Lingo软件在求解数学优化问题的使用技巧

1Lingo软件在求解数学优化问题的使用技巧LINGO是一种专门用于求解数学规划问题的软件包。由于LINGO执行速度快，易于方便地输入、求解和分析数学规划问题，因此在教学、科研和工业界得到广泛应用。LINGO主要用于求解线性规划、非线性规划、二次规划和整数规划等问题，也可以用于求解一些线性和非线性方程组及代数方程求根等。LINGO的最新版本为LINGO7.0，但解密版通常为4.0和5.0版本，本书就以LINGO5.0为参照而编写。1．LINGO编写格式LINGO模型以MODEL开始，以END结束。中间为语句，分为四大部分（SECTION）：（1）集合部分（SETS）：这部分以“SETS：”开始，以“ENDSETS”结束。这部分的作用在于定义必要的变量，便于后面进行编程进行大规模计算，就象C语言在在程序的第一部分定义变量和数组一样。在LINGO中称为集合（SET）及其元素（MEMBER或ELEMENT，类似于数组的下标）和属性（ATTRIBUTE，类似于数组）。LINGO中的集合有两类：一类是原始集合（PRIMITIVESETS），其定义的格式为：SETNAME/memberlist（or1..n）/：attribute,attribute,etc。另一类是是导出集合（DERIVEDSETS），即引用其它集合定义的集合，其定义的格式为：SETNAME（set1，set2，etc。）：attribute，attribute，etc。如果要在程序中使用数组，就必须在该部分进行定义，否则可不需要该部分。（2）目标与约束：这部分定义了目标函数、约束条件等。一般要用到LINGO的内部函数，可在后面的具体应用中体会其功能与用法。求解优化问题时，该部分是必须的。（3）数据部分（DATA）：这部分以“DATA：”开始，以“ENDDATA”结束。其作用在于对集合的属性（数组）输入必要的数值。格式为：attribut=value_list。该部分主要是方便数据的输入。（4）初始化部分（INIT）：这部分以“INIT：”开始，以“ENDINIT”结束。作用在于对集合的属性（数组）定义初值。格式为：attribute=value_list。由于非线性规划求解时，通常得到的是局部最优解，而局部最优解受输入的初值影响。通常可改变初值来得到不同的解，从而发现更好的解。编写LINGO程序要注意的几点：1.所有的语句除SETS、ENDSETS、DATA、ENDDATA、INIT、ENDINIT和MODEL，END之外必须以一个分号“；”结尾。2.LINGO求解非线性规划时已约定各变量非负。LINGO内部函数使用详解。LINGO建立优化模型时可以引用大量的内部函数，这些函数以“@”符号打头。（1）常用数学函数@ABS(X)返回变量X的绝对数值。@COS(X)返回X的余弦值，X的单位为弧度@EXP(X)2返回xe的值，其中e为自然对数的底，即71828.2@FLOOR(X)向0靠近返回X的整数部分。如@FLOOR(3.7)，则返回3；@FLOOR(-3.7)，则返回-3。@LGM(X)返回函数的自然对数值。@LOG(X)返回变量X的自然对数值。@SIGN(X)返回变量X的符号值，当X0时为-1；当X0时为1。@SIN(X)返回X的正弦值，X的单位为弧度@SMAX(X1,X2,...,XN)返回一列值X1,X2,...,XN的最大值。@SMIN(X1,X2,...,XN)返回一列值X1,X2,...,XN的最小值。@TAN(X)返回X的正切值，X的单位为弧度(2)集合函数集合函数的用法如下：set_operator(set_name|condition:expression)其中set_oprator部分是集合函数名（见下），set_name是数据集合名，expression部分是表达式，|condition部分是条件，用逻辑表达式描述（无条件时可省略）。逻辑表达式中可以三种逻辑算符（#AND#（与）,#OR#（或），#NOT#（非））和六种关系酸符（#EQ#（等于），#NE#（不等于），#GT#（大于），#GE#（大于等于），#LT#（小于），#LE#（小于等于））。常见的集合函数如下：@FOR(set_name：constraint_expressions)对集合(set_name)的每个元素独立地生成约束，约束由约束表达式（constraint_expressions）描述。@MAX（set_name：expression）返回集合上的表达式（expression）的最大值。@MIN（set_name：expression）返回集合上的表达式（expression）的最小值。@SUM（set_name：expression）返回集合上的表达式（expression）的和。@SIZE（set_name）返回数据集set_name中包含元素的个数。@IN（set_name，set_element）如果数据集set_name中包含元素set_element则返回1，否则返回0。（3）变量界定函数变量函数对变量的取值范围附加限制，共有四种。@BND（L,X,U）限制UXL@BIN（X）限制X为0或1。@FREE（X）取消对X的符号限制（即可取任意实数值）。@GIN（X）限制X为整数值。（4）财务函数),(@NIFPA返回如下情形下的净现值：单位时段利率为I，连续N个时段支付，每个3时段支付费用，即：),(@NIFPA=IIINNnn/))11(1()1(11),(@NIFPL返回如下情形下的净现值：单位时段利率为I，第N个时段支付单位费用，即：),(@NIFPL=NI)11(（5）概率函数@PSN(X)标准正态分布的分布函数。@PSL(X)单位正态线性损失函数（即返回),0(XZMAX的期望值，其中Z为标准正态随机变量）@PPS(A，X)均值为A的Possion分布的分布函数（当X不是整数时，采用线性插值进行计算）。@PPL(X)Possion分布的线性损失函数（即返回),0(XZMAX的期望值，其中Z为Possion分布随机变量）@PBN(P，N，X)二项分布的分布函数当N或X不是整数时，采用线性插值进行计算）。@PHG(POP，G，N，X)超几何分布的分布函数（当POP，G，N或X不是整数时，采用线性插值进行计算）。@PFD(N,D,X)自由度为N和D的F分布的分布函数。@PCX(N,X)自由度为N的2分布的分布函数。@PTD(N,X)自由度为N的t分布的分布函数。@RAND(X)返回0与1之间的伪随机数（X为种子数，典型用法为U(I)=@RAND(U(I+1))）。1．某昼夜服务的公交路线每天各时间区段内需司机和乘务人员如下：班次时间最少需要人数16:00—10:0060210:00—14:0070314:00—18:0060418:00—22:0050522:00—2:002062:00—6:0030设司机和乘务人员分别在各时间区段一开始上班，并连续工作八小时，问该公交线路至少配备多少名司机和乘务人员？从第一班开始排，试建立线性模型。分析与求解：4注意在每一时间段里上班的司机和乘务人员中，既包括在该时间段内开始时报到的人员，还包括在上一时间段工作的人员。因为每一时间段只有四个小时，而每个司乘人员却要连续工作八个小时。因此每班的人员应理解为该班次相应时间段开始时报到的人员。设ix为第i班应报到的人员（6,,2,1i），则应配备人员总数为：61iixZ按所需人数最少的要求，可得到线性模型如下：61miniixZ0,,,60302050607060..6211655443322181xxxxxxxxxxxxxxxxtsLINGO程序如下：MODEL:min=x1+x2+x3+x4+x5+x6;x1+x6=60;x1+x2=70;x2+x3=60;x3+x4=50;x4+x5=20;x5+x6=30;x1=60;END得到的解为:x1=60,x2=10,x3=50,x4=0,x5=30,x6=0;配备的司机和乘务人员最少为150人。2某地区有三个农场共用一条灌渠，每个农场的可灌溉地及分配到的最大用水量如下表：农场可灌溉地（亩）最大用水量（百立方）1400600260080033003755各农场均可种植甜菜、棉花和高粱三种作物，各种作物的用水量、净收益及国家规定的该地区各种作物种植总面积最高限额如下表：作物种类种植限额（亩）耗水量（百立方/亩）净收益（元/亩）甜菜6003400棉花5002300高粱3251100三个农场达成协议，他们的播种面积与其可灌溉面积相等，而各种农场种何种作物并无限制。问如何制定各农场种植计划才能在上述限制条件下，使本地区的三个农场的总净收益最大。分析与求解：设农场1种植的甜菜、棉花和高粱分别为131211,,xxx亩，农场2种植的甜菜、棉花和高粱分别为232221,,xxx亩，农场3种植的甜菜、棉花和高粱分别为333231,,xxx亩。设农场可耕地为300,600,400321aaa，最大用水量为,6001b,8002b3753b，甜菜、棉花和高粱的种植限额为325,500,600321ccc，耗水量为31d,22d,13d，净收益为100,300,400321eee，根据题目条件，可建立如下线性模型：3131)(maxjiijjxeZ3131313,2,13,2,13,2,1..jiijjjiijijijibxdiaxjcxtsLINGO编程如下：MODEL:SETS:place/1..3/:a,b;kind/1..3/:c,d,e;plan(place,kind):x;ENDSETSDATA:a=400,600,300;b=600,800,375;c=600,500,325;d=3,2,1;6e=400,300,100;ENDDATAmax=@sum(kind(j):e(j)*@sum(place(i):x(i,j)));@for(kind(j):@sum(place(i):x(i,j))=c(j));@for(place(i):@sum(kind(j):x(i,j))=a(i));@for(place(i):@sum(kind(j):d(j)*x(i,j))=b(i));END得到结果如下：X(1,1)=0,X(1,2)=300,X(1,3)=0X(2,1)=258.3333,X(2,2)=12.5,X(2,3)=0X(3,1)=0,X(3,2)=187.5,X(3,3)=0最大总净收益为253333.3元。对本题来说，由于数据少，可以不采用数组形式，可直接采用变量，则建立模型如下：设农场1种植的甜菜、棉花和高粱分别为111,,zyx亩，农场2种植的甜菜、棉花和高粱分别为222,,zyx亩，农场3种植的甜菜、棉花和高粱分别为333,,zyx亩。根据题目条件，可建立如下线性模型：)(100)(300)(400max321321321zzzyyyxxxZ0,,,,,,,,375238002360023300600400325500600..321321321333222111333222111321321321zzzyyyxxxzyxzyxzyxzyxzyxzyxzzzyyyxxxtsLINGO程序如下：MODEL:max=400*(x1+x2+x3)+300*(y1+y2+y3)+100*(z1+z2+z3);x1+x2+x3=600;y1+y2+y3=500;z1+z2+z3=325;x1+y1+z1=400;x2+y2+z2=600;x3+y3+z3=300;3*x1+2*y1+z1=600;73*x