圆锥曲线必背法

圆锥曲线必备第1页圆锥曲线必背口诀(红字为口诀)-椭圆一、椭圆定义椭圆三定义，简称和比积.1、定义1：(和)到两定点的距离之和为定值的点的轨迹叫做椭圆.定点为焦点，定值为长轴.（定值=2a）2、定义2：(比)到定点和到定直线的距离之比为定值的点的轨迹叫做椭圆.定点为焦点，定直线为准线，定值为离心率.（定值=e）3、定义3：(积)到两定点连线的斜率之积为定值的点的轨迹是椭圆.定点为短轴顶点，定值为负值.（定值2ke1）二、椭圆的性质定理长轴短轴与焦距，形似勾股弦定理①准线方程准焦距，a方、b方除以c②通径等于2ep，切线方程用代替③焦三角形计面积，半角正切连乘b④注解：1、长轴短轴与焦距，形似勾股弦定理长轴2a，短轴2b，焦距2c，则：222abc2、准线方程准焦距，a方、b方除以c准线方程：2axc（a方除以c）准焦距p：焦点到准线的距离：2bpc（b方除以c）3、通径等于2ep，切线方程用代替椭圆的通径d：过焦点垂直于长轴的直线与椭圆的两交点之间的距圆锥曲线必备第2页离称为椭圆的通径.（通径22cb2b2acad2ep）过椭圆上00xy(,)点的切线方程，用00xy(,)等效代替椭圆方程得到.等效代替后的是切线方程是：0022xxyy1ab4、焦三角形计面积，半角正切连乘b焦三角形：以椭圆的两个焦点12FF,为顶点，另一个顶点P在椭圆上的三角形称为焦三角形.半角是指12FPF的一半.则焦三角形的面积为：2Sb2tan证明：设1PFm，2PFn，则mn2a.由余弦定理：222mn2mn4ccos22224a4bmn4b()即：22mn2mn4bcos，即：22b1mn(cos).即：2122bmnPFPF1||||cos故：12FPF1Smn2sin△2212bb211sinsincoscos又：22221222sincossintancoscos所以：椭圆的焦点三角形的面积为122FPFSb2tan.三、椭圆的相关公式切线平分焦周角，称为弦切角定理①1F2FOxyPmn圆锥曲线必备第3页切点连线求方程，极线定理须牢记②弦与中线斜率积，准线去除准焦距③细看中点弦方程，恰似弦中点轨迹④注解：1、切线平分焦周角，称为弦切角定理弦切角定理：切线平分椭圆焦周角的外角，平分双曲线的焦周角.焦周角是焦点三角形中，焦距所对应的角.弦切角是指椭圆的弦与其切线相交于椭圆上时它们的夹角，当弦为焦点弦时（过焦点的弦），那么切线是两个焦点弦的角平分线.2、切点连线求方程，极线定理须牢记若000Pxy(,)在椭圆2222xy1ab外，则过0P作椭圆的两条切线，切点为12PP,，则点0P和切点弦12PP,分别称为椭圆的极点和极线.切点弦12PP的直线方程即极线方程是0022xxyy1ab（称为极线定理）3、弦与中线斜率积，准线去除准焦距弦指椭圆内的一弦AB.中线指弦AB的中点M与原点O的连线，即OAB得中线.这两条直线的斜率的乘积，等于准线距离2caxc去除准焦距2bpc，其结果是：2ABOM2cpbkkxa4、细看中点弦方程，恰似弦中点轨迹中点弦AB的方程：在椭圆中，若弦AB的中点为00Mxy(,)，弦AB称为中点弦，则中点弦的方程就是2200002222xxyyxyabab，是直线方程.圆锥曲线必备第4页弦中点M的轨迹方程：在椭圆中，过椭圆内点000Pxy(,)的弦AB，其中点M的方程就是22002222xxyyxyabab，仍为椭圆.这两个方程有些相似，要擦亮眼睛，千万不要搞混了.圆锥曲线必背口诀(红字为口诀)-双曲线一、双曲线定义双曲线有四定义，差比交线反比例1、定义1：(差)平面内，到两个定点12FF,的距离之差的绝对值为定值2a（小于这两个定点间的距离12FF）的点的轨迹称为双曲线。定点12FF,叫双曲线的焦点。即：12PFPF2a2、定义2：(比)平面内，到给定一点及一直线的距离之比为定值e1的点的轨迹称为双曲线。定点叫双曲线的焦点，定直线叫双曲线的准线。3、定义3：(交线)一平面截一圆锥面，当截面与圆锥面的母线不平行，且与圆锥面的两个圆锥都相交时，交线称为双曲线。4、定义4：(反比例)在平面直角坐标系中，反比例函数kyx的图象称为双曲线。证明：反比例函数图象是双曲线轨迹经过旋转得到.证明：因为xyk的对称轴是yx,yx，而2222xy1ab的对称轴是x轴，y轴，所以应该旋转o45.设旋转的角度为（0，顺时针）（为双曲线渐进线的倾斜角）则有：Xxycossin，Yxysincos圆锥曲线必备第5页取o45，则：2222ooooXYx45y45x45y45cossinsincos221xyxy2xy2而xyk，所以，22XY2xy2k即：22XY12k2k(k0)或22YX12k2k()()(k0)由此证得，反比例函数其实就是双曲线的一种形式，只不过是双曲线在平面直角坐标系内的另一种摆放形式.二、双曲线的性质定理基本同椭圆，有所区别：长轴短轴与焦距，形似勾股弦定理①准线方程准焦距，a方、b方除以c②通径等于2ep，切线方程用代替③焦三角形计面积，半角余切连乘b④注解：1、长轴短轴与焦距：形似勾股弦定理长轴2a，短轴2b，焦距2c，则：222abc实际上，双曲线是实轴、虚轴、与焦距，但为了方便记忆，也不至于造成混乱，我们还是按椭圆的口诀记忆.2、准线方程准焦距，a方、b方除以c准线方程：2axc（a方除以c）准焦距p：焦点到准线的距离：2bpc（b方除以c）圆锥曲线必备第6页3、通径等于2ep，切线方程用代替双曲线的通径d：过焦点垂直于长轴的直线与双曲线的两交点之间的距离称为双曲线的通径.（通径22cb2b2acad2ep）过双曲线上000Pxy(,)点的切线方程，用000Pxy(,)等效代替双曲线方程得到，等效代替后的是切线方程是：0022xxyy1ab4、焦三角形计面积，半角余切连乘b焦三角形：以双曲线的两个焦点12FF,为顶点，另一个顶点P在椭圆上的三角形称为焦三角形.半角是指12FPF的一半.双曲线2222xy1ab的左右焦点分别为12FF,，点P为双曲线上异于顶点任意一点12FPF，则双曲线的焦点三角形满足：2122bPFPF1cos其面积为；122FPFSbco2t.证明：设21PFmPFn,，则mn2a在12FPF中，由余弦定理得：222121212PFPF2PFPFFFcos，即：222mn2mn4ccos22224a4bmn4b()即：2222mn2mnmn4bcos()即：22mn2mn4bcos，即：22bmn1(cos)即：22bmn1cos，即：2122bPFPF1cos那么，焦点三角形的面积为：圆锥曲线必备第7页12FPF1Smn2sin212b21sincos2222b22b122sincossincossin2b2cot故：122FPFSb2cot同时：12FPF12PP1SFFycy2，故：2pbyc2cot双曲线的焦点三角形的面积为：122FPFSbco2t.三、双曲线的相关公式切线平分焦周角，称为弦切角定理①切点连线求方程，极线定理须牢记②弦与中线斜率积，准线去除准焦距③细看中点弦方程，恰似弦中点轨迹④注解：1、切线平分焦周角，称为弦切角定理弦切角定理：切线平分椭圆焦周角的外角，平分双曲线的焦周角.焦周角是焦点三角形中，焦距所对应的角.弦切角是指双曲线的弦与其切线相交于双曲线上时它们的夹角，当弦为焦点弦时（过焦点的弦），那么切线是两个焦点弦的角平分线.如图，12FPF是焦点三角形，12FPF为焦周角，PT为双曲线的切线.则PT平分12FPF.1F2FPTyx圆锥曲线必备第8页2、切点连线求方程，极线定理须牢记若000Pxy(,)在双曲线2222xy1ab外，以包含焦点的区域为内，不包含焦点的区域为外，则过0P作双曲选的两条切线，切点为1P、2P，则点0P和切点弦12PP分别称为双曲线的极点和极线，切点弦12PP的直线方程即极线方程是0022xxyy1ab（称为极线定理）3、弦与中线斜率积，准线去除准焦距弦指双曲线内的一弦AB.中线指弦AB的中点M与原点O的连线，即OAB得中线.这两条直线的斜率的乘积，等于准线距离2caxc去除准焦距2bpc，其结果是：2ABOM2cpbkkxa4、细看中点弦方程，恰似弦中点轨迹中点弦AB的方程：在双曲线中，若弦AB的中点为00Mxy(,)，称弦AB为中点弦，则中点弦的方程就是：2200002222xxyyxyabab，它是直线方程.弦中点M的轨迹方程：在双曲线中，过双曲线外一点000Pxy(,)的弦AB，其AB中点M的方程就是22002222xxyyxyabab，仍为双曲线.这两个方程有些相似，要擦亮眼睛，千万不要搞混了.xy1P2P0PO1F2FOxyBAM1F2F圆锥曲线必备第9页圆锥曲线必背口诀(红字为口诀)-抛物线一、抛物线定义抛物线，有定义，定点定线等距离1、到一个定点和一条定直线距离相等得点的轨迹称为抛物线.2、二次函数的图象是抛物线.二、抛物线性质焦点准线极点线①，两臂点乘积不变②焦弦切线成直角，切点就是两端点③端点投影在准线，连结焦点垂直线④焦弦垂直极焦线⑤，切线是角平分线⑥直角梯形对角线，交点就是本原点⑦焦弦三角计面积，半个p方除正弦⑧注解：1、焦点准线极点线抛物线的焦点和准线是一对极点和极线.抛物线方程：2y2px，焦点(,)pF02，准线ppx2(抛物线的顶点(,)O00到定点(,)pF02和定直线ppx2距离相等)焦弦：过焦点的直线与抛物线相交于两点A和B，则AB称为焦弦.弦中点(,)MMMxy，ABMxxx2，ABMyyy2焦弦方程：()pykx2，k为斜率.2、两臂点乘积不变圆锥曲线必备第10页焦点三角形两边OA和OB的点乘积为定值，且夹角是钝角.证明：焦弦AB满足的条件()2y2pxpykx2()22pkx2px2()22222kpkxk2px04由韦达定理得：2ABpxx42ABABABpyy2px2px2pxx2pp2，即：2ABpxx4，2AByyp①且：2AABBABAB3OAOBxyxyxxyyp04(,)(,).故：焦点三角形两边之点乘积为定值.3、焦弦切线成直角，切点就是两端点即：焦弦两端点的切线互相垂直.证明：如图，由抛物线方程：2y2px得到导数：yyp'，即：pyy'故：AEApky，BEBpky于是：2AEBEABABpppkkyyyy将①式2AByyp代入上式得：AEBEkk1即：AEBE，故焦弦端点在准线的投影点与焦点构成直角三角形.4、端点投影在准线，连结焦点垂直线即：焦弦端点在准线的投影点与焦点构成直角三角形.ABFMCDE圆锥曲线必备第11页证明：坐标BpCy2(,),ApDy2(,)则：BCFpy(,)，ADFpy(,)于是：2ABCFDFpyy将①式2AByyp代入上式得：CFDF0故：CFDF即：焦弦端点AB,在准线的投影点DC,，则CFDF，即：焦弦端点在准线的投影点与焦点构成直角三角形.5、焦弦垂直极焦线若焦弦AB对应的极点E，则EF为极焦线，于是EFAB用向量方法可证.由于M是AB的中点，AEB为直角三角形，计算可得E是DC的中点，故：EDEFEC由向量法可证EFAB0即