必修二与必修五数学试题及答案解析

1BCB'A'C'A一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.．若函数0,1xfxaaa且是定义域为R的减函数，则函数log1afxx的图象大致是（）2.已知数列{𝑎𝑛}满足𝑎𝑛+3𝑎𝑛+1+3=12，且𝑎1=1，则𝑎5=（）。A.−52B.125C.61D.−2383．如图所示，圆锥的底面半径为1，母线长为2，在圆锥上方嵌入一个半径为r的球，使圆锥的母线与球面相切，切点为圆锥母线的端点，则该球的表面积为（）A．23B．3C．4D．1634．已知正三棱柱111ABCABC中，12ABBB，则异面直线1AB与1BC所成角的余弦值为（）A．32B．12C．14D．145．已知函数1,02ln,0xxfxxx，若函数gxfxk有两个零点，则实数k的取值范围为（）A．0+，B．1+，C．01，D．1+，6.在等差数列{an}中，a5=33，公差d=3，则201是该数列的第（）项．A．60B．61C．62D．637.在△ABC中，∠A=60°，AB=2，且△ABC的面积为√32，则BC的长为（）A．√3B．3C．√7D．78.已知△ABC中，三内角A、B、C的度数成等差数列，边a、b、c依次成等比数列．则△ABC第3题图是（）A．直角三角形B．等边三角形C．锐角三角形D．钝角三角形9.用篱笆围一个面积为100m2的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，所用篱笆最短，最短的篱笆是（）A．30B．36C．40D．5010.已知圆22:200Mxyaya截直线0xy所得线段的长度是22，则圆M与圆的22:111Nxy的位置关系是（）A．内切B．相交C．外切D．相离11.在平面直角坐标系中，O为坐标原点，直线:10lxky与圆22:4Cxy相交于A、B两点，OMOAOB．若点M在圆C上，则实数k（）A．2B．1C．0D．112.点M在22539xy上，则点M到直线3420xy的最短距离为（）A．9B．8C.5D．2二、填空题:本大题共4小题，每小题5分，共20分。13.若Sn等差数列{an}的前n项和，且a3=2，a8=10，则S10=．14.设a＞0，b＞0，若√3是3a与3b的等比中项，则1𝑎+1𝑏的最小值是．15．已知a，b，c分别为△ABC的三个内角A，B，C的对边，a=2且（2+b）（sinA﹣sinB）=（c﹣b）sinC，则△ABC面积的最大值为．16．如图，长方体1111ABCDABCD中，12AAAB，1AD，点E，F，G分别是1DD，AB，1CC的中点，则异面直线1AE与GF所成的角是．三、简答题：17.已知直线12:310,:20laxylxaya．（1）若12ll，求实数a的值；（2）当12//ll时，求直线1l与2l之间的距离．18．（本小题满分12分）已知单调递增等比数列{𝑎}满足𝑎2+𝑎3+𝑎=，且𝑎3+是𝑎2𝑎的等差中项.（1）求数列{𝑎}的通项公式；（2）数列{}为等差数列，其前n项和𝑆𝑛=𝑛2，求数列{𝑎+}的前n项和𝑇𝑛.19．（12分）在△ABC中，已知AB=2，AC=3，A=60°．（1）求BC的长；（2）求sin2C的值．20.（本小题满分12分）在四棱锥PABCD中，底面ABCD是梯形，AB∥DC，2ABD，22AD，22ABDC，F为PA中点.（1）在棱PB上确定一点E，使得CE∥平面PAD；（2）若6PAPBPD，求三棱锥PBDF的体积.21.（本小题满分12分）在数列{an}中，a1=1，an﹣1=2an．（1）求数列{an}的通项公式；（2）若bn=（2n+1）an，求数列{bn}的前n项和Tn．22．（本题满分12分）已知Sn是等差数列{an}的前n项和，且a2=2，S6=21（1）求数列{an}的通项公式；（2）令𝑛=1(𝑛+1)𝑎𝑛，求数列{bn}的前n项和Tn．FPDCBA第20题图1DBCB'A'C'ACBOA答案：1.B；2.C；3.D；4.D；5.B；6.B；7.A；8.B；9.C；10.B；11.C；12.D13.60；14.4；15.√3；16.90°3.解法一：在Rt△ABC中，sin∠BAC=12，∴∠BAC=30°，∴tan30°=𝑂𝐵2，解得OB=2√33。解法二：由△OBC∽△OAB得𝑂𝐵𝑂𝐴=𝐵𝐶𝐴𝐵，解得𝑂𝐵2=3，所以表面积S=163𝜋。4解：延长A′B′到D，使B′D=AB，则四边形AB′DB是平行四边形∴AB′∥BD∴∠DBC′就是异面直线AB′与B′所成的角由余弦定理得CD=√3由勾股定理得BD=BC’=√∴cos∠DBC‘=(2√2)2+(2√2)2−(2√3)22×2√2×2√2=1。8.解法一：由已知易求出∠B=60°，∵a、b、c成等比数列∴2=𝑎𝑐由2=𝑎2+𝑐2−𝑎𝑐∙𝑐𝑜𝑠𝐵得ac=𝑎2+𝑐2−𝑐∙12∴a=c。解法二：由已知易求出∠B=60°，设公比为q，则b=aq，c=a𝑞2，由余弦定理即可算出q=1，所以是等边三角形。11.利用菱形的性质易求出圆心到直线的距离为1，然后利用点到直线的距离公式即可求出k=0。15.解：由已知把角换成边得(+b)(a−b)=(c−b)c，整理得2+𝑐2−4=𝑐∴cosA=𝑏2+𝑐2−𝑎22𝑏𝑐=12，A=𝜋3，∵4=2+𝑐2−𝑐≥𝑐−𝑐，∴bc≤4∴𝑆∆𝑎𝑏𝑐=12𝑐∙𝑠𝑖𝑛𝐴≤12×4×√32=√3。16.解：连接𝐵1𝐺、𝐵1𝐹，分别计算𝐵1𝐺=√、𝐵1𝐹=√5、FG=√3，满足勾股定理逆定理。三．解答题17.解：（1）由12ll知320aa，解得32a；（2）当12ll∥时，有230320aaaa解得3a，12:3310,:30lxylxy，即3390xy，距离为229142333d．（18）(本小题满分12分)解:（1）设等比数列na的首项为1a,公比为q.依题意,把23428aaa代入32422aaa得332228aa,解得,38a.2420aa31121208aqaqaq……………………2分解之得122qa或11232qa……………………4分又数列na是递增数列,2q112nnnaaq.……………………5分（2）当1n时,111bS,……………………6分当2n时,221121nnnbSSnnn,……………………7分2111,21nan……………………8分221nnnabn1122+nnnTababab1222112221221nn12=2+2++2212nnn……………………9分+1222=2122nnnn……………………11分12=22nn……………………12分MHEFPDCBA19．解：（1）由余弦定理可得：BC2=AB2+AC2﹣2AB•ACcosA=4+9﹣2×2×3×=7，所以BC=．（2）由正弦定理可得：，则sinC===，∵AB＜BC，∴C为锐角，则cosC===．因此sin2C=2sinCcosC=2×=．（20）(本小题满分12分)解：（1）取PB的中点E,连,FEEC.……………………1分,FE分别为,PAPB中点EF//12AB,又//12CDAB，EF//CD,所以四边形CDEF是平行四边形,//CEDE……………………2分,CEPADDFPAD平面平面，……………………3分CE∥平面PAD.……………………4分（2）方法一）在RtABD中,222ADAB，,222BDADAB,ABBD,……………………5分又PAPD,取AD的中点H,连,BHPH,ADPH,ADBH.在RtPHA中,222PHPAAH,在RtABD中,122BHAD，222PHHBPB，PHHB,……………………6分又PHAD,BHAD平面ABCD平面ABCD，ADPHH,PHABCD平面.……………………7分过F作//FMPH交AD于M,易知//1,12FMABCDFMPH平面且.……………………8分三角形ABD的面积11222.22ABDSABBD……………………9分三棱锥PBDF的体积PBDFPABDFABDVVV……………………10分1133ABDABDSPHSFM……………………11分1312213ABDSPHFM23……………………12分方法二）在RtABD中,222ADAB，,222BDADAB,ABBD,……………………5分又PAPD,取AD的中点H,连,BHPH,ADPH,ADBH.在RtPHA中,222PHPAAH,在RtABD中,122BHAD，222PHBHPB，BHPH,……………………6分又BHAD,PHAD平面PAD平面PAD，ADPHHBHAD平面P,BH即是点B到平面PAD的距离.……………………7分在PAD中，62PAPD，AD=2,由余弦定理得，2222cosADPAPDPAPDAPD，即22222=6+6266cosPAD,解得1cos3PAD,……………………8分2122sin133PAD.PFD的面积1sin21sin216226223PFDSPFPDFPDPFPDAPD2……………………9分三棱锥PBDF的体积PBDFBPFDVV……………………10分13PDFSBH……………………11分122323……………………12分21．解：（1）a1=1，an﹣1=2an，∴=，∴数列{an}是以1为首项，以为公比的等比数列，∴an=（）n﹣1，（2）bn=（2n+1）an=（2n+1）（）n﹣1，∴Tn=3×（）0+5×（）1+7×（）2+…+（2n+1）（）n﹣1，∴Tn=3×（）1+5×（）2+7×（）3+…+（2n﹣1）（）n﹣1+（2n+1）（）n，∴Tn=3+2×（）1+2×（）2+2×（）3+…+2•（）n﹣1﹣（2n+1）（）n=3+2（）﹣（2n+1）（）n=5﹣（2n+5）（）n，∴Tn=10﹣（2n+5）（）n﹣1．（22）(本小题满分12分)解：（1）设等差数列{an}的公差为d，∵a2=2，S6=21，∴a1+d=2，6a1+d=21，联立解得a1=d=1．∴an=1+（n﹣1）=n．（2）==，∴数列{bn}的前n项和Tn=+…+=1﹣．