多元函数的概念 教案 - 山西大同大学

1第八章多元函数§8.1多元函数的概念自变量只有一个的函数称为一元函数，有二个独立的自变量的函数称为二元函数，有三个独立的自变量的函数称为三元函数，…，自变量有n一个的函数就称为n元函数，二元及二元以上的函数统称为多元函数。以前所学的函数都是一元函数，但是在实际问题中，所涉及的函数的自变量的个数往往不只是一个，有的是两个，甚至更多。例如，一个圆锥体的体积hrV231，它有两个独立的变量r、h。为此，就需要进一步讨论自变量为两个，或者更多情形下的多元函数。本节以二个独立的变量为基础，首先给出二元函数的概念。1．二元函数的概念定义设有两个独立的变量x与y在一定范围D内取值，任取一组数值时，第三个变量z就以某一确定的法则有唯一确定的值与其对应，那末变量z称为变量x与y的二元函数。记作),(yxfz其中x与y称为自变量，函数z称为因变量，自变量x与y取值范围称为函数的定义域，一般记为D。二元函数在点),(00yx所取得的函数值记作00yyxxz，),(00yxz或),(00yxf类似地，可定义二元函数、四元函数、…、n元函数等多元函数。2．二元函数的定义域与一元函数相同，决定二元函数的要素仍然是定义域和对应法则。那么，二元函数的定义域就是使函数有意义的自变量的取值范围。2对于一元函数的定义域一般来说是一个或几个区间，二元函数的定义域可以是整个xy坐标平面，可以是一条曲线，还可以是由平面上一条或几段光滑曲线所围成的连通的部分平面。整个xy坐标平面或由曲线所围成的部分平面称为区域，围成区域的曲线称为区域的边界，边界上的点称为边界点，包括边界在内的区域称为闭区域，不包括边界在内的区域称为开区域。开区域内的点称为内点。如果一个区域D(开域或闭域)中任意两点之间的距离都不超过某一常数M，则称D为有界区域，即一个区域可以被包含在一个以原点为圆心，适当长为半径的圆内；否则称D为无界区域。如同区间可用不等式表示一样，区域也可以用不等式或不等式组来表示。区域D通常表示为)()(21xyyxybxa或)()(21yxxyxdyc两种形式，前者称为X型区域，后者称为Y型区域。最简单的区域有矩形域},:),{(dycbxayxD和圆形域}:),{(22ryxyxD，如图8—1所示。例1求yxz的定义域解该函数的定义域为}0,:),{(2yyxyxD图8—1例2求下列函数的定义域D，并画出D的图形。（1）3arcsin2arcsinyxz（2）1142222yxyxz解（1）要使得3arcsin2arcsinyxz有意义，则需1312yx，即3322yx3故函数的定义域}33,22:),(yxyxD，此区域是一个矩形域。（2）要使得1142222yxyxz有意义，则需01042222yxyx即4122yx故函数的定义域}41:),(22yxyxD，此区域是一个圆环。3．二元函数的几何解释),(yxP是二元函数),(yxfz定义域D内的任意一点，则相应的函数值是),(yxfz，有序数组),,(zyx确定了空间一点),,(zyxM，当P在D内变动时，对应的点M就在空间变动，即对应P点的轨迹就是函数),(yxfz的几何图形，它通常是一张曲面，其定义域D就是此曲面在xoy平面上的投影。因此，二元函数在空间直角坐标中一般表示的是曲面。§8.2二元函数的极限及其连续性一、二元函数的极限与一元函数的极限类似，对于二元函数),(yxfz同样可以讨论当自变量x与y趋向于有限数值0x与0y时，函数z的变化趋势，即二元函数的极限。x、y趋于0x、0y可看作成点),(yxP趋向点),(000yxP，记作0PP或),(),(00yxyx。若0PP，即2020200)()()(zzyyxxPP，则0就可表示4),(),(00yxyx。在平面xoy上，),(yx趋于),(00yx的方式可以时多种多样的，因此二元函数的情况要比一元函数复杂得多。如果定义于),(00yx的某一去心邻域的一个二元函数),(yxf与一个确定的常数A，当点),(yx以任意方式趋向点),(00yx时，),(yxf总是趋向于一个确定的常数A，那么就称A是二元函数),(yxf当),(yx→),(00yx时的极限。为了区别于一元函数的极限，则把二元函数的极限叫做二重极限定义1设函数),(yxfz在点),(000yxP的某一邻域内有定义（点),(000yxP除外），若点),(yxP无限地趋于点),(000yxP时，恒有APf)(（是任意小的正数），则称A为函数),(yxfz当),(),(00yxyx时的二重极限，记为Ayxfyxyx),(lim),(),(00或AyxfPP),(lim0。用—语言严格给出定义1的二重极限的定义如下定义2对任意给定的正数，无论怎样小，总存在一正数，当满足2202020)()()(0zzyyxx的一切),(yx恒有APf)(成立，则常数A称为函数),(yxf当),(),(00yxyx时的二重极限。例1函数0,00,),(222222yxyxyxxyyxf当),(yxP沿x轴趋于)0,0(时，即00xy，，000limlim22)0,0(),(22)0,0(),(xxyxxyyxyx当),(yxP沿y轴趋于)0,0(时，即00yx，，00limlim22)0,0(),(22)0,0(),(yxyyxxyyxyx5当),(yxP沿着kxy直线趋于)0,0(时，22222)0,0(),(22)0,0(),(1limlimkkxkxkxyxxyyxyx，随着k的取值不同，21kk的值不同，所以22)0,0(),(limyxxyyx不存在。注一元函数)(xfy的极限，点x只沿x轴趋于0，但二元函数的极限要求点),(yxP沿以任意方式趋向点),(00yx，若),(yxP沿x轴或沿y轴或沿平行与坐标轴的直线或沿某一条曲线趋于),(00yx时的极限都存在，也不能确定它的极限不存在。二、二重极限的运算法则正像一元函数的极限一样，二重极限也有类似的运算法则当),(),(00yxyx时，Ayxf),(，Byxg),(则(1)BAyxgyxf),(),((2)BAyxgyxf),(),((3)BAyxgyxf),(),(，其中0B例2求极限22)()cos(1lim2222)0,0(),(yxyxeyxyx解0021)()cos(1lim)()cos(1lim22222222222)0,0(),(2222)0,0(),(yxyxyxyxeyxyxyxeyxyx三、二元函数的连续性像一元函数一样，可以利用二重极限来给出二元函数连续的概念1．二元函数连续的概念定义1如果当点),(yx趋向点),(00yx时，函数),(yxf的二重极限等于),(yxf在6点),(00yx处的函数值),(00yxf，则称函数),(yxf在点),(00yx处连续。如果),(yxf在区域D的每一点都连续，那末称它在区域D连续。二元连续函数的和，差，积，商(分母不为零）和复合函数仍是连续函数。一切多元初等函数在其定义区域内是连续的（多元初等函数是指由常数及其具有不同自变量的一元基本初等函数经过有限次的四则运算和复合运算得到的可用一个式子表示的多元函数）。如果二元函数连续，又),(00yx在其定义域D内时，当在定义域D内求函数在),(),(00yxyx的极限，可把用直接代入计算二元函数在点),(00yx的函数值，即为其极限。例3求极限1)cos(2lim2222)0,0(),(yxyxyx解3100)00cos(21)cos(2lim22222222)0,0(),(yxyxyx2．多元函数连续性的性质性质（有界性及最大值与最小值定理）1在有界的闭区域D上的多元连续函数，必定在D上有界，且取得最大值与最小值。性质（介值定理）2在有界的闭区域D上的多元连续函数必取得介于最大值和最小值之间的任何值。性质（一致连续性定理）3在有界的闭区域D上的多元连续函数，必定在D上一致连续性。3．二元函数间断性定义2如果函数),(yxfz在),(00yx不满足连续的定义，那末我们就称),(00yx是),(yxf的一个间断点。二元函数间断点的产生与一元函数的情形类似，但是二元函数间断的情况要比一元函数复杂，它除了有间断点，还有间断线。7例4求函数xyz1sin的间断线解0x与0y都是函数xyz1sin的间断线。§8.3偏导数在一元函数中，导数就是函数的变化率。对于二元函数同样要研究它的“变化率”。然而，由于自变量多了一个，情况就要复杂的多。在xoy平面内，当变点由),(00yx沿不同方向变化时，函数),(yxf的变化快慢一般说来时不同的，因此就需要研究),(yxf在),(00yx点处沿不同方向的变化率。一、偏导数的概念若点),(yx只沿着平行于x轴和平行于y轴两个特殊方位变动时，函数),(yxf有变化率。则其变化率叫做偏导数。1．函数在点的偏导数定义1设有二元函数),(yxfz，点),(00yx是其定义域D内一点，把y固定在0y，而让x在0x有增量x，相应地函数),(yxfz有增量(称为对x的偏增量)),(),(0000yxfyxxfzx如果zx与x之比当0x时的极限存在，则此极限值称为函数),(yxfz在),(00yx处对x的偏导数，记作8),(00yxfx或),(00yxxf注函数),(yxfz)在),(00yx处对x的偏导数，是把y固定在0y，实际上就是把y看成常数后，二元函数的偏导数就转化为一元函数),(0yxfz在0x处的导数。同样，把x固定在0x，让y有增量y，如果极限存在，则此极限称为函数),(yxfz在),(00yx处对y的偏导数，记作),(00yxfy或),(00yxyf2．函数的偏导函数当函数),(yxfz在),(00yx的两个偏导数),(00yxxf与),(00yxyf都存在时，则称),(yxf在),(00yx处可导。如果函数),(yxf在域D的每一点均可导，那末称函数),(yxf在域D可导。此时，对应于域D的每一点),(yx，必有一个对x(对y)的偏导数，因而在域D确定了一个新的二元函数，称为),(yxf对x(对y)的偏导函数。简称偏导数。定义2如果函数),(yxfz在区域D内每一点),(yx处对x的偏导数都存在，且是yx、的函数，则称它为函数),(yxfz对自变量x的偏导函数，简称为偏导数，记作xzxfxz,,或),(yxfx类似地，可以定义函数),(yxfz对自变量y的偏导函数，记作yzyfyz,,或9),(yxfy3．偏导数的求法求xf时，只要把其它自变量看成常数而对x求导数即可；求yf时，只要把其它自变量看成常数，对y求导数即可。这是因在求偏导数时只有一个变量在变，其它变量固定的原因，故可按一元函数的求导方法求之。例1求yxzsin2的偏导数解把y看作常量对x求导数，得yxxzsin2把x看作常量对y求导数，得yxyzcos2例2求zxyyxu22的偏导数。解根据二元函数的偏导数的求法来做。把y和z看成常量对x求导，得zyyxxxu22把x和z看成常量对y求导，得zxyxyyu22.把x和y看成常量对z求导，得2zxyzu例3求函数2223yxyxz在点)1,2(处的两个偏导数解∵yxxz32，yxyz43∴11322)1,2(xz，21423)1,2(yz例4设)0(xxzy，求