数学毕业论文--—二项分布的研究

2014届本科毕业论文(设计)题目：二项分布的研究学院：数学科学学院专业班级：数学与应用数学学生姓名：谢比热合麦提·沙吾都尼指导教师：艾热提·阿布力克木答辩日期：2014年5月8日新疆师范大学教务处摘要在各种科学检测，预算某种事件的结果的时候，我们发现在实际生活中很多事件或试验只会有两种结果，并且这两种结果的出现是互相独立的，为了事先预算结果我们需要用概率论来算出事件发生的概率，二项分布就是预算这类事件或试验结果的一种离散型分布。本篇论文主要讨论二项分布在现在科学检测，工业产品质量检查等各行业中的重要性及概率论中的地位，Bernoullii试验和二项分布的关系来深入了解二项分布。关键词二项分布;概率;Bernoullii试验;matlab试验.目录1.引言..........................................................12.Bernoullii试验及二项分布......................................12.1Bernoullii试验............................................12.2二项分布...................................................22.3二项分布的poisson近似，二项分布和poisson分布.............33.二项分布的matlab试验及其应用.................................63.1二项分布的matlab试验......................................63.1.1硬币抛掷试验..........................................63.1.2射击试验..............................................93.2二项分布的应用............................................104.结论.........................................................12参考文献..........................................................13致谢.............................................................14新疆师范大学2014届本科毕业论文（设计）11.引言虽然在概率中有很多分布，可是解决实际问题的时候常用的，比较重要的还是就几个，本篇论文所要讨论的二项分布就是其中的一个。二项分布是来自于Bernoullii概型，即Bernoullii概型中的n重Bernoullii试验被称为二项分布，为什么称二项分布我们下一章详细进行讨论。就因为二项分布是Bernoullii概型中的重要分布之一，本篇论文从Bernoullii试验开始讨论什么是Bernoullii试验，Bernoullii试验解决实际问题中的重要性。然后，连续Bernoullii试验进一步接近二项分布，这里主要讲的是n重Bernoullii试验及二项分布的关系。其次，从二项分布的poisson近似出来讨论二项分布和poisson分布的区别。最后，用matlab软件做“硬币抛掷试验”，“射击试验”来验证二项分布，还有用二项分布来解决几个实际问题，了解二项分布在实际生产，科学试验方面的重要性。2.Bernoullii试验及二项分布2.1Bernoullii试验在许多问题中，我们对试验感兴趣的是试验中某种事件A是否发生.例如在产品抽样检查中注意的是抽到废品，还是抽到好品；在掷硬币是注意的是出正面还是出反面；在股票市场中关心的是涨还是跌.在这类问题中我们可以把事件域取为},,,{AA，并出现A为“成功”，出现A为“失败”.这种有两个可能结果的试验成为Bernoullii试验.有些试验的结果不止两个,比如,在电报传输中,既要传送字母ZBA,...,,等,又要传送其他符号.但是假如我们所关心的只是字母在传送中所占的百分比,而不再区别到底哪一个字母,则我们可以把问题看做是成功,出现其他符号一律当做是失败,这时就把问题看作是Bernoullii试验.同样地,显像管的寿命可以是不小于0的任一数值,但是有时根据需要,我们可以把寿命大于50000小时的显像管当做合格品,其余都作为次品.那么,这类问题还是可以归结为Bernoullii试验.在Bernoullii试验中,首先要给出下面概率qAPpAP)(,)(（2.1）显然0,0qp且1qpBernoullii分布（又称两点分布）：如果只取值0或1，概率分布是1,)0(,)1(qpqXPpXP新疆师范大学2014届本科毕业论文（设计）2则称X服从Bernoullii试验，记作),1(~pX.下面我们考虑重复进行n次独立的Bernoullii试验,这里的”重复”,是指在每次试验中事件A,从而事件A出现的概率都保持不变.这种试验成为n重Bernoullii试验,记作nE.总之,n重Bernoullii试验有下面四个约定:(ⅰ)每次试验之多出现两个可能结果之一:A或A；(ⅱ)A在每次试验中出现的概率p保持不变；(ⅲ)各次试验相互独立；(ⅳ)共进行n次试验；2.2二项分布Bernolli试验是从现实世界许多的随机现象中抽象出来的一种很基本的概率模型.例如,在一批产品的质量检查中,如检查的结果分为”合格”和”不合格”两种,且采用放回抽样,则检查n件产品就是n重Bernoullii试验.这样的例子还可以举出很多,因此，Bernoullii试验与其对应的概率分布，即下面将引进的二项分布在概率论与数理统计的理论与应用上占有十分重要的地位.我们来确定n重Bernoullii试验中事件A出现k次的概率这概率我们称之为),;(pnkb.若kB记n重bernulli试验中事件n正好出现k次这一事件,而已iA表示第i次试验中出现事件A,以iA表示i次试验中出现A,则121112kknknknnkBAAAAAAAAAA（2.2）右边的每一线表示在某k次试验中出现事件A,在另外kn次试验中出现A，这种共有kn个，而且两两互不相容.因(),()PApPAq,所以knkkqpknBP)((2.3)即nkqpknpnkbknk,...,2,1,0,),;((2.4)注意到(;,)bknp，nk,...,2,1，是二项式()nqps展开式中ks项的系数，因此（2.4）是称为二项分布（Binomialdistribution）新疆师范大学2014届本科毕业论文（设计）3特别地nknknknkpqqpknpnkb001)(),;((2.5)例2.1已知100个产品中有5个次品，现从中放回地抽取3次，每次任取1个，球在所取的3个产品中恰有2个次品的概率.解：因为这是有回放地取3次，因此3次试验的条件完全是相同的，它是Bernoullii试验.依题意,每次试验取到次品的概率为05.01005p,设x为抽取样本中的次品数,则)05.0,3(~BX,于是抽取的三个样本中,其中有两个是次品的概率为007125.095.005.023)2(2XP例2.2已知某种疾病的患病率为0.001，某单位共有5000人，问该单位患有这种疾病的人数超过5的概率有多少？解:设该单位患有这一种疾病的人数为X，意题给定条件，)001.0,5000(~BX，于是50065000999.0001.05000)5(kkkkXP，上式直接计算是很麻烦的。在很多应用问题中，我们常常遇到这样的Bernoullii试验，其中，相对地说，n大，p小，而乘积np大小适中。对这种情况，poisson（1781—1840）找到了一个便于使用的近似公式，下面我们来推导它2.3二项分布的poisson近似，二项分布和poisson分布poisson定理在n次Bernoullii试验中，以np表示再一次试验中成功的概率.且随着n的增大,np在减少.n足够大时有nnnp(正数),则n次试验中出现x次成功的概率)(!)1(nexppxnxxnxn(2.6)证由npnn得(1)(2)(1)(1)1!1211111!xnxxnxnnnnnxxnnnnnnnxppxxnnxxnnnn新疆师范大学2014届本科毕业论文（设计）4因为对固定的x有limnn,lim1nxnnen所以可得lim(1)!xxnxnnnnppexx(2.7)显然定理的条件np(常数)意味着当n很大时,np必定很小.因此,poisson定理表明,当n很大时,p很小时有以下近似式(1)!xxnknneppxk其中np.现在我们利用近似式(2.7)来计算例2.2中的概率:5,001.0,5000nppn50006(5)0.38404!kkePXk实际上(;),1,2,!kPkekk就是poisson分布，称为它的参数。特别地01!);(kkeeekkP在历史上poisson分布作为二项分布的近似，于1837年由法国数学家poisson引入的。近数十年来，poisson分布日益显示其重要性，成了概率论中最重要几个分布之一.下面给出了poisson分布逼近二项分布的一个图示，吻合程度甚好.新疆师范大学2014届本科毕业论文（设计）5图1图1为n=10,p=3/20时的图形，图2为n=1000,p=3/20时的图形。新疆师范大学2014届本科毕业论文（设计）6图2以上比较图可以看出，如试验次数越多poisson分布计算出来的概率结果和二项分布计算出来的概率结果会越接近，密度函数图也基本上相重合。3.二项分布的matlab试验及其应用上一章，我们对于二项分布进行了讨论，本章用matlab对硬币抛掷和射击进行试验来看看其计算结果.3.1二项分布的matlab试验3.1.1硬币抛掷试验在同等条件下抛掷一枚均匀硬币100次，出现正面反面的概率各为0.5，那么100次试验中正面刚好出现45次和至多出现45次的概率多少？新疆师范大学2014届本科毕业论文（设计）7解:可以看出每次试验的结果是相互独立的，并且联系进行100次，所以这个试验服从二项分布)5.0,100(~BX刚好45次出现正面的概率为049.05.0451005.05.045100)45(1005545XP至多45次出现正面的概率为450100184.05.05.0100)45(kkkkXP以下是此问题matlab试验中所得的计算结果，图3,图4分别为这个问题的概率分布图和概率密度函数图clearp1=binopdf(45,100,0.5)%100次试验中刚好45次出现正面的概率p1=0.0485p2=binocdf(45,100,0.5)%100次试验中至多45次出现正面的概率p2=0.1841x=1:100;p=binocdf(x,100,0.5);px=binopdf(x,100,0.5);plot(x,p)figure,plot(x,px)新疆师范大学2014届本科毕业论文（设计）8新疆师范大学2014届本科毕业论文（设计）93.1.2射击试验一位枪手在一次射击训练中300次进行