正弦定理ppt

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正弦定理正弦定理正弦定理在Rt△ABC中,各角与其对边(角A的对边一般记为a,其余类似)的关系:caAsincbBsin1sinC不难得到:CcBbAasinsinsinCBAabccc在非直角三角形ABC中有这样的关系吗?AcbaCBbADcADCBsin,sin所以AD=csinB=bsinC,即,sinsinCcBb同理可得,sinsinCcAaCcBbAasinsinsin即:DAcbCB图1过点A作AD⊥BC于D,此时有若三角形是锐角三角形,如图1,CCbADsinsin)(且CcBbAasinsinsin仿(2)可得D若三角形是钝角三角形,且角C是钝角如图2,此时也有cADBsin交BC延长线于D,过点A作AD⊥BC,CAcbB图2正弦定理:CcBbAasinsinsin即在一个三角形中,各边和它所对角的正弦的比相等.思考:你能否找到其他证明正弦定理的方法?剖析定理、加深理解1、正弦定理可以解决三角形中的问题:①已知两角和一边,求其他角和边②已知两边和其中一边的对角,求另一边的对角,进而可求其他的边和角剖析定理、加深理解2、A+B+C=π3、大角对大边,大边对大角4、一般地,把三角形的三个角A,B,C和它们的对边a,b,c叫做三角形的元素。已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫解三角形剖析定理、加深理解5、正弦定理的变形形式6、正弦定理,可以用来判断三角形的形状,其主要功能是实现三角形边角关系的转化定理的应用例1、在△ABC中,已知c=10,A=45。,C=30。,解三角形(精确到0.01)已知两角和任意边,求其他两边和一角BACabc例2、已知a=16,b=,A=30°.解三角形已知两边和其中一边的对角,求其他边和角解:由正弦定理BbAasinsin得231630sin316sinsinaAbB所以B=60°,或B=120°当时B=60°C=90°.32cC=30°.16sinsinACac316当B=120°时B16300ABC16316变式:a=30,b=26,A=30°,解三角形300ABC2630解:由正弦定理BbAasinsin得30133030sin26sinsinaAbB所以B=25.70,或B=1800-25.70=154.30由于154.30+3001800故B只有一解(如图)C=124.30,57.49sinsinACac30137.25sin变式:a=30,b=26,A=30°,解三角形300ABC2630解:由正弦定理BbAasinsin得30133030sin26sinsinaAbB所以B=25.70,C=124.30,57.49sinsinACac30137.25sin∵ab∴AB,三角形中大边对大角(R为△ABC外接圆半径)另证1:RCcBbAa2sinsinsin证明:OC/cbaCBARCcRcCCCCCBA2sin2sinsin,90''RCcBbAaRBbRAa2sinsinsin2sin,2sin同理作外接圆O,过B作直径BC/,连AC/,另证2:证明:∵BacAbcCabSABCsin21sin21sin21BACDabcaABCahS21而CbBcADhasinsin∴CabBacSABCsin21sin21同理∴BacAbcCabSABCsin21sin21sin21haAbcSABCsin21课堂小结(1)三角形常用公式:(2)正弦定理的应用正弦定理:ABC111sinsinsin222ABCSabCbcAacBsinsinsinabcABC=2R课后作业P10习题1.1A组1,2(1)(2)已知两边和其中一边的对角,求其他边和角1.根据下列条件解三角形(1)b=13,a=26,B=30°.[B=90°,C=60°,c=]313(2)b=40,c=20,C=45°.练习注:三角形中角的正弦值小于1时,角可能有两解无解课堂小结(2)正弦定理应用范围:①已知两角和任意边,求其他两边和一角②已知两边和其中一边的对角,求另一边的对角。(注意解的情况)(1)正弦定理:sinsinsinabcABC=2R已知两边和其中一边的对角,求其他边和角时,三角形什么情况下有一解,二解,无解?课后思考例⒉在△ABC中,已知a=2,b=,A=45°,求B和c。22变式1:在△ABC中,已知a=4,b=,A=45°,求B和c。22变式2:在△ABC中,已知a=,b=,A=45°,求B和c。22334正弦定理应用二:已知两边和其中一边对角,求另一边的对角,进而可求其它的边和角。(要注意可能有两解)3练习2、在ABC中,若a=2bsinA,则B=A、B、C、D、36653326或或登高3、在ABC中,,则ABC的形状是A、等腰三角形B、直角三角形C、等腰直角三角形D、等腰三角形或直角三角形AbBacoscos练习1、在ABC中,若A:B:C=1:2:3,则a:b:c=()A、1:2:3B、3:2:1C、1::2D、2::133自我提高!

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