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2015-2016学年上海市南洋模范中学高一（下）期末数学试卷一、填空题：（本大题共12小题，每小题5分，共70分）1．点P从点（﹣1，0）出发，沿单位圆x2+y2=1顺时针方向运动弧长到达Q点，则Q点的坐标为．2．已知，则sin2x+3sinxcosx﹣1=．3．已知sin（﹣x）=，则sin2x的值为．4．方程sin2x=sinx在区间[0，2π）内解的个数是．5．用数学归纳法证明等式：1+a+a2+…+an+1=（a≠1，n∈N*），验证n=1时，等式左边=．6．《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共为3升，下面3节的容积共4升，则第5节的容积为升．7．等比数列{an}的前n项和为Sn，已知S1，2S2，3S3成等差数列，则{an}的公比为．8．设Sn是数列{an}的前n项和，a1=﹣1，an+1=SnSn+1，则Sn=．9．，则a=．10．若函数f（x）=sin2x+2cosx在上的最大值为1，则θ的值是．11．如图，在Rt△ABC内有一系列的正方形，它们的边长依次为a1，a2，…，an，…，若AB=a，BC=2a，则所有正方形的面积的和为．12．定义N*在上的函数f（x），对任意的正整数n1，n2，都有f（n1+n2）=1+f（n1）+f（n2），且f（1）=1，若对任意的正整数n，有，则an=．二、选择题：13．f（x）为奇函数，当x＞0时，f（x）=π﹣arccos（sinx）则x＜0时，f（x）=（）A．arccos（sinx）B．π+arccos（sinx）C．﹣arccos（sinx）D．﹣π﹣arccos（sinx）14．如图是函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜π），x∈R的部分图象，则下列命题中，正确的命题序号是（）①函数f（x）的最小正周期为②函数f（x）的振幅为③函数f（x）的一条对称轴方程为④函数f（x）的单调递增区间是⑤函数f（x）的解析式为．A．③⑤B．③④C．④⑤D．①③15．设{an}（n∈N*）是等差数列，Sn是其前n项的和，且S5＜S6，S6=S7＞S8，则下列结论错误的是（）A．d＜0B．a7=0C．S9＞S5D．S6与S7均为Sn的最大值16．数列{an}的通项an=n2（cos2﹣sin2），其前n项和为Sn，则S30为（）A．470B．490C．495D．51017．已知二次函数y=a（a+1）x2﹣（2a+1）x+1，当a=1，2，3，…，n，…时，其抛物线在x轴上截得线段长依次为d1，d2，…，dn，…，则（d1+d2+…+dn）=（）A．1B．2C．3D．418．对数列{an}，{bn}，若区间[an，bn]满足下列条件：①；②；则[an，bn]为区间套，下列可以构成区间套的数列是（）A．B．C．D．三、解答题：19．已知函数f（x）=2cos2ωx+2sinωxcosωx+1（x∈R，ω＞0）的最小值正周期是．（Ⅰ）求ω的值；（Ⅱ）求函数f（x）的最大值，并且求使f（x）取得最大值的x的集合．20．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知b2+c2=a2+bc．（Ⅰ）求A的大小；（Ⅱ）如果cosB=，b=2，求△ABC的面积．21．已知数列{an}满足a1=1，an+1=2an+1（n∈N*）．若数列{bn}满足：4•4•…4=（an+1）bn（n∈N*）．（1）求数列{an}的通项公式；（2）求证：{bn}是等差数列．22．从社会效益和经济效益出发，某地投入资金进行生态环境建设，并以此发展旅游产业．根据规划，本年度投入800万元，以后每年投入将比上年减少，本年度当地旅游业收入估计为400万元，由于该项建设对旅游业的促进作用，预计今后的旅游业收入每年会比上年增加．（1）设n年内（本年度为第1年）总投人为an万元，旅游业总收入为bn万元，写出an，bn的表达式；（2）至少经过几年，旅游业的总收人才能超过总投入？23．（1）若对于任意的n∈N*，总有成立，求常数A，B的值；（2）在数列{an}中，，（n≥2，n∈N*），求通项an；（3）在（2）题的条件下，设，从数列{bn}中依次取出第k1项，第k2项，…第kn项，按原来的顺序组成新的数列{cn}，其中，其中k1=m，kn+1﹣kn=r∈N*．试问是否存在正整数m，r使且成立？若存在，求正整数m，r的值；不存在，说明理由．2015-2016学年上海市南洋模范中学高一（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、填空题：（本大题共12小题，每小题5分，共70分）1．点P从点（﹣1，0）出发，沿单位圆x2+y2=1顺时针方向运动弧长到达Q点，则Q点的坐标为（﹣，）．【考点】任意角的三角函数的定义．【分析】由题意可得OQ恰好是角的终边，利用任意角的三角函数的定义，求得Q点的坐标．【解答】解：点P从点（﹣1，0）出发，沿单位圆x2+y2=1顺时针方向运动弧长到达Q点，则OQ恰好是角的终边，故Q点的横坐标x=1•cos=﹣，纵坐标为y=1•sin=，故答案为：（﹣，）．2．已知，则sin2x+3sinxcosx﹣1=．【考点】三角函数的化简求值．【分析】由已知结合同角三角函数基本关系式可得sin2x+3sinxcosx﹣1=3sinxcosx﹣cos2x=，然后分子分母同时除以cos2x求解．【解答】解：∵，∴sin2x+3sinxcosx﹣1=3sinxcosx﹣cos2x====．故答案为：．3．已知sin（﹣x）=，则sin2x的值为．【考点】二倍角的正弦；两角和与差的正弦函数．【分析】利用诱导公式和两角和公式对sin2x化简整理，然后把sin（﹣x）=代入即可得到答案．【解答】解：sin2x=cos（﹣2x）=1﹣2sin2（﹣x）=故答案为4．方程sin2x=sinx在区间[0，2π）内解的个数是4．【考点】三角方程．【分析】方程即sinx=0或cosx=，结合正弦函数、余弦函数的图象以及x∈[0，2π），分别求得x的值，可得结论【解答】解：方程sin2x=sinx，即2sinxcosx=sinx，即sinx=0或cosx=．由sinx=0，x∈[0，2π），可得x=0或π；由cosx=，x∈（0，2π），可得x=或x=．综上可得，方程sin2x=sinx在区间[0，2π）内的解的个数是4，故答案为：4．5．用数学归纳法证明等式：1+a+a2+…+an+1=（a≠1，n∈N*），验证n=1时，等式左边=1+a+a2．【考点】数学归纳法．【分析】根据题目意思知：用数学归纳法证明：“1+a+a2+…+an+1=（a≠1）”在验证n=1时，左端计算所得的项．把n=1代入等式左边即可得到答案．【解答】解：用数学归纳法证明：“1+a+a2+…+an+1=（a≠1）”时，在验证n=1时，把当n=1代入，左端=1+a+a2．故答案为：1+a+a26．《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共为3升，下面3节的容积共4升，则第5节的容积为升．【考点】数列的应用．【分析】由题设知，先求出首项和公差，然后再由等差数列的通项公式求第5节的容积．【解答】解：由题设知，解得，∴=．故答案为：．7．等比数列{an}的前n项和为Sn，已知S1，2S2，3S3成等差数列，则{an}的公比为．【考点】等比数列的性质．【分析】先根据等差中项可知4S2=S1+3S3，利用等比数列的求和公式用a1和q分别表示出S1，S2和S3，代入即可求得q．【解答】解：∵等比数列{an}的前n项和为Sn，已知S1，2S2，3S3成等差数列，∴an=a1qn﹣1，又4S2=S1+3S3，即4（a1+a1q）=a1+3（a1+a1q+a1q2），解．故答案为8．设Sn是数列{an}的前n项和，a1=﹣1，an+1=SnSn+1，则Sn=﹣．【考点】数列的求和．【分析】an+1=SnSn+1，可得Sn+1﹣Sn=SnSn+1，=﹣1，再利用等差数列的通项公式即可得出．【解答】解：∵an+1=SnSn+1，∴Sn+1﹣Sn=SnSn+1，∴=﹣1，∴数列是等差数列，首项为﹣1，公差为﹣1．∴=﹣1﹣（n﹣1）=﹣n，解得Sn=﹣．故答案为：．9．，则a=28．【考点】极限及其运算．【分析】由等差数列的前n项和公式，把等价转化为=6，进而得到=6，所以，由此能求出a．【解答】解：∵，∴=6，=6，∴，解得a=28．故答案为：28．10．若函数f（x）=sin2x+2cosx在上的最大值为1，则θ的值是．【考点】三角函数的最值．【分析】利用同角三角函数平方关系，易将函数化为二次型的函数，结合余弦函数的性质，及函数f（x）=sin2x+2cosx在上的最大值为1，易求出θ的值．【解答】解：∵函数f（x）=sin2x+2cosx=﹣cos2x+2cosx+1=﹣（cosx﹣1）2+2又∵函数f（x）=sin2x+2cosx在上的最大值为1，∴cosθ的最大值为0又∵x∈∴cosθ∈0即θ=故答案为：11．如图，在Rt△ABC内有一系列的正方形，它们的边长依次为a1，a2，…，an，…，若AB=a，BC=2a，则所有正方形的面积的和为．【考点】等比数列的前n项和．【分析】根据题意可知，可得，依次计算，…，不难发现：边长依次为a1，a2，…，an，…构成是公比为的等比数列，正方形的面积：依次S1=，…，不难发现：边长依次为a1，a2，…，an，…正方形的面积构成是公比为的等比数列．利用无穷等比数列的和公式可得所有正方形的面积的和．【解答】解：根据题意可知，可得，依次计算，…，是公比为的等比数列，正方形的面积：依次S1=，…，边长依次为a1，a2，…，an，正方形的面积构成是公比为的等比数列．所有正方形的面积的和．故答案为：12．定义N*在上的函数f（x），对任意的正整数n1，n2，都有f（n1+n2）=1+f（n1）+f（n2），且f（1）=1，若对任意的正整数n，有，则an=2n+1．【考点】数列与函数的综合．【分析】根据条件求出an=f（2n）+1的表达式，利用等比数列的定义即可证明{an}为等比数列，即可求出通项公式．【解答】解：令n1=n2=1，得f（2）=1+f（1）+f（1），则f（2）=3，a1=f（2）+1=4，令n1=n2=2，得f（4）=1+f（2）+f（2），则f（4）=7，a2=f（4）+1=8，令n1=n2=2n，得f（2n+2n）=1+f（2n）+f（2n），即f（2n+1）=1+2f（2n），则f（2n+1）+1=2[1+f（2n）]，an+1=2an所以，数列{an}是等比数列，公比q=2，首项a1=4．所以an=4×2n﹣1=2n+1，故答案为：2n+1二、选择题：13．f（x）为奇函数，当x＞0时，f（x）=π﹣arccos（sinx）则x＜0时，f（x）=（）A．arccos（sinx）B．π+arccos（sinx）C．﹣arccos（sinx）D．﹣π﹣arccos（sinx）【考点】反三角函数的运用．【分析】利用奇函数的定义，结合反三角函数，即可得出结论．【解答】解：∵sin（﹣x）=﹣sinx∴，﹣（π﹣arccos（sin（﹣x））=﹣（π﹣arccos（﹣sinx）），又arccos（﹣α）=π﹣arccosα，∴﹣（π﹣arccos（sin（﹣x））=﹣（π﹣arccos（﹣sinx））=﹣（π﹣（π﹣arccos（sinx）））=﹣arccos（sinx），∴x＜0时，﹣x＞0，f（﹣x）=﹣f（x）=﹣（π﹣arccos（sin（﹣x））=﹣arccos（sinx），故选：C．14．如图是函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜π），x∈R的部分图象，则下列命题中，正确的命题序号是（）①函数f（x）的最小正周期为②函数f（x）的振幅为③函数f（x）的一条对称轴方程为④函数f（x）的单调递增区间是⑤函数f（x）的解析式为．A．③⑤B．③④C．④⑤D．①③【考点】命