圆锥曲线的切线及切点弦方程近几年,圆锥曲线考试的热点为直线与圆锥曲线相切或相交问题,直线与圆锥曲线交于两点时弦长问题或弦上某点(或中点)的轨迹问题,焦点弦问题,或弦与其它点构成的三角形、四边形面积或面积的最值等问题。点在椭圆上,直线与直线垂直,为坐标原点,直线的倾斜角为,直线的倾斜角为.证明:点是椭圆与直线的唯一交点;00(,)Pxy22221(0)xyabab2l00122:1xxyylabP2l1l00cos,sin,(0,)2xaybopO09年安徽高考试题200xxyyr。00221xxyyab复习:22200(,)xyrMxy过圆上一点的切线方程:1:220022(,)1xyPxyab设为椭圆上的点,则过该点的切线方程为:2:3:220022(,)1xyPxyab设为双曲线上的点,则过该点的切线方程为:00221xxyyab4:00(,)2Pxypx2设为抛物线y上的点,则过该点的切线方程为:00()yypxx圆锥曲线切线的几个性质性质1过椭圆(双曲线,抛物线)的准线与其长(实)轴所在直线的交点作椭圆(双曲线,抛物线)的两条切线,则切点弦长等于该椭圆(双曲线,抛物线)的通径.YXBAF2F1A2A1O1PFAB性质2过椭圆(双曲线,抛物线)的焦点F1的直线交椭圆(双曲线,抛物线)于A,B两点,过A,B两点作椭圆(双曲线,抛物线)的切线交于点P,则P点的轨迹是焦点F1的对应的准线,并且.XYPBF2F1OA例题1:如图,设抛物线的焦点为F,动点P在直线上运动,过P作抛物线C的两条切线PA、PB,且与抛物线C分别相切于A、B两点.求△APB的重心G的轨迹方程.2:xyC02:yxl解:设切点A、B坐标分别为2201110(,)(,)(()xxxxxx和∴切线AP的方程为:;02200xyxx;02211xyxx切线BP的方程为:解得P点的坐标为:1010,2xxyxxxPPPPGxxxxx310,343)(3321021010212010pPPGyxxxxxxxxxyyyy所以△APB的重心G的坐标为:由点P在直线l上运动,从而得到重心G的轨迹方程为:).24(31,02)43(22xxyxyx即所以243GGpxyy200xxyyr。00221xxyyab00221xxyyab00()yypxx圆锥曲线的切点弦方程22200(,)Pxyxyr设为圆外一点,则切点弦的方程为:◆220022(,)1xyPxyab设为椭圆外一点,过该点作椭圆的两条切线,切点为A,B则弦AB的方程为:◆220022(,)1xyPxyab过为双曲线的两支作两条切线,则切点弦方程为:◆00(,)2Pxypx2设为抛物线y开口外一点,则切点弦的方程为:◆例题2:22221(,0)xyPmabABAB对于圆锥曲线,过点,作两条切线,切点为,,求证直线恒过定点1122(,(,)AxyBxy证:设),111221xxyyAlab则过点的切线方程:YXHBAF2F1OP222221xxyyBlab则过点的切线方程:121222P11mxmxllaa因为在直线和直线上,所以和22(,0)aaABxHmm所以直线的方程为,即恒过定点例题3:22x21,4312A,BABOMNyPxy已知椭圆是在直线上一点,由向已知椭圆作两切线,切点分别为,问当直线与两坐标轴围成的三角形面积最小,最小值为多少?P00解:设点坐标为P(x,y),所以切点弦所在直线方程为:0011(,0),N(0,)x2yM所以xPABMNyO00OMN1S4xy021.yy0xxxPABMNyO004312xy又0043xy00000033,4322xyxyxy当且仅当,即,OMN13SAB41122xy此时,直线方程为M1,MA,B42M3ABQxQ22已知:x+(y-2)是轴上的动点,QA,QB分别切于两点。(1):如果AB,求直线的方程;(2):求动弦的中点的轨迹方程。421(t0)AB,33解:设Q,,的中点为N,ABMN例题4:MQABN2Q3t49t=5由射影定理M,Q50直线M的方程为2x+5y-2(2)(t0)ABtx-2(y-2)=1设Q,,则直线的方程为Q1,2yx直线M的方程为t644N222t2t交点的坐标为(,),tt464xyN222tt2tt点的参数方程为27302Nyy2点的轨迹方程为xMQABN思考题:2lyx+3Py2A,B.PABPx已知是直线:上一点,过点作抛物线的两条切线,切点分别为求面积的最小值。lPBAxy