群论复习资料

1N阶循环群()nnZC是Abel群第k个表示2()01kikNTaekN2C群(特征标表)eaA11B1－13C群(特征标表)eaa2A111B123ie23ieE123ie23ie4C群(特征标表)eaa2a3A1111B1－１1－１E1－i－1iE’1i－i－i5C群(特征标表)eaa2a3a4A11111B125ie45ie45ie25ieC145ie25ie25ie45ieD145ie25ie25ie45ieE125ie45ie45ie25ie6C群(特征标表)2eaa2a3a4a5A111111B1－１1－１1－１C13ie23ie－１23ie3ieD123ie23ie123ie23ieE123ie23ie123ie23ieF13ie23ie－１23ie3ie7C群(特征标表)8C群(特征标表)3例一：},,{23aaeC存在一个非平庸的自同构例二：},{2aeC很明显，它有两个一维表示，一维恒等表示和非恒等表示由这两个一维表示可以构造一个二维表示，即1010(3),()0101AAa41．群的定义设G={…g,…}，在G中定义乘法运算，如果G的元素满足以下4个：（1）封闭性：,,,fgGfghhG若必有（2）结合律：,,,fghG，有f(gh)=(fg)h（3）有唯一逆元素。,fG有唯一1f∈G，使11ffffe（4）有唯一单位元e。,fG，有ef=fe=f就称G构成一个群Abel群：对任意g,h∈G，都有gh=hg，则称该群是Abel群。子群设H是群G的一个子集，若对于与群G同样的乘法运算，H也构成一个群，则H为G的子群G的非空子集成为群的充要条件为:(1),aahhHHhhH,有(2)1,aahHHhH有n阶循环群},,,,,{12eaaaaZnnnn为循环群的阶陪集设H是群G的一个子群，固定u∈G，uH，可以生成左陪集：{}uHuhhH右陪集：{}HuhuhH陪集定理设群H为群G的子群，则H的两个左（右）陪集或者有完全相同的元素，或者没有任何公共元素,即：12,ggG则1212gHgHgHgH空集或拉格朗日定理有限群的子群的阶，等于该有限群阶的因子。元素共轭共轭元素设f,h是群G的两个元素，若有元素gG,使1fgfh，则h与f共轭。共轭类G的所有相互共轭的元素集合，叫群G的共轭类。5共轭子群设H和K是G的两个子群，若有gG，使11{}KgHgghghG则称H是K的共轭子群。不变子群设H是群G的一个子群。对ha∈H，任意u∈G，有uhau−1∈H，则称H是G的不变子群商群以不变子群H的陪集串为元素，做成一个新的集合｛H,g1H,g2H，…，giH｝并定义集合中元素的乘法规则：giHgjH=（gigj）H，如果把H的一个陪集看作是一个元素，那么H的陪集串在陪集乘法下也构成一个群，称为不变子群H的商群，记为G/H。同构若存在一个GF的一一对应的满射φ，满足乘法规则不变，1212()()()gggg即乘积的映射等于映射的乘积，则G和F同构，记为GF，φ称为同构映射。同态设存在一个GF的满射φ，满足乘法规则不变，1212()()()gggg,则群G与F同态，GF，φ称为G到F上的同态映射。同态核设群G与F同态，G中与F的单位元对应的元素集合，称为G的同态核。同态核定理设GF，则有（1）G的同态核H是G的不变子群。（2）商群G/H与F同构。自同构映射:GG,()agG,保持乘法规则不变，()()()aagggg叫自同构映射自同构群定义两个自同构映射1和2的乘积12为先实行映射2再实行1，同等变换定义为单位元素和1存在，则G的所有自同构映射构自同构群，记为A(G)。6内自同构映射和内自同构群如果群G的自同构映射，G引起，即对任意agG，可以生成1aagg，称为内身自同构映射。同样定义乘法后，所有的内身自同构映射构成内身自同构群，记为I(G)。第二章：线性空间数域K上的向量集合V=｛x,y,z，z…｝；定义了加法和数乘两种运算，对x,y,z∈V，a,b∈K,满足封闭性，且具有1．加法运算（1）x+y=y+；（2）x+(y+z)=(x+y)+z（3）有唯一0元素，x+0=x；（4）对任意x有-x存在，x+（-x）=02．数乘运算（1）1x=x(2)(α+b)x=ax+bx(3)a(bx)=(ab)x(4)a(x+y)=ax+ay则V叫线性空间内积空间定义了内积运算的线性空间为内积空间。几个重要的内积空间：欧式空间：有限维实内积空间酉空间：有限维复内积空间希尔伯特空间：无限维复内积空间N维复的一般线性群GL设V是n维复向量空间，定义乘法为连续两次操作，则V上的全部非奇异线性变换构成维复一般线性群GL(V,C)，是无限群。其子群L(V,C)称为V上的线性变换群。线性表示：群G到线性空间V上的线性变换群L的同态映射A，叫G的一个线性表示忠实表示如果:(,)AGLVC的映射A为同构映射，叫忠实表示。等价表示设G在表示线性空间V和L上分别有A和B表示，若存在VL的非奇异线性变换S，使得1()()AgSBgS，则A和B是等价表示。7不变子空间设A是G在V中的一个线性表示，M是V的一个线性子空间，若对xM,gG，有()AgxM，则M叫A在G中的不变子空间不可约表示若A除了｛0｝以及V以外没有其它不变子空间M时，A叫G的不可约表示，否则是可约表示可约表示A存在不变子空间M时，为可约表示完全可约表示设群G的表示空间V可以分解为'VWW，且'WW和都是A(G)不变的(即A(G)是W和'WW和上的变换群)，,',yWzW有(),()'AgyWAgzW，则称A叫完全可约表示。共轭变换A的共轭变换A+定义：(Ax|y)=(x|A+y),则A+叫A的共轭变换幺正变换设U是内积空间V上的线性变换，若对任意,xyV,如果U保持x和y的内积不变，即(Ux|Uy)=(x|y)，则U为V上的幺正变换。酉表示设A是内积空间V上G的表示，A是内积空间的幺正变换，A叫G的酉表示。舒尔引理1：(只适用于复表示)设A是G在n限维复表示空间V的不可约表示，若V上的线性变换M满足：,()()()=0gGAgMMAgAgM，即,则有：MIC，即M是个常数矩阵舒尔引理2设G在有限维向量空间VA和VB上有不可约表示A和B，M为将VA映入VB的线性变换，gG满足：()()BgMMAg则有：（1）当M≠0时，表示A和B必等价；（2）当表示A和B不等价时，必有M≡0。群上函数：设有限群G，gG，元素g的群上函数定义为：fgC（C复数8域）右正则表示()RTh：在2(){()}LGfg，以hG生成2()LG的一个线性变换()RTh：1()()()RThfgfgh则()RTh叫G的右正则表示第三章点群：所有保持至少空间一点不变的等距操作构成的群。都是(3)O的子群点操作：使空间至少一点不变的操作第一类点群：只含转动元素的点群。第一类点群是SO(3)群的子群。第二类点群：含转动且含转动反演的点群。晶体点群：将晶格映为自身的点群，即保持原点不动的有限实正交群晶体制约定理设G是晶体点群，则G中转动元素只可能由23,,,eCC4,C6C转动轴生成，G中转动反演元素只能由23,,,IICIC46,ICIC生成。空间群：理想晶体存在空间平移不变性，考虑了平移不变性的晶体对称群称为晶体空间群，简称空间群。空间群共有230个。定义空间群：晶体对称变换的集合构成空间群Ｓ第四章定义：集合的紧致性设Ax子集合。E是x的一组开集。若AE，E叫Ａ的一个开复盖。若A的任一一个开复盖存在有限的子复盖。则A叫x中的一个紧致集合。定义：流形流形是一种特殊的拓扑空间，每个局部和欧式空间拓扑等价定义：连续群若G的元素g可以由n个独立的连续实参数唯一确定，1()(....)ngxgxx，而且()gx是参数的单值连续函数，则G叫n个参数的连续群定义：拓扑群集合G叫拓扑群，如果(a)G是一个群(b)G是一个拓扑空间9(c)G上的群的运算是连续的定义：李群集合G叫李群，如果(a)G是一个群(b)G是一个解析流形(c)映射,hghg是GGG的解析映射ˆjx是线性无关的----李群三定理之一李群三定理之二0jljljlklimilmkmlkiCCCCCCˆˆˆljkjklxxiCx,---李群三定理之三edfabceedfabcddfecabffedbcaaabcedfbbcafedccabdfeD3群的二维表示10()01Ae1322()3122Ad1322()3122Af10()01Aa1322()3122Ab1322()3122AcD3生成元(1)a，be=a2=b2=(ab)3=(ba)3d=ab10c=bab=bdf=ba(2)d,aD3的循环群：三阶{e,d,f}二阶{e,a},{e,b}{e,c}D3的(非平庸)子群：H1=｛e,a｝，H2=｛e,b｝H3=｛e,c｝，H4=｛e,d,f｝只有{e,d,f}是不变子群。111111{},,,edfHaHaHbHbHcHcHeHeHdHdHcHcH不变子群{e,d,f}.它的任意一个左陪集与相应的右陪集重合,a{e,d,f}={e,d,f}a={a,b,c}.D3/H4是个二阶群。由于所有的二阶群都是同构的，所以D3/H4与二阶K={E,I}同构。左陪集串：H1=｛e,a｝,bH1=｛b,f｝,cH1=｛c,d｝H2=｛e,b｝，aH2=｛a,d｝，cH2=｛c,c｝H3=｛e,c｝，aH3=｛a,f｝，bH3=｛b,d｝，H4=｛e,d,f｝,aH4=｛a,b,c｝D3共轭类三个共轭类：（1）{e}（2）d类{d,f}ada-1=ada=ac=f或ede−1=d，ddd−1=dfdf−1=d，ada−1=f，bdb−1=f，cdc−1=f。（3）a类{a,b,c}.ece−1=c，dcd−1=a，fcf−1=b，aca−1=b，bcb−1=a，ccc−1=c。11D3共轭子群1{},{},{}{}eaHebJecKbHbecK3312345(,,,,,)DSepppppD3：平面正三角形对称群（六阶二面体群）保持其形状不变的全部操作共有6个:e:不转动；d:绕Z轴逆时针转23；f:绕Z轴逆时针转43；a:绕1轴转；b:绕2轴转；c:绕3轴转；乘法运算定义：连续两次操作。如ab先b后a任意操作都存在唯一的逆操作：a-1=a,b-1=b,c-1=cd-1=f,f-1=d即操作a,b,c是自逆的，而操作d,f是互逆的。例：求D3群的三维表示（1）选取表示空间为三维欧氏空间E3，其正交归一的矢量基为{i,j,k}，并令坐标系的原点位于正三角形的重心，i轴平行于三角形的底边。把6个群元素分别作用到{i,j,k}上变成{i′,j′,k′}D3生成元a,b操作a是把正三角形绕轴I转动180o，使得i和k的方向发生了反演，而保持j方向不变，因此有12'100'010'01iaiijkjajijkkakikjk100()010001Aa操作b是把正三角形绕轴II转动180o，使得i,j和k的方向都发生了变化，即有13'02231'022'0011302231()022001ibiijkjbjijkkbkijkA