同济大学(高等数学)_第十章_重积分

1第十章重积分一元函数积分学中，我们曾经用和式的极限来定义一元函数fx在区间,ab上的定积分，并已经建立了定积分理论，本章将把这一方法推广到多元函数的情形，便得到重积分的概念.本章主要讲述多重积分的概念、性质、计算方法以及应用.第1节二重积分的概念与性质1.1二重积分的概念下面我们通过计算曲顶柱体的体积和平面薄片的质量，引出二重积分的定义.1.1.1.曲顶柱体的体积曲顶柱体是指这样的立体，它的底是xOy平面上的一个有界闭区域D，其侧面是以D的边界为准线的母线平行于z轴的柱面，其顶部是在区域D上的连续函数,zfxy，且,0fxy所表示的曲面（图10—1）.图10—1现在讨论如何求曲顶柱体的体积.分析这个问题，我们看到它与求曲边梯形的面积问题是类似的.可以用与定积分类似的方法（即分割、近似代替、求和、取极限的方法）来解决（图10—2）.图10—2(1)分割闭区域D为n个小闭区域,n12,,,2同时也用iΔσ表示第i个小闭区域的面积，用idΔσ表示区域iΔσ的直径（一个闭区域的直径是指闭区域上任意两点间距离的最大值），相应地此曲顶柱体被分为n个小曲顶柱体.(2)在每个小闭区域上任取一点1122,,,,,,nnξηξηξη对第i个小曲顶柱体的体积，用高为，()iifξη而底为iΔσ的平顶柱体的体积来近似代替.(3)这n个平顶柱体的体积之和1(,)niiiif就是曲顶柱体体积的近似值.(4)用λ表示n个小闭区域iΔσ的直径的最大值，即max1iinλdΔσ.当0λ(可理解为iΔσ收缩为一点)时，上述和式的极限，就是曲顶柱体的体积：01lim(,).niiiiVf1.1.2平面薄片的质量设薄片在xOy平面占有平面闭区域D，它在点，()xy处的面密度是,()ρρxy.设()0xy,且在D上连续，求薄片的质量(见图10-3).图10-3先分割闭区域D为n个小闭区域n12,,,在每个小闭区域上任取一点1122,,,,,,nnξηξηξη近似地，以点,()iiξη处的面密度,()iiρξη代替小闭区域iΔσ上各点处的面密度，则得到第i块小薄片的质量的近似值为,()iiiρξηΔσ，于是整个薄片质量的近似值是1(,)niiii用max1iinλdΔσ表示n个小闭区域iΔσ的直径的最大值，当D无限细分，即当0λ时，上述和式的极限就是薄片的质量M，即01lim(,)niiiλiMρξηΔσ.以上两个具体问题的实际意义虽然不同，但所求量都归结为同一形式的和的极限.抽象出来就得到下述二重积分的定义.定义1设D是xOy平面上的有界闭区域，二元函数,()zfxy在D上有界.将D分为n个小区域3n12,,,同时用iΔσ表示该小区域的面积，记iΔσ的直径为idΔσ，并令max1iinλdΔσ.在iΔσ上任取一点,,1,2,,()()iiξηin，作乘积Δ,iiifξησ并作和式Δ1(,)niiiinSfξησ.若0λ时，nS的极限存在(它不依赖于D的分法及点(,)iiεη的取法)，则称这个极限值为函数,()zfxy在D上的二重积分，记作(,)dDfxy，即01(,)dlim(,)ΔniiiiDfxyf，(10-1-1)其中D叫做积分区域，,()fxy叫做被积函数，dσ叫做面积元素，,d()fxyσ叫做被积表达式，x与y叫做积分变量，Δ1(,)niiiifξησ叫做积分和.在直角坐标系中，我们常用平行于x轴和y轴的直线(y=常数和x=常数)把区域D分割成小矩形，它的边长是x和Δy，从而ΔΔΔσxy，因此在直角坐标系中的面积元素可写成ddxdy，二重积分也可记作01(,)ddlim(,)niiiiDfxyxyf.有了二重积分的定义，前面的体积和质量都可以用二重积分来表示.曲顶柱体的体积V是函数,()zfxy在区域D上的二重积分(,)dDVfxy；薄片的质量M是面密度,()ρρxy在区域D上的二重积分(,)dDMxy.因为总可以把被积函数,()zfxy看作空间的一曲面，所以当,()fxy为正时，二重积分的几何意义就是曲顶柱体的体积；当,()fxy为负时，柱体就在xOy平面下方，二重积分就是曲顶柱体体积的负值.如果,()fxy在某部分区域上是正的，而在其余的部分区域上是负的，那么,()fxy在D上的二重积分就等于这些部分区域上柱体体积的代数和.如果,()fxy在区域D上的二重积分存在(即和式的极限(10-1-1)存在)，则称,()fxy在D上可积.什么样的函数是可积的呢？与一元函数定积分的情形一样，我们只叙述有关结论，而不作证明.如果,()fxy是闭区域D上连续，或分块连续的函数，则,()fxy在D上可积.我们总假定,()zfxy在闭区域D上连续，所以,()fxy在D上的二重积分都是存在的，以后就不再一一加以说明.1.1.3二重积分的性质设二元函数,,,()()fxygxy在闭区域D上连续，于是这些函数的二重积分存在.利用二重积分的定义，可以证明它的若干基本性质.下面列举这些性质.4性质1常数因子可提到积分号外面.设k是常数，则(,)d(,)dDDkfxykfxy.性质2函数的代数和的积分等于各函数的积分的代数和，即()()d()d()dDDDfxygxyfxygxy,,,,.性质3设闭区域D被有限条曲线分为有限个部分闭区域，则D上的二重积分等于各部分闭区域上的二重积分的和.例如D分为区域1D和2D(见图10-4)，则12(,)d(,)d(,)dDDDfxyfxyfxy.(10-1-2)图10-4性质3表示二重积分对积分区域具有可加性.性质4设在闭区域D上,1()fxy，σ为D的面积，则1ddDD.从几何意义上来看这是很明显的.因为高为1的平顶柱体的体积在数值上就等于柱体的底面积.性质5设在闭区域D上有,,()()fxygxy，则(,)d(,)dDDfxygxy.由于(,)(,)(,)fxyfxyfxy又有(,)d(,)dDDfxyfxy.这就是说，函数二重积分的绝对值必小于或等于该函数绝对值的二重积分.性质6设、Mm分别为()fxy,在闭区域D上的最大值和最小值，σ为D的面积，则有(,)dDmfxyM.上述不等式是二重积分估值的不等式.因为()mfxyM,，所以由性质5有d(,)ddDDDmfxyM，即d(,)ddDDDmmfxyMM.性质7设函数,()fxy在闭区域D上连续，σ是D的面积，则在D上至少存在一点,()ξη使得(,)d()Dfxyf,.5这一性质称为二重积分的中值定理.证显然0.因,()fxy在有界闭区域D上连续，根据有界闭区域上连续函数取到最大值、最小值定理，在D上必存在一点11xy,使11fxy,等于最大值M，又存在一点22()xy,使22()fxy,等于最小值m，则对于D上所有点,()xy，有2211.mfxyfxyfxyM,,,由性质1和性质5，可得d(,)ddDDDmfxyM．再由性质4得(,)dDmfxyM，或1(,)dDmfxyM．根据闭区域上连续函数的介值定理知，D上必存在一点,()ξη，使得1(,)d()Dfxyf,，即(,)d()Dfxyf,，,()ξηD.证毕.二重积分中值定理的几何意义可叙述如下：当:,()Szfxy为空间一连续曲面时，对以S为顶的曲顶柱体，必定存在一个以D为底，以D内某点,()ξη的函数值,()fξη为高的平顶柱体，它的体积,()fξησ就等于这个曲顶柱体的体积.习题10—11.根据二重积分性质，比较ln()dDxy与2ln()dDxy的大小，其中(1)D表示以10,（）、1,0（）、1,1（）为顶点的三角形；(2)D表示矩形区域|35,2,0xyxy.2.根据二重积分的几何意义，确定下列积分的值：(1)22dDaxy，222{|}Dxyxya，；(2)222dDaxy，222{|}Dxyxya，.3.设,fxy为连续函数，求201lim(,)dπrDfxyr,22200{,}Dxyxxyyr|.4.根据二重积分性质，估计下列积分的值：(1)4+dDIxy，22{|00}Dxyxy，，；6(2)22sinsindDIxy，ππ{,|00}Dxyxy，；(3)2249dDIxy,224{,|}Dxyxy.5.设0,10,1D，证明函数1,,,,,为内有理点即均为有理数，，为内非有理点0xyDxyfxyxyD在D上不可积.7第2节二重积分的计算只有少数二重积分(被积函数和积分区域特别简单)可用定义计算外，一般情况下要用定义计算二重积分相当困难．下面我们从二重积分的几何意义出发，来介绍计算二重积分的方法，该方法将二重积分的计算问题化为两次定积分的计算问题．2.1直角坐标系下的计算在几何上，当被积函数,0fxy时，二重积分(,)dDfxy的值等于以D为底，以曲面,()zfxy为顶的曲顶柱体的体积.下面我们用“切片法”来求曲顶柱体的体积V.设积分区域D由两条平行直线,xaxb及两条连续曲线yxyx12,(见图10—5)所围成，其中abxx12,，则D可表示为12,,|Dxyaxbφxyφx.图10—5用平行于yOz坐标面的平面00xxaxb去截曲顶柱体，得一截面，它是一个以区间1020xx,为底，以,0()zfxy为曲边的曲边梯形(见图10—6)，所以这截面的面积为d2010()0()0(,)φxφxfxyyAx.图10—6由此，我们可以看到这个截面面积是0x的函数.一般地，过区间［,］ab上任一点且平行于yOz坐标面的平面，与曲顶柱体相交所得截面的面积为d21()()(,)φxφxfxyAyx，其中y是积分变量，x在积分时保持不变.因此在区间［,］ab上，Ax是x的函数，应用计算平行截面面积为已知的立体体积的方法，得曲顶柱体的体积为ddd21()()()(,)bbφxaaφxAxxfxyVyx，即得821()()(,)d(,)ddbxaxDfxyfxyyx，或记作21()()(,)dd(,)dbxaxDfxyxfxyy.上式右端是一个先对y，后对x积分的二次积分或累次积分.这里应当注意的是：做第一次积分时，因为是在求x处的截面积Ax，所以x是,ab之间任何一个固定的值，y是积分变量；做第二次积分时，是沿着x轴累加这些薄片的体积Axdx，所以x是积分变量.在上面的讨论中，开始假定了,()0fxy，而事实上，没有这个条件，上面的公式仍然正确.这里把此结论叙述如下：若,()zfxy在闭区域D上连续，:Daxbxyx12,，则21()()(,)ddd(,)dbxaxDfxyxyxfxyy.(10-2-1)类似地，若,()zfxy在闭区域D上连续，积分区域D由两条平行直线yayb,及两条连续曲线xyxy12,(见图10—7)所围成，其中cdxx12,，则D可表示为,|Dxycydyxy12