人教版数学必修四三角函数复习讲义

第一讲任意角角函数诱导式1.知识要点角的概念的推广平面内一条射线绕着端点从一个置旋转到另一个置所的形按逆时针方向旋转所形成的角角按时针方向旋转所形成的角负角一条射线没有作任何旋转时它形成一个零角射线的起始置为始边终置为终边象限角的概念在直角坐标系中使角的顶点原点重合角的始边x轴的非负半轴重合角的终边在第象限就说这个角是第象限的角如果角的终边在坐标轴就认为这个角属于任何象限终边相同的角的表示α终边θ终边相同(α的终边在θ终边所在射线)⇔2()kkαθπ=+∈Z注意相等的角的终边一定相同终边相同的角一定相等.α终边在x轴的角可表示为,kkZαπ=∈α终边在y轴的角可表示为,2kkZπαπ=+∈α终边在坐标轴的角可表示为,2kkZπα=∈.角度度的互换关系360°=2π180°=π1°=0.017451=57.30°=57°18′注意角的度数为数负角的度数为负数零角的度数为零.α与2α的终边关系任意角的三角函数的定义:设α是任意一个角P(,)xy是α的终边的任意一点异于原点它原点的距离是220rxy=+那sin,cosyxrrαα==()tan,0yxxα=≠cotxyα=(0)y≠secrxα=()0x≠()csc0ryyα=≠角函数值角的大小有关而终边点P的置无关角函数线的特征线MP“站在x轴(起点在x轴)”余线OM“躺在x轴(起点是原点)”线AT“站在点(1,0)A处(起点是A)”同角三角函数的基本关系式：1.平方关系222222sincos1,1tansec,1cotcscαααααα+=+=+=2.倒数关系sinαcscα=1,cosαsecα=1,tanαcotα=1,3.商数关系sincostan,cotcossinαααααα==注意1.角α的任意性2.同角才可使用3.熟悉式的变形形式三角函数诱导公式：“2kπα+”记忆口:“奇变偶变符号看象限”典型例题例1求列角函数值1cos210º(2)sin45π例2求列各式的值1sin(34π)(2)cos(60º)sin(210º)例3化简)180sin()180cos()1080cos()1440sin(°−−⋅−°−°−⋅+°αααα例4已知cos(π+α)=2123πα2π则sin(2πα)的值是(A)23(B)21(C)23(D)±23例5求)2cos()5cos()2sin()4sin()cot()2tan()23cos()2sin(απαπαπαπαπαπαπαπ+−+−−=+−+−−−+kkk例6的值求)4(cos)4(cos22α+π+α−π例7)(sin,17cos)(cosxfxxf求若=课后习1.在直角坐标系中若角αβ终边互为反向延长线αβ之间的关系是Aαβ=B()2kkZαπβ=+∈Cαπβ=+D()()21kkZαπβ=++∈2.圆内一条的长等于半径这条所对的圆心角是A等于1度B大于1度C小于1度D无法判断3.角α的终边有一点P(aa)a∈R且a≠0则sinα的值是()A22B-22C±22D14.α是第二象限角其终边一点Px5且cosα42x则sinα的值为A410B46C42D4105.设角α是第二象限角且|cos2α|cos2α则角2α是A第一象限角B第二象限角C第象限角D第四象限角6.已知45cossin−=−αα则ααcossin•等于A47B169C329D3297.函数xxxxysincos1cossin122−+−=的值域是A02B20C202D228.化简4cos4sin21−的结果是A4cos4sin+B4cos4sin−C4sin4cos−D4cos4sin−−9.若2cossin=+αα则ααcottan+等于A1B2C-1D-210.若ABC为△ABC的个内角则列等式成立的是AACBsin)sin(=+BACBcos)cos(=+CACBtan)tan(=+DACBcot)cot(=+11.若101)sin(=+απ则)270cos()540csc()90sin()sec(°°°−−−−−−+−αααα的值是A31−B271±C31D33−12.若θsinθcos是关于x的方程0242=++mmxx的两个实根则m值为A−∈0,34mB51−=mC51±=mD51+=m13..定在R的函数fx既是偶函数又是周期函数.若fx的最小周期是π且x∈［02π］时fx=sinx则f3π5的值为()A.21B.21C.23D.2314.函数lg(2cos3)yx=−的单调递增区间为()A(2,22)()kkkZππππ++∈B11(2,2)()6kkkZππππ++∈C(2,2)()6kkkZπππ−∈D(2,2)()6kkkZπππ+∈15.列说法确的是()A函数余函数的定域是R值域是[-11]B余函数且仅x=2kπ(k∈Z)时取得最大值1C余函数在[2kπ+2π,2kπ+32π](k∈Z)都是函数D余函数在[2kπ-π,2kπ](k∈Z)都是函数16.若a=sin460,b=cos460,c=tan360则abc的大小关系是()AcabB.abcC.acbD.bca18.若α是第四象限角则απ−是A第一象限B.第二象限C.第象限期D.第四象限19.若0cos3sin=+αα则ααααsin3cos2sin2cos−+的值为.20.sin49πtan37π=_________21.若α是第二象限的角则2α是第象限的角22.若θ角的终边85π角的终边相同则在[]0,2π终边4θ的角终边相同的角为23.终边在x轴的角的集合为终边在y轴的角的集合为终边在坐标轴的角的集合为24.已知xxxf+−=11)(若∈ππα2求)cos()(cosαα−+ff的值25.已知21)sin(=+απ求απααπcos)cot()2sin(⋅−−−的值.26.已知21cossin=+αα求θθ33cossin+和θθ44cossin+的值27.若cosα23α是第四象限角求sin(2)sin(3)cos(3)cos()cos()cos(4)απαπαππαπααπ−+−−−−−−−−的值第二讲角函数的性质1函数BxAy++=)sin(ϕω其中00ωA最大值是BA+最小值是AB−周期是ωπ2=T频率是πω2=f相是ϕω+x初相是ϕ其象的对轴是直线)(2Zkkx∈+=+ππϕω是该象直线By=的交点都是该象的对中心2由ysinx的象变换出ysin(ωxϕ)的象一般有两个途径有区别开这两个途径才能灵活进行象变换3由yAsin(ωxϕ)的象求其函数式4五点法作y=Asinωx+ϕ的简函数sinyx=cosyx=tanyx=象定域RR{|,}2xxkkZππ≠+∈值域[1,1]−[1,1]−R奇偶性奇函数偶函数奇函数最小周期22Tππω22TππωTππω对轴,2xkkZππ=+∈,xkkZπ=∈无对中心(,0),kkZπ∈(,0),2kkZππ+∈(,0),2kkZπ∈单调递增区间[2,2],22kkkZππππ−++∈[2,2],kkkZπππ−+∈(,),22kkkZππππ−++∈单调递区间3[2,2],22kkkZππππ++∈[2,2],kkkZπππ+∈无典例解析例12000全5函数yxcosx的部象是例2试述如何由y=31sin2x+3π的象得到y=sinx的象例32003海春15把曲线ycosx+2y1=0先沿x轴向右平移2π个单再沿y轴向平移1个单得到的曲线方程是A1ysinx+2y3=0By1sinx+2y3=0Cy+1sinx+2y+1=0D(y+1)sinx+2y+1=0例42003海春18已知函数fx=Asinωx+ϕA0ω0x∈R在一个周期内的象如所示求直线y=3函数fx象的所有交点的坐标例51已知fx的定域为［01］求fcosx的定域2求函数y=lgsincosx的定域例6求列函数的单调区间1y=21sin4π32x2y=sinx+4π例7关于x的函数fx=sinx+ϕ有以命题对任意的ϕfx都是非奇非偶函数存在ϕ使fx既是奇函数又是偶函数存在ϕ使fx是奇函数对任意的ϕfx都是偶函数其中一个假命题的序号是.例8设)0(cossin)(+=ωωωxbxaxf的周期π=T最大值4)12(=πf1求ωab的值2的值终边共线求的两根为方程若)tan(0)(βαβαβα+=xf例9函数yxxcossin21++的最大值是A221B221C122D122课后习13sin(2)4yxπ=+的最小周期是对轴是单调递增区间是单调递区间是振幅是相是初相是用五点法作出该函数的象并说明该函数怎样由sinyx=变化而来2求3sin(2),[,]422yxxπππ=+∈−的单调递区间3比较大小16cos(),sin,sin876πππ−2tan1,tan2,tan34求3sin(2),[,]366yxxπππ=+∈−的最大值最小值及对应的x的取值范围5求3sin(2),[,],0366yaxxaπππ=+∈−≠的最值及对应的x的取值6若2sin(2),[0,]32yaxbxππ=−+∈的最大值是1最小值是5−求ab的值7为了得到3sin(2)6yxπ=+的象将3sin(2)3yxπ=−的象向平移个单8定在R的函数()fx对任意xR∈都有(2)[1()]()1fxfxfx+−=+1明()fx是周期函数2若(1)2f=−求(2013)f9若sin()(0,0,)2yAxBAπωϕωϕ=++在其一个周期内的象有一个最高点(,3)12π和一个最点7(,5)12π−求这个函数的解析式10求215()2cos2sin,[,]266fxxaxbxππ=++−∈的值域第讲角函数两角和式两角和式sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinBsin(A-B)=sinAcosB-cosAsinBcos(A+B)=cosAcosB-sinAsinBcos(A-B)=cosAcosB+sinAsinBtan(A+B)=tanAtanB-1tanBtanA+tan(A-B)=tanAtanB1tanBtanA+−cot(A+B)=cotAcotB1-cotAcotB+cot(A-B)=cotAcotB1cotAcotB−+倍角式tan2A=Atan12tanA2−Sin2A=2SinA•CosAcos2A=Cos2A-Sin2A=2Cos2A-1=1-2sin2A倍角式sin3A=3sinA-4(sinA)3cos3A=4(cosA)3-3cosAtan3a=tana·tan(3π+a)·tan(3π-a)半角式sin(2A)=2cos1A−cos(2A)=2cos1A+tan(2A)=AAcos1cos1+−cot(2A)=AAcos1cos1−+tan(2A)=AAsincos1−=AAcos1sin+万能式sina=2)2(tan12tan2aa+cosa=22)2(tan1)2(tan1aa+−tana=2)2(tan12tan2aa−例1.求值1.75cos75sin75cos75sin)2(;70sin20sin10cos2°−°°+°°°−°例2.已知3sinβsin2αβ且tanα1求tanαβ.例3.已知方程x24ax3a10a1的两根别为tanαtanβ且αβ∈2,2ππ)求sin2αβsinαβcosαβ2cos2αβ)的值.例4.()()();cos2sin2sin1BAABA+−+化简()().cos,tan,cos,的值求为锐角已知β−=β−α=αβα31542例5.1如果方程()102≠=++ccbxx的两根为tanαtanβ求()()()()βαβαβαβα++++++22coscossinsincb的值2在非直角△ABC中求tanAtanBtanCtanA·tanB·tanC例6.化简().8sin15sin7sin8sin15cos7sin1°°−°°°+°()().50cos50sin2110tan3180sin50sin22°°+°+°+°例7.已知21coscos,