3.3.1函数的单调性与导数公开课

3.3.1函数的单调性与导数高二数学选修2-2第三章导数及其应用（4）.对数函数的导数:.1)(ln)1(xx.ln1)(log)2(axxa（5）.指数函数的导数:.)()1(xxee).1,0(ln)()2(aaaaaxxxxcos)(sin1）（（3）.三角函数：xxsin)(cos2）（（1）.常函数：(C)/0,(c为常数)；（2）.幂函数：(xn)/nxn1一、复习回顾：基本初等函数的导数公式法则1:[f(x)±g(x)]′)()()()()()('''xgxfxgxfxgxf法则2:2)()()()()()()(xgxgxfxgxfxgxf法则3:=f'(x)±g'(x);)()()()()()('''xgxfxgxfxgxf2)()()()()()()(xgxgxfxgxfxgxf)()(c''xcfxf)()(c''xcfxf000Δx→0f(x+Δx)-f(x)k=f(x)=limΔx导数的几何意义f(x)在处的导数即为f(x)所表示曲线在处切线的斜率，即0x=x0f(x)0x=x''')(),())((xuxuyyxguufyxgfy的导数间的关系为的导数和函数复合函数复合函数的导数观察:下图(1)表示高台跳水运动员的高度h随时间t变化的函数的图象,图(2)表示高台跳水运动员的速度v随时间t变化的函数的图象.运动员从起跳到最高点,以及从最高点到入水这两段时间的运动状态有什么区别?105.69.4)(2ttth5.69.4)(ttvaabbttvhOO①运动员从起跳到最高点,离水面的高度h随时间t的增加而增加,即h(t)是增函数.相应地,()()0.vtht②从最高点到入水,运动员离水面的高度h随时间t的增加而减少,即h(t)是减函数.相应地,()()0.vtht(1)(2)xyOxyOxyOxyOy=xy=x2y=x31yx观察下面一些函数的图象,探讨函数的单调性与其导函数正负的关系.一般地,设函数y=f(x)在某个区间（a,b）内可导,如果则f(x)为增函数；如果,则f(x)为减函数．0)x(f'0)x(f'如果在某个区间内恒有,0)x(f'一般地,设函数y=f(x)在某个区间（a,b）内可导,如果则f(x)为增函数；如果,则f(x)为减函数．0)x(f'0)x(f'则f(x)为常数函数.如果在某个区间内恒有0)x(f'例1已知导函数的下列信息:当1x4时,当x4,或x1时,当x=4,或x=1时,)(xf;0)(xf;0)(xf.0)(xf试画出函数的图象的大致形状.)(xf解:当1x4时,可知在此区间内单调递增;()0,fx()fx当x4,或x1时,可知在此区间内单调递减;()0,fx)(xf当x=4,或x=1时,.0)(xf综上,函数图象的大致形状如右图所示.)(xfxyO14题型：应用导数信息确定函数大致图象例2判断下列函数的单调性,并求出单调区间:;32)()2(;3)()1(23xxxfxxxf);,0(,sin)()3(xxxxf.12432)()4(23xxxxf解:(1)因为,所以3()3fxxx.0)1(333)(22xxxf因此,函数在上单调递增.xxxf3)(3Rx题型：求函数的单调性、单调区间例2判断下列函数的单调性,并求出单调区间:;32)()2(;3)()1(23xxxfxxxf);,0(,sin)()3(xxxxf.12432)()4(23xxxxf解:(2)因为,所以2()23fxxx).1(222)(xxxf当,即时,函数单调递增;0)(xf1x32)(2xxxf当,即时,函数单调递减.0)(xf1x32)(2xxxf题型：求函数的单调性、单调区间.1-1)(），），单调递减区间为（，的单调递增区间为（函数xf例2判断下列函数的单调性,并求出单调区间:;32)()2(;3)()1(23xxxfxxxf);,0(,sin)()3(xxxxf.12432)()4(23xxxxf解:(3)因为,所以()sin,(0,)fxxxx.01cos)(xxf因此,函数在上单调递减.xxxfsin)(),0(x(4)因为,所以32()23241fxxxx当,即时,函数单调递增;0)(xf21712171xx或)(xf当,即时,函数单调递减.0)(xf2466)(2xxxf21712171x)(xf总结:当遇到三次或三次以上的,或图象很难画出的函数求单调性问题时，应考虑导数法。①求定义域②求'()fx③令'()0()'()0()fxfxfxfx解不等式的递增区间解不等式的递减区间④作出结论1°什么情况下，用“导数法”求函数单调性、单调区间较简便？2°试总结用“导数法”求单调区间的步骤？总结：注：单调区间不以“并集”出现。练习判断下列函数的单调性,并求出单调区间:;)()2(;42)()1(2xexfxxxfx.)()4(;3)()3(233xxxxfxxxf(1)(1,)单调递增区间:,单调递减区间:(-,1)(2)(0,)单调递增区间:,单调递减区间:(-,0)(3)(1,1)单调递增区间:,单调递减区间:(-,1),(1,+)1(4)(1,)313单调递增区间:,(-,-)单调递减区间:(-,1)例3如图,水以常速(即单位时间内注入水的体积相同)注入下面四种底面积相同的容器中,请分别找出与各容器对应的水的高度h与时间t的函数关系图象.(A)(B)(C)(D)htOhtOhtOhtO1),(2)(),(3)(),(4)()BADC解：（）（一般地,如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大,那么函数在这个范围内变化得快,这时,函数的图象就比较“陡峭”(向上或向下);反之,函数的图象就“平缓”一些.如图,函数在或内的图象“陡峭”,在或内的图象“平缓”.)(xfy),0(b)0,(a),(b),(a通过函数图像，不仅可以看出函数的增或减，还可以看出其变化的快慢，结合图像，从导数的角度解释变化快慢的情况。一般地,设函数y=f(x)在某个区间（a,b）内可导,如果则f(x)为增函数；如果,则f(x)为减函数．0)x(f'0)x(f'如果在某个区间内恒有,0)x(f'一般地,设函数y=f(x)在某个区间（a,b）内可导,如果则f(x)为增函数；如果,则f(x)为减函数．0)x(f'0)x(f'则f(x)为常数函数.如果在某个区间内恒有0)x(f'总结:当遇到三次或三次以上的,或图象很难画出的函数求单调性问题时，应考虑导数法。①求定义域②求'()fx③令'()0()'()0()fxfxfxfx解不等式的递增区间解不等式的递减区间④作出结论1°什么情况下，用“导数法”求函数单调性、单调区间较简便？2°试总结用“导数法”求单调区间的步骤？总结：注：单调区间不以“并集”出现。作业布置习题1.3A组第1,2题第三题填书上