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第二十八章锐角三角函数专题七解直角三角形的应用教材母题(教材P97第8题)如图，两建筑物的水平距离BC为32.6m，从A点测得D点的俯角为35°12′，测得C点的俯角β为43°24′，求这两个建筑物的高(tan35°12′≈0.71，tan43°24′≈0.95，结果保留小数点后一位)解：过点D作DE⊥AB于E，在Rt△AED中，AEED＝tan∠ADE＝tanα，∴AE＝ED·tanα，在Rt△ABC中，ABBC＝tan∠ACB＝tanβ，∴AB＝BC·tanβ＝32.6×tan43°24′≈31.0m，∴EB＝AB－AE＝BC·tanβ－ED·tanα＝32.6×tan43°24′－32.6×tan35°12′≈7.0，∵EB＝CD，∴CD≈7.0m【规律与方法】弄清各名词及术语的意义，将实际问题中的数量关系转化为直角三角形中元素之间的关系，当某些图形不是直角三角形时，可通过辅助线，把它分割成直角三角形或已学过的特殊四边形，然后解这个直角三角形．变式1.(2014·西宁)如图1，某超市从一楼到二楼有一自动扶梯，图2是侧面示意图．已知自动扶梯AB的坡度为1∶2.4，AB的长度是13米，MN是二楼楼顶，MN∥PQ，C是MN上处在自动扶梯顶端B点正上方的一点，BC⊥MN，在自动扶梯底端A处测得C点的仰角为42°，则二楼的层高BC约为(精确到0.1米，sin42°≈0.67，tan42°≈0.90)()A．10.8米B．8.9米C．8.0米D．5.8米变式2.(2014·台州)如图，某翼装飞行员从离水平地面高AC＝500m的A处出发，沿着俯角为15°的方向，直线滑行1600m到达D点，然后打开降落伞以75°的俯角降落到地面上的B点．求他飞行的水平距离BC(结果精确到1m)．解：过点D作DE⊥AC于点E，过点D作DF⊥BC于点F，由题意可得：∠ADE＝15°，∠BDF＝15°，AD＝1600，AC＝500，∴cos∠ADE＝cos15°＝DEAD≈0.97，DE＝0.97×1600＝1552，AEAD＝sin15°≈0.26，AE＝416，∴DF＝500－416＝84(m)，∴tan∠BDF＝tan15°＝BFDF≈0.27，∴BF＝22.68(m)，∴BC＝CF＋BF＝1552＋22.68≈1575(m)，所以他飞行的水平距离为1575mD变式3.(2014·枣庄)如图，一扇窗户垂直打开，即OM⊥OP，AC是长度不变的滑动支架，其中一端固定在窗户的点A处，另一端在OP上滑动，将窗户OM按图示方向向内旋转35°到达ON位置，此时，点A，C的对应位置分别是点B，D.测量出∠ODB为25°，点D到点O的距离为30cm.(1)求B点到OP的距离；(2)求滑动支架的长．(结果精确到1cm.参考数据：sin25°≈0.42，cos25°≈0.91，tan25°≈0.47，sin55°≈0.82，cos55°≈0.57，tan55°≈1.43)解：(1)在Rt△BOE中，OE＝BEtan55°，在Rt△BDE中，DE＝BEtan25°，则BEtan55°＋BEtan25°＝30，解得BE≈10.6cm.故B点到OP的距离大约为10.6cm(2)在Rt△BDE中，BD＝BEsin25°≈25.2cm.故滑动支架长25.2cm学科网变式4.(2014·潍坊)如图，某海域有两个海拔均为200米的海岛A和海岛B，一勘测飞机在距离海平面垂直高度为1100米的空中飞行，飞行到点C处时测得正前方一海岛顶端A的俯角是45°，然后：沿平行于AB的方向水平飞行1.99×104米到达点D处，在D处测得正前方另一海岛顶端B的俯角是60°，求两海岛间的距离AB.解：如图，过点A作AE⊥CD于点E，过点B作BF⊥CD，交CD的延长线于点F，则四边形ABFE为矩形，所以AE＝BF＝1100－200＝900，CD＝19900.∴在Rt△AEC中，∠C＝45°，AE＝900，∴CE＝AEtan∠C＝900tan45°＝900，在Rt△BFD中，∠BDF＝60°，BF＝900，∴DF＝BFtan∠BDF＝900tan60°＝3003，∴AB＝EF＝CD＋DF－CE＝19900＋3003－900＝19000＋3003，答：两海岛之间的距离AB是(19000＋3003)米6变式5.(2014·徐州)如图，轮船从点A处出发，先航行至位于点A的南偏西15°且与点A相距100km的点B处，再航行至位于点B的北偏东75°且与点B相距200km的点C处．(1)求点C与点A的距离(精确到1km)；(2)确定点C相对于点A的方向．(参考数据：2≈1.414，3≈1.732)解：(1)过点A作AD⊥BC于点D，由图得，∠ABC＝75°－15°＝60°，在Rt△ABD中，∵∠ABC＝60°，AB＝100，∴BD＝50，AD＝503，∴CD＝BC－BD＝200－50＝150，在Rt△ACD中，由勾股定理得：AC＝AD2＋CD2＝1003≈173(km)(2)在△ABC中，∵AB2＋AC2＝1002＋(1003)2＝40000，BC2＝2002＝40000，∴AB2＋AC2＝BC2，∴∠BAC＝90°，∴∠CAF＝∠BAC－∠BAF＝90°－15°＝75°.答：点C位于点A的南偏东75°方向学.科.网变式6.(2014·烟台)小明坐于堤边垂钓，如图，河堤AC的坡角为30°，AC长332米，钓竿AO的倾斜角是60°，其长为3米，若AO与钓鱼线OB的夹角为60°，求浮漂B与河堤下端C之间的距离．解：延长OA交BC于点D，∵AO的倾斜角是60°，∴∠ODB＝60°，∵∠ACD＝30°，∴∠CAD＝180°－∠ODB－∠ACD＝90°，在Rt△ACD中，AD＝AC·tan∠ACD＝332·33＝1.5(米)，∴CD＝2AD＝3米，又∵∠O＝60°，∴△BOD是等边三角形，∴BD＝OD＝OA＋AD＝3＋1.5＝4.5(米)，∴BC＝BD－CD＝4.5－3＝1.5(米)．答：浮漂B与河堤下端C之间的距离为1.5米．变式7.(2014·仙桃)如图，在坡角为30°的山坡上有一铁塔AB，其正前方矗立着一大型广告牌，当阳光与水平线成45°角时，测得铁塔AB落在斜坡上的影子BD的长为6米，落在广告牌上的影子CD的长为4米，求铁塔AB的高(AB，CD均与水平面垂直，结果保留根号)．,解：过点C作CE⊥AB于点E，过点D作DF⊥AB交AB的延长线于点F，在Rt△DBF中，∠BDF＝30°，BF＝DB·sin30°＝12DB＝3，DFDB＝cos30°＝32，∴DF＝6×32＝33，∵CE＝DF，∴CE＝DF＝33，在Rt△ACE中，由题意可知∠ACE＝45°，AECE＝tan45°＝1，∴AE＝CE＝33，∴AB＝AF－BF＝AE＋EF－BF＝33＋4－3＝(33＋1)米，所以铁塔AB的高为(33＋1)米．