3.3.1函数的(23要用)单调性与导数第一课时

（1）函数y=f(x)在给定区间G上，当x1、x2∈G且x1＜x2yxoabyxoab1）都有f(x1)＜f(x2)，则f(x)在G上是增函数；2）都有f(x1)＞f(x2)，则f(x)在G上是减函数；若f(x)在G上是增函数或减函数，则f(x)在G上具有严格的单调性。G称为单调区间G=(a,b)以前,我们主要采用定义法去判断函数的单调性.在函数y=f(x)比较复杂的情况下,比较f(x1)与f(x2)的大小并不容易.如果利用导数来判断函数的单调性就比较简单.判断函数单调性有哪些方法？图象法定义法已知函数(,0)在上递减(0,)在上递增单调性导数的正负函数及图象xyo2()fxxyox()fxxyox()fxx在上递增(,)在上递减(,)'()10fx'()10fx'()20fxx'()20fxx观察下面一些函数的图象,探讨函数的单调性与其导函数正负的关系.xyo2xy.xxf,,,xf,xx;xxf,,,xf,xx.xf,xxfxf,.'''附近单调递减在数函这时式的左上右下切线是处在附近单调递增在函数这时式的下右上左切线是处在处的切线的斜率在点表示函数导数如图111000000003311.3-3ab(,)在某个区间内,fx'()0fxab()(,)在内单调递增fx'()0fxab()(,)在内单调递减注意：应正确理解“某个区间”的含义，它必是定义域内的某个区间。如果恒有，则是常函数。()fx'()0fx例题讲解题型一.根据导数,画出原函数的图像例1.已知导函数f’(x)的下列信息当1x4时,f’(x)0当x4,或x1时,f’(x)0当x=4,或x=1时,f’(x)=0试画出函数f(x)图像的大致形状.O14xyy=f(x)临界点练习1.已知导函数的下列信息：23'()0;32'()0;32'()0.xfxxxfxxxfx当时，当或时，当或时，试画出函数图象的大致形状。()fx分析：()fx在此区间递减()fx在此区间递增()fxx图象在此两处附近几乎没有升降变化,切线平行轴ABxyo23()yfxABxyo23()yfx练习1.已知导函数的下列信息：23'()0;32'()0;32'()0.xfxxxfxxxfx当时，当或时，当或时，试画出函数图象的大致形状。()fx分析：()fx在此区间递减()fx在此区间递增()fxx图象在此两处附近几乎没有升降变化,切线平行轴ABxyo23()yfx解：的大致形状如右图：()fx这里，称A,B两点为“临界点”练习2.函数的图象如图所示,试画出导函数图象的大致形状)(xfy)(xfOabcxyyfxxyo12()yfxxyo12()yfxxyo12()yfxxyo12()yfxxyo'()yfx2(A)(B)(C)(D)C练习：设是函数的导函数，的图象如右图所示,则的图象最有可能的是()()fx'()fx'()yfx()yfx例2解:(1)因为,所以当,即时,函数单调递增;当,即时,函数单调递减.(1)因为,所以解:因此,函数在上单调递增.(2)因为,所以题型二：求函数的单调性、单调区间解:(3)因为,所以因此,函数在上单调递减.(4)因为,所以(3)因为,所以因此,函数在上单调递减.(4)因为,所以当,即时,函数单调递增;当,即时,函数单调递减.•注：如果一个函数的单调区间不止一个，这些单调区间中间一般不能用“∪”连接，可用“逗号”或“和”字隔开．求函数的单调区间的一般步骤:(1)求出函数f(x)的定义域A；(2)求出函f(x)数的导数；(3)不等式组的解集为f(x)的单调增区间；()0xAfx(4)不等式组的解集为f(x)的单调减区间；()0xAfx注：1、研究函数的单调性时的方法：定义法、图像法、已知函数法、导数法2、结论中的区间，即为单调区间。练习判断下列函数的单调性,并求出单调区间:;)()2(;42)()1(2xexfxxxfx.)()4(;3)()3(233xxxxfxxxf(1)(1,)单调递增区间:,单调递减区间:(-,1)(2)(0,)单调递增区间:,单调递减区间:(-,0)(3)(1,1)单调递增区间:,单调递减区间:(-,1),(1,+)1(4)(1,)313单调递增区间:,(-,-)单调递减区间:(-,1)例3如图,水以常速(即单位时间内注入水的体积相同)注入下面四种底面积相同的容器中,请分别找出与各容器对应的水的高度h与时间t的函数关系图象.(A)(B)(C)(D)htOhtOhtOhtO1),(2)(),(3)(),(4)()BADC解：（）（一般地,如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大,那么函数在这个范围内变化得快,这时,函数的图象就比较“陡峭”(向上或向下);反之,函数的图象就“平缓”一些.如图,函数在或内的图象“陡峭”,在或内的图象“平缓”.)(xfy),0(b)0,(a),(b),(a通过函数图像，不仅可以看出函数的增或减，还可以看出其变化的快慢，结合图像，从导数的角度解释变化快慢的情况。总结:当遇到三次或三次以上的,或图象很难画出的函数求单调性问题时，应考虑导数法。①求定义域②求'()fx③令'()0()'()0()fxfxfxfx解不等式的递增区间解不等式的递减区间1°什么情况下，用“导数法”求函数单调性、单调区间较简便？2°试总结用“导数法”求单调区间的步骤？•名师点睛•1．理解函数的单调性与其导数的关系需注意的问题•(1)根据导数的几何意义，可以用曲线切线的斜率来解释导数与单调性的关系，如果切线的斜率大于零，则其倾斜角是锐角，函数曲线呈上升的状态，即函数单调递增；如果切线的斜率小于零，则其倾斜角是钝角，函数曲线呈下降的状态，即函数单调递减．(1)利用导数求函数f(x)的单调区间,实质上是转化为解不等式f'(x)0〔或f'(x)0〕,不等式的解集就是函数的单调区间.(2)利用导数求单调区间时,要特别注意不能忽视函数的定义域,在解不等式f'(x)0〔或f'(x)0〕时,要在函数定义域的前提之下求解.(3)如果函数的单调区间不止一个时,要用“和”“及”等连结,而不能写成两个区间并集的形式.[拓展探究]1.讨论含有参数的函数的单调性，通常归结为求含参数不等式的解集问题，而对含有参数的不等式要针对具体情况进行讨论，但要始终注意定义域对函数单调性的影响以及分类讨论的标准．2．此题对含参数的函数的单调性进行了讨论．另外,已知函数的单调性确定参数问题更是各类考试的重点,应注意掌握，如更换本题的条件，可得如下衍变：求函数的单调区间。233yxx理解训练：'63yx解：11'0,'022yxyx令得令得233yxx1(,)2的单调递增区间为单调递减区间为1(,)2变2：求函数的单调区间。3233yxx理解训练：解：2'963(32)yxxxx2'003yxx令得或2'003yx令得3233yxx的单调递增区间为单调递减区间为2(0,)32(,0),(,)3变3：求函数的单调区间。33xyex巩固提高：'01xye令得解:'33xye33(0,)xyex的单调递增区间为(,0)单调递减区间为0'010xeyex令得0x0e变4：求函数的单调区间。1yx解:21'0,yx0,x但1(,0)(0,)yx的单调递减区间为，