+3.抓住2个考点突破3个考向揭秘3年高考因为k1=1-m24m-2,k2=-1-m24m-2,所以k1·k2=-1-m24m-22=m2-44m-22=m+24m-2.因为M为定点,所以m为定值.所以k1·k2=m+24m-2为定值.当直线PQ的斜率存在时,设直线PQ的斜率为k,其方程为y=k(x-m),与椭圆方程x24+y2=1联立得(4k2+1)x2-8k2mx+4k2m2-4=0,(2)证明当直线PQ的斜率不存在时,抓住2个考点突破3个考向揭秘3年高考设直线PQ与椭圆的交点P,Q的坐标分别为(x1,k(x1-m)),(x2,k(x2-m)),则x1+x2=8k2m1+4k2,x1·x2=4k2m2-44k2+1,则k1=kx1-mx1-2,k2=kx2-mx2-2,k1·k2=k2x1-mx2-mx1-mx2-m=k2[x1x2-mx1+x2+m2]x1x2-mx1+x2+m2=k24k2m2-41+4k2-m×8k2m1+4k2+m24k2m2-41+4k2-16k2m21+4k2+4=k2m2-44k2m-22=抓住2个考点突破3个考向揭秘3年高考[方法总结]定点、定值问题可以先研究一下特殊情况,找出定点或定值,再视具体情况进行研究.同时,也要掌握巧妙利用特殊值解决定值、定点问题的方法,如将过焦点的弦特殊化,变成垂直于对称轴的弦来研究等.m+24m-2,因为M为定点,所以m为定值,所以k1·k2=m+24m-2为定值.抓住2个考点突破3个考向揭秘3年高考【训练1】(2012·苏北四市二模)如图,已知椭圆C:x24+y2=1,A、B是四条直线x=±2,y=±1所围成的两个顶点.(1)设P是椭圆C上任意一点,若OP→=mOA→+nOB→,求证:动点Q(m,n)在定圆上运动,并求出定圆的方程;(2)设M、N是椭圆C上两个动点,且直线OM、ON的斜率之积等于直线OA、OB的斜率之积,试探求△OMN的面积是否为定值,说明理由.抓住2个考点突破3个考向揭秘3年高考(1)证明易知A(2,1),B(-2,1).设P(x0,y0),则x204+y20=1,由OP→=mOA→+nOB→,得x0=2m-n,y0=m+n,所以4m-n24+(m+n)2=1,即m2+n2=12,故点Q(m,n)在定圆x2+y2=12上.(2)解设M(x1,y1),N(x2,y2),则y1y2x1x2=-14.平方得x21x22=16y21y22=(4-x21)(4-x22),即x21+x22=4.抓住2个考点突破3个考向揭秘3年高考因为直线MN的方程为(x2-x1)x-(y2-y1)y+x1y2-x2y1=0,所以O到直线MN的距离为d=|x1y2-x2y1|x2-x12+y2-y12,所以△OMN的面积S=12MN·d=12|x1y2-x2y1|=12x21y22+x22y21-2x1x2y1y2=12x211-x224+x221-x214+12x21x22=12x21+x22=1.故△OMN的面积为定值1.抓住2个考点突破3个考向揭秘3年高考考向二与圆锥曲线有关的最值问题【例2】已知抛物线C:y2=4x,过点A(-1,0)的直线交抛物线C于P、Q两点,设AP→=λAQ→.(1)若点P关于x轴的对称点为M,求证:直线MQ经过抛物线C的焦点F;(2)若λ∈13,12,求|PQ|的最大值.审题视点(1)可利用向量共线证明直线MQ过F;(2)建立|PQ|和λ的关系,然后求最值.抓住2个考点突破3个考向揭秘3年高考(1)证明设P(x1,y1),Q(x2,y2),M(x1,-y1).∵AP→=λAQ→,∴x1+1=λ(x2+1),y1=λy2,∴y21=λ2y22,y21=4x1,y22=4x2,x1=λ2x2,∴λ2x2+1=λ(x2+1),λx2(λ-1)=λ-1,∵λ≠1,∴x2=1λ,x1=λ,又F(1,0),∴MF→=(1-x1,y1)=(1-λ,λy2)=λ1λ-1,y2=λFQ→,∴直线MQ经过抛物线C的焦点F.抓住2个考点突破3个考向揭秘3年高考(2)由(1)知x2=1λ,x1=λ,得x1x2=1,y21·y22=16x1x2=16,∵y1y20,∴y1y2=4,则|PQ|2=(x1-x2)2+(y1-y2)2=x21+x22+y21+y22-2(x1x2+y1y2)=λ+1λ2+4λ+1λ-12=λ+1λ+22-16,λ∈13,12,λ+1λ∈52,103,当λ+1λ=103,即λ=13时,|PQ|2有最大值1129,|PQ|的最大值为473.抓住2个考点突破3个考向揭秘3年高考[方法总结]圆锥曲线中的最值问题解决方法一般分两种:一是几何法,特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来求最值;二是代数法,常将圆锥曲线的最值问题转化为二次函数或三角函数的最值问题,然后利用基本不等式、函数的单调性或三角函数的有界性等求最值.抓住2个考点突破3个考向揭秘3年高考【训练2】(2012·苏锡常镇四市一模)如图,已知椭圆E:x2100+y225=1的上顶点为A,直线y=-4交椭圆E于B、C两点(点B在点C的左侧),点P在椭圆E上.(1)若点P的坐标为(6,4),求四边形ABCP的面积;(2)若四边形ABCP为梯形,求点P的坐标;(3)若BP→=m·BA→+n·BC→(m,n为实数),求m+n的最大值.抓住2个考点突破3个考向揭秘3年高考解(1)A(0,5),B(-6,-4),C(6,-4),S四边形ABCP=S三角形ABC+S三角形ACP=12×12×(4+5)+12×8×6=78.(2)要使四边形ABCP为梯形,当且仅当CP∥AB.∵kAB=32,∴直线CP的方程为y+4=32(x-6),即y=32x-13.①又x2100+y225=1,即x2+4y2-100=0.②抓住2个考点突破3个考向揭秘3年高考由①②,得5x2-78x+288=0.即(x-6)(5x-48)=0,∴x=6或x=485.∵点C(6,-4),∴点P485,75.(3)BA→=(6,9),BC→=(12,0),BP→=(x+6,y+4),∵BP→=m·BA→+n·BC→,∴x+6=6m+12n,y+4=9m.则m=y+49,n=3x-2y+1036,m+n=3x+2y+2636.令3x+2y=t,∵x2+4y2-100=0,抓住2个考点突破3个考向揭秘3年高考∴x2+(t-3x)2-100=0,即10x2-6tx+t2-100=0.由Δ≥0,得36t2-40(t2-100)≥0,即t2≤1000.∴-1010≤t≤1010.t的最大值为1010,此时x=310,y=102.∴m+n的最大值为510+1318.抓住2个考点

1 / 42
下载文档,编辑使用

©2015-2020 m.777doc.com 三七文档.

备案号:鲁ICP备2024069028号-1 客服联系 QQ:2149211541

×
保存成功