圆锥曲线知识点归纳与解题方法技巧

1圆锥曲线解题方法技巧第一、知识储备：1.直线方程的形式（1）直线方程的形式有五件：点斜式、两点式、斜截式、截距式、一般式。（2）与直线相关的重要内容①倾斜角与斜率tan,[0,)k2121yykxx②点00(,)Pxy到直线0AxByC的距离0022AxByCdAB③夹角公式：直线111222::lykxblykxb夹角为，则2121tan1kkkk（3）弦长公式直线ykxb上两点1122(,),(,)AxyBxy间的距离①222121()()ABxxyy②2121ABkxx221212(1)[()4]kxxxx③12211AByyk（4）两条直线的位置关系（Ⅰ）111222::lykxblykxb①1212llkk=-1②212121//bbkkll且（Ⅱ）11112222:0:0lAxByClAxByC①1212120llAABB②1212211221//0llABABACAC-=0且-或111222ABCABC者（2220ABC）2两平行线距离公式1122::lykxblykxb距离122||1bbdk1122:0:0lAxByClAxByC距离1222||CCdAB2、圆锥曲线方程及性质1.圆锥曲线的两定义：第一定义中要重视“括号”内的限制条件：椭圆中，与两个定点F1，F2的距离的和等于常数2a，且此常数2a一定要大于21FF，当常数等于21FF时，轨迹是线段F1F2，当常数小于21FF时，无轨迹；双曲线中，与两定点F1，F2的距离的差的绝对值等于常数2a，且此常数2a一定要小于|F1F2|，定义中的“绝对值”与2a＜|F1F2|不可忽视。若2a＝|F1F2|，则轨迹是以F1，F2为端点的两条射线，若2a﹥|F1F2|，则轨迹不存在。若去掉定义中的绝对值则轨迹仅表示双曲线的一支。如方程2222(6)(6)8xyxy表示的曲线是_____（答：双曲线的左支）2.圆锥曲线的标准方程（标准方程是指中心（顶点）在原点，坐标轴为对称轴时的标准位置的方程）：（1）椭圆：焦点在x轴上时12222byax（0ab），焦点在y轴上时2222bxay＝1（0ab）。方程22AxByC表示椭圆的充要条件是什么？（ABC≠0，且A，B，C同号，A≠B）。椭圆的方程的形式有几种？（三种形式）标准方程：221(0,0)xymnmnmn且距离式方程：2222()()2xcyxcya参数方程：cos,sinxayb若Ryx,，且62322yx，则yx的最大值是____，22yx的最小值是___（答：5,2）（2）双曲线：焦点在x轴上：2222byax=1，焦点在y轴上：2222bxay＝1（0,0ab）。方程22AxByC表示双曲线的充要条件是什么？（ABC≠0，且A，B异号）。如设中心在坐标原点O，焦点1F、2F在坐标轴上，离心率2e的双曲线C过点3)10,4(P，则C的方程为_______（答：226xy）（3）抛物线：开口向右时22(0)ypxp，开口向左时22(0)ypxp，开口向上时22(0)xpyp，开口向下时22(0)xpyp。3.圆锥曲线焦点位置的判断（首先化成标准方程，然后再判断）：（1）椭圆：由x2,y2分母的大小决定，焦点在分母大的坐标轴上。如已知方程12122mymx表示焦点在y轴上的椭圆，则m的取值范围是__（答：)23,1()1,(）（2）双曲线：由x2,y2项系数的正负决定，焦点在系数为正的坐标轴上；（3）抛物线：焦点在一次项的坐标轴上，一次项的符号决定开口方向。提醒：在椭圆中，a最大，222abc，在双曲线中，c最大，222cab。4.圆锥曲线的几何性质：（1）椭圆（以12222byax（0ab）为例）：①范围：,axabyb；②焦点：两个焦点(,0)c；③对称性：两条对称轴0,0xy，一个对称中心（0,0），四个顶点(,0),(0,)ab，其中长轴长为2a，短轴长为2b；④准线：两条准线2axc；⑤离心率：cea，椭圆01e，e越小，椭圆越圆；e越大，椭圆越扁。如（1）若椭圆1522myx的离心率510e，则m的值是__（答：3或325）；（2）以椭圆上一点和椭圆两焦点为顶点的三角形的面积最大值为1时，则椭圆长轴的最小值为__（答：22）（2）双曲线（以22221xyab（0,0ab）为例）：①范围：xa或,xayR；②焦点：两个焦点(,0)c；③对称性：两条对称轴0,0xy，一个对称中心（0,0），两个顶点(,0)a，其中实轴长为2a，虚轴长为2b，特别地，当实轴和虚轴的长相等时，称为等轴双曲线，其方程可设为22,0xykk；④准线：两条准线2axc；⑤离心率：cea，双曲线1e，等轴双曲线2e，e越小，开口越小，e越大，开口越大；⑥两条渐近线：byxa。双曲线的方程的形式有两种标准方程：221(0)xymnmn4距离式方程：2222|()()|2xcyxcya（3）抛物线（以22(0)ypxp为例）：①范围：0,xyR；②焦点：一个焦点(,0)2p，其中p的几何意义是：焦点到准线的距离；③对称性：一条对称轴0y，没有对称中心，只有一个顶点（0,0）；④准线：一条准线2px；⑤离心率：cea，抛物线1e。如设Raa,0，则抛物线24axy的焦点坐标为________（答：)161,0(a）；5、点00(,)Pxy和椭圆12222byax（0ab）的关系：（1）点00(,)Pxy在椭圆外2200221xyab；（2）点00(,)Pxy在椭圆上220220byax＝1；（3）点00(,)Pxy在椭圆内2200221xyab6.记住焦半径公式：（1）00;xaexaey椭圆焦点在轴上时为焦点在y轴上时为，可简记为“左加右减，上加下减”。（2）0||xexa双曲线焦点在轴上时为（3）11||,||22ppxxy抛物线焦点在轴上时为焦点在y轴上时为7.椭圆和双曲线的基本量三角形你清楚吗？第二、方法储备1、点差法（中点弦问题）设11,yxA、22,yxB，baM,为椭圆13422yx的弦AB中点则有1342121yx，1342222yx；两式相减得03422212221yyxx3421212121yyyyxxxxABk=ba432、联立消元法：你会解直线与圆锥曲线的位置关系一类的问题吗？经典套路是什么？如果有两个参数怎么办？5设直线的方程，并且与曲线的方程联立，消去一个未知数，得到一个二次方程，使用判别式0，以及根与系数的关系，代入弦长公式，设曲线上的两点1122(,),(,)AxyBxy，将这两点代入曲线方程得到○1○2两个式子，然后○1-○2，整体消元······，若有两个字母未知数，则要找到它们的联系，消去一个，比如直线过焦点，则可以利用三点A、B、F共线解决之。若有向量的关系，则寻找坐标之间的关系，根与系数的关系结合消元处理。一旦设直线为ykxb，就意味着k存在。例1、已知三角形ABC的三个顶点均在椭圆805422yx上，且点A是椭圆短轴的一个端点（点A在y轴正半轴上）.（1）若三角形ABC的重心是椭圆的右焦点，试求直线BC的方程;（2）若角A为090，AD垂直BC于D，试求点D的轨迹方程.分析：第一问抓住“重心”，利用点差法及重心坐标公式可求出中点弦BC的斜率，从而写出直线BC的方程。第二问抓住角A为090可得出AB⊥AC，从而得016)(14212121yyyyxx，然后利用联立消元法及交轨法求出点D的轨迹方程；解：（1）设B（1x,1y）,C(2x,2y),BC中点为(00,yx),F(2,0)则有11620,1162022222121yxyx两式作差有016))((20))((21212121yyyyxxxx04500kyx(1)F(2,0)为三角形重心，所以由2321xx，得30x，由03421yy得20y，代入（1）得56k直线BC的方程为02856yx2)由AB⊥AC得016)(14212121yyyyxx（2）设直线BC方程为8054,22yxbkxy代入，得080510)54(222bbkxxk62215410kkbxx，222154805kbxx2222122154804,548kkbyykkyy代入（2）式得0541632922kbb，解得)(4舍b或94b直线过定点（0，)94，设D（x,y），则1494xyxy，即016329922yxy所以所求点D的轨迹方程是)4()920()916(222yyx。4、设而不求法例2、如图，已知梯形ABCD中CDAB2，点E分有向线段AC所成的比为，双曲线过C、D、E三点，且以A、B为焦点当4332时，求双曲线离心率e的取值范围。分析：本小题主要考查坐标法、定比分点坐标公式、双曲线的概念和性质，推理、运算能力和综合运用数学知识解决问题的能力。建立直角坐标系xOy，如图，若设Chc,2，代入12222byax，求得h，进而求得,,EExy再代入12222byax，建立目标函数(,,,)0fabc，整理(,)0fe，此运算量可见是难上加难.我们对h可采取设而不求的解题策略,建立目标函数(,,,)0fabc，整理(,)0fe,化繁为简.解法一：如图，以AB为垂直平分线为y轴，直线AB为x轴，建立直角坐标系xOy，则CD⊥y轴因为双曲线经过点C、D，且以A、B为焦点，由双曲线的对称性知C、D关于y轴对称依题意，记A0,c，Chc,2，E00,yx，其中||21ABc为双曲线7的半焦距，h是梯形的高，由定比分点坐标公式得122120cccx，10hy设双曲线的方程为12222byax，则离心率ace由点C、E在双曲线上，将点C、E的坐标和ace代入双曲线方程得14222bhe，①11124222bhe②由①式得14222ebh，③将③式代入②式，整理得214442e，故1312e由题设4332得，43231322e解得107e所以双曲线的离心率的取值范围为10,7分析：考虑,AEAC为焦半径,可用焦半径公式,,AEAC用,EC的横坐标表示，回避h的计算,达到设而不求的解题策略．解法二：建系同解法一，,ECAEaexACaex，22121Ecccx，又1AEAC，代入整理1312e，由题设4332得，43231322e解得107e8所以双曲线的离心率的取值范围为10,75、判别式法例3已知双曲线122:22xyC，直线l过点0,2A，斜率为k，当10k时，双曲线的上支上有且仅有一点B到直线l的距离为2，试求k的值及此时点B的坐标。分析1：解析几何是用代数方法来研究几何图形的一门学科，因此，数形结合必然是研究解析几何问题的重要手段.从“有且仅有”这个微观入手，对照草图，不难想到：过点B作与l平行的直线，必与双曲线C相切.而相切的代数表现形式是所构造方程的判别式0.由此出发，可设计如下解题思路：10)2(:kxkylkkkxy