索洛模型详解

2020/6/25中国矿业大学管理学院徐建博1索洛简介1956年,麻省理工学院(MIT)的教授罗伯特•索洛写了一篇有关经济均衡增长路径的文章，这篇文章第一次引入了长期经济增长模型，又被称做“新古典增长模型”（建立在凯恩斯以前的经济学家所使用的古典模型基础上的）。为此，索洛获得了1987年的诺贝尔经济学奖。索洛对经济增长考察是从资本积累开始的。索洛模型基本思路：先让劳动力和技术保持不变，然后逐步放宽假设（劳动力的变化和技术进步）研究经济增长。2020/6/25中国矿业大学管理学院徐建博2经济增长理论——索罗模型第一节资本积累一.基本假设条件（1）劳动力和技术水平保持不变。（2）两部门经济（居民和生产者）：Y=C+I。（3）生产函数规模不变Y=F（K，L）规模收益不变：λY=F（λK,λL）（4）储蓄函数S=sY，s----储蓄率,0≤s≤12020/6/25中国矿业大学管理学院徐建博3二.资本积累和稳态1.人均生产函数（供给角度）索洛生产函数为Y=F（K，L）由于规模报酬不变，λY=F（λK,λL）为简化分析：我们把上述变量都变成人均量令λ=1/L，得Y/L=F（K/L,1）用y=Y/L代表人均产出，k=K/L代表人均资本存量，得：y=F（k，1）=f（k）即人均产出只与人均资本有关。2020/6/25中国矿业大学管理学院徐建博4二.资本积累和稳态2.人均消费函数（需求角度）假设:个人可支配收入DPI即为国民收入(Y)自发消费a为零。C=a+bY=bY人均消费函数的推导由Y=C+I两边同除以L得：Y/L=C/L+I/L令C/L=c，称人均消费；I/L=i，称人均投资。y=c+i①2020/6/25中国矿业大学管理学院徐建博5由S=sY,DPI=C+S，DPI=Y得：C=(1-s)Y两边同除以L得到人均量，用小写字母代替有：c=（1-s）y代入①式得：y=（1-s）y+ii=sy该式表明投资与产出成正比。2020/6/25中国矿业大学管理学院徐建博6二.资本积累和稳态3.投资函数前面的分析得到i=sy和y=f(k)，整理得：i=sf(k)从式中可以看出：(1)人均资本k越高，产出f（k）和人均投资i就越大。(2)投资也取决于储蓄率，储蓄率越高，则在资本存量和产出水平一定的条件下，投资水平越高，但是同时消费越少。2020/6/25中国矿业大学管理学院徐建博70kyyicsf(k)f(k)产出、消费和投资的关系s1f(k)i12020/6/25中国矿业大学管理学院徐建博8二.资本积累和稳态4.折旧(1)含义:折旧是资本随着使用和时间的变化而受到的损耗和减少。为简单起见，假设一个经济中所有的资本都以一个固定的比例δ折损减少。（δ称平均折旧率）这样，如果年初资本数为k,当年折旧掉的资本数量就是δk，与k成正比。2020/6/25中国矿业大学管理学院徐建博9折旧0kδkδk2020/6/25中国矿业大学管理学院徐建博10二.资本积累和稳态5.资本积累和稳态综合以上，一个经济中投资和折旧对资本存量的影响能够用下列方程反映：Δk=i－δk=sf（k）－δk其中，Δk是这一年中新增的资本量，反映资本存量变化。当sf（k）δk，则Δk0，资本存量增加；当sf（k）δk，则Δk0，资本存量减少;当sf（k）=δk，则Δk=0，资本存量不变。2020/6/25中国矿业大学管理学院徐建博11k1k2k*i*=δk*δk*0kysf(k)投资、折旧和稳态f(k)2020/6/25中国矿业大学管理学院徐建博12说明（1）资本存量的不断增加反映了经济的增长，因为人均产出与人均资本成正比y=f(k)（2）当Δk=0时，资本存量会保持稳定不变的水平。我们称这个资本存量水平为资本存量水平的“稳定状态”，简称“稳态”，记为k*。（3）稳定状态是一个经济的长期均衡，具有一种真正的稳定性。不管经济的初始水平是什么，最后总是会达到稳定状态的资本水平。2020/6/25中国矿业大学管理学院徐建博13s2f(k)k2*i*=δk*1k1*s1f(k)0yδkk三、储蓄率变化对稳定状态影响2020/6/25中国矿业大学管理学院徐建博14三、储蓄率变化的影响1.储蓄率变化，形成新的稳态。和原来的稳态相比，储蓄率提高形成新稳态具有较高的资本存量水平和较高的产出。降低储蓄率，则结果相反。2.储蓄率对经济增长速度的影响储蓄率对一个经济稳定状态的影响，在一定程上说明了储蓄率的高低对经济增长速度的影响。(1)较高的储蓄率意味着较高的资本存量稳定状态。当一个经济的当前资本存量水平一定时，储蓄率提高就意味着与稳定状态之间存在着更大的差距，这样经济增长就会有较大的空间和速度。但这仅仅是暂时的。(2)经济在长期中只要达到它的稳态，就不会再继续增长。2020/6/25中国矿业大学管理学院徐建博15查阅资料并利用索洛经济增长模型解释：（1）我国经济最近几年增长速度都很高，会不会一直这么高下去？（2）日本和德国是两个成功的经济增长事例。二战期间摧毁了两国的大量资本存量。但是，战后的几十年中，这两个国家经历了最迅速的增长。在1948年到1972年间，日本每年人均产出为8.2%，德国的每年人均产出增长率为5.7%。相比之下，美国每年的人均产出增长率仅为2.2%。为什么战后的日本、德国的经济会得到高速的增长？2020/6/25中国矿业大学管理学院徐建博16思考题某国生产函数Y=K0.5L0.5,s=0.3,δ=10%。求：稳定状态的人均资本存量k*,人均产出y*。解答:y=k0.5sf（k）=δk,求出k*=9,y*=32020/6/25中国矿业大学管理学院徐建博17第二节资本积累的黄金律尽管高的储蓄率可带来高的经济增长速度，但高的资本数量和高产出，其实并不是一个经济所追求的目标。人们的目标是长期中的消费福利。高储蓄是以低消费为代价的。因此，选择最佳稳态，应该以高消费作为选定稳态的标准。一.假设条件1.索洛模型成立2.储蓄率s可以调整；3.目标：未来消费水平最高。讨论：多少资本积累是长期消费最优的2020/6/25中国矿业大学管理学院徐建博18一.假设条件1.索洛模型成立2.储蓄率s可以调整；3.目标：未来消费水平最高。2020/6/25中国矿业大学管理学院徐建博19二、黄金律1.含义:长期中消费水平最高的稳定状态，被称为资本积累的“黄金律”水平。2.数学表达我们知道：c=y–i假定稳定状态的人均资本为k*，则有：i*=sf（k*）=δk*由c=y－i可得,c*=f（k*）－δk*。表明：稳定状态资本水平的提高，对稳定状态的人均消费有对立的影响，它通过使产出增加提高消费，但又因为需要有更多的产出去替代折旧掉的资本而使消费减少消费最大化即求c的最大值2020/6/25中国矿业大学管理学院徐建博20三、黄金律的基本条件1.数学推导消费的最大化表现为一阶导数为0。dc/dk=df/dk–δ=0MPk-δ=0MPk=δ因此，MPk=δ就是消费最大化的基本条件，即：资本的边际产出等于折旧率。2020/6/25中国矿业大学管理学院徐建博21Cg*kg*δkf(k)k0y2.资本积累的黄金律水平2020/6/25中国矿业大学管理学院徐建博22Cg*kg*δkf(k)k0y通过储蓄率选择黄金律稳态sgf(k)2020/6/25中国矿业大学管理学院徐建博23练习题某国生产函数Y=K0.5L0.5,δ=10%。求：（1）黄金律稳态时的人均资本存量k*,人均产出y*；（2）储蓄率达到什么水平可以使资本存量达到黄金律稳态。解答:(1)y=k0.5MPK=dy/dk=1/2K-0.5.求出k=25,y=5(2)sf（k）=δk,5s=0.25,s=0.52020/6/25中国矿业大学管理学院徐建博24第三节人口增长与技术进步前面的分析表明，高储蓄能提高一个经济的稳态资本存量和产出。在原来资本水平较低时，有更多的发展空间，促进经济增长。但资本积累本身不能带来持续的经济增长。要解释一个经济的持续增长就必须扩展基本的索洛模型，即把原来没有考虑的两个因素：人口增长和技术进步引入模型。因为现实当中，一个国家的人口或技术总是在不断变化的。2020/6/25中国矿业大学管理学院徐建博25一、人口增长的影响1.基本假设：（1）索洛模型成立；（2）人口增长率为n.2.人口增长的影响假设劳动力人口以固定速率n增长,则y=Y/L，k=K/L两个变量都会随着人口增长而下降。假设下降速度为x。当总资本量不变时：K=k×L=（1-x）k×（1+n）L=（1-x+n-xn）k×L由于x、n都很小，xn则更小，可以忽略不计，因此，可得x=n也就是说，当人口以n的速度增加时，人均产出y和人均资本k均以n的速度下降。2020/6/25中国矿业大学管理学院徐建博26仍然从资本积累的角度来研究。则一年中资本的变化量（新增的资本量）为Δk=i-δk-nk=i-（δ+n）k=sf（k）-（δ+n）k2020/6/25中国矿业大学管理学院徐建博273.人口增长后稳态的变化现在，考虑了人口的变动，稳态点就会有变化。稳态时，sf（k）=（δ+n）k（δ+n）k称为“平衡投资”，即存在折旧和人口增长的情况下，新增投资必须至少等于它，才能使资本存量保持不变，达到稳态。说明：经济处于稳态时，“平衡投资”投资一部分用于对现有资本折旧的弥补δk，一部分给新劳动力提供稳态水平的资本nk。2020/6/25中国矿业大学管理学院徐建博28k*(δ+n)k有人口增长时的稳态0kysf(k)δkk02020/6/25中国矿业大学管理学院徐建博293.人口增长对索洛模型的影响人口增长的引入改变了索洛模型。从三个角度：(1)它能在一定程度上解释持续的经济增长。因为人口的增长，尽管人均资本和产出不变，导致总资本和总产出也以速度n增长。(2)人口增长率高的国家，稳态人均资本低，产出低，所以生活水平也低。(比较)(3)人口增长对黄金率稳态的影响：引进人口增长率会改变资本积累黄金律水平。稳态时:i=sf(k)=（δ+n）k*c=y-i=f（k*）-（δ+n）k*消费水平的最大化表现为一阶导数为0。MPk=δ+n即在黄金律稳态：资本的边际产量=折旧率+人口增长率2020/6/25中国矿业大学管理学院徐建博30人口增长率对稳态的影响k*2(δ+n2)kk*10ksf(k)y(δ+n1)k2020/6/25中国矿业大学管理学院徐建博31计算设某国的总量生产函数：Y=K0.5L0.5，资本存量折旧率为5%，人口增长率为1%，储蓄率为10%。求：（1）均衡时本国的人均资本存量、人均产出及人均消费水平。（2）黄金律稳态时的人均资本量和人均产出以及储蓄率水平。2020/6/25中国矿业大学管理学院徐建博32二、技术进步的影响前面的研究一直基于一个假定，即技术水平不变，在此条件下考虑资本、劳动的变化对经济增长的影响。事实上，现实中技术的发展日新月异，对劳动生产率的提高起到了积极的推动作用。所以，我们有必要把技术进步引入索洛模型。基本假设：（1）索洛模型成立；（2）人口增长率为n：（3）技术进步使劳动效率增长率为g。2020/6/25中国矿业大学管理学院徐建博331.效率工人/效率劳动力把技术进步引起的劳动生产率的提高用“E”来表示，原来L个单位的劳动力由于技术进步的作用，现在相当于L×E个劳动力，称“效率工人”或“效率劳动力”。则生产函数变为：Y=F（K，L）→→→Y=F（K，L*E）2020/6/25中国矿业大学管理学院徐建博34例子如：技术进步引起劳动生产率提高两倍，原来投入10个单位的劳动可以生产100个单位的产量，技术进步后可以生产200个单位，也就相当于在原来的技术水平下投入10*2=20个单位的劳动力。这个劳动力就称为“效率工人”。L’（效率工人）=L×E（效率）2020/6/25中国矿业大学管理学院徐建博35技术进步使E以一个固定速率g增长，由于L以n增长，所以L’以（n+g）的速率增