圆锥曲线轨迹方程经典例题

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轨迹方程经典例题一、轨迹为圆的例题:1、必修2课本P124B组2:长为2a的线段的两个端点在x轴和y轴上移动,求线段AB的中点M的轨迹方程:必修2课本P124B组:已知M与两个定点(0,0),A(3,0)的距离之比为21,求点M的轨迹方程;(一般地:必修2课本P144B组2:已知点M(x,y)与两个定点21,MM的距离之比为一个常数m;讨论点M(x,y)的轨迹方程(分m=1,与m1进行讨论)2、必修2课本P122例5:线段AB的端点B的坐标是(4,3),端点A在圆1)1(22yx上运动,求AB的中点M的轨迹。(2013新课标2卷文20)在平面直角坐标系xOy中,已知圆P在x轴上截得线段长为22,在y轴上截得线段长为32。(1)求圆心的P的轨迹方程;(2)若P点到直线xy的距离为22,求圆P的方程。如图所示,已知P(4,0)是圆x2+y2=36内的一点,A、B是圆上两动点,且满足∠APB=90°,求矩形APBQ的顶点Q的轨迹方程.解:设AB的中点为R,坐标为(x,y),则在Rt△ABP中,|AR|=|PR|.又因为R是弦AB的中点,依垂径定理:在Rt△OAR中,|AR|2=|AO|2-|OR|2=36-(x2+y2)又|AR|=|PR|=22)4(yx所以有(x-4)2+y2=36-(x2+y2),即x2+y2-4x-10=0因此点R在一个圆上,而当R在此圆上运动时,Q点即在所求的轨迹上运动.设Q(x,y),R(x1,y1),因为R是PQ的中点,所以x1=20,241yyx,代入方程x2+y2-4x-10=0,得244)2()24(22xyx-10=0整理得:x2+y2=56,这就是所求的轨迹方程.在平面直角坐标系xOy中,点)3,0(A,直线42:xyl.设圆C的半径为1,圆心在l上.(1)若圆心C也在直线1xy上,过点A作圆C的切线,求切线的方程;(2)若圆C上存在点M,使MOMA2,求圆心C的横坐标a的取值范围.(2013陕西卷理20)已知动圆过定点)0,4(A,且在y轴上截得弦MN的长为8.(1)求动圆圆心的轨迹C的方程;(2)已知点)0,1(B,设不垂直于x轴的直线l与轨迹C交于不同的两点QP,,若x轴是PBQ的角平分线,证明直线l过定点。MBA二、椭圆类型:3、定义法:(选修2-1P50第3题)点M(x,y)与定点F(2,0)的距离和它到定直线8x的距离之比为21,求点M的轨迹方程.(圆锥曲线第二定义)讨论:当这个比例常数不是小于1,而是大于1,或等于1是的情形呢?(对应双曲线,抛物线)4、圆锥曲线第一定义:(选修2-1P50第2题)一个动圆与圆05622xyx外切,同时与圆091622xyx内切,求动圆的圆心轨迹方程。5、圆锥曲线第一定义:点M(00,yx)圆1F9)1(22yx上的一个动点,点2F(1,0)为定点。线段2MF的垂直平分线与1MF相交于点Q(x,y),求点Q的轨迹方程;(注意点2F(1,0)在圆内)6、其他形式:(选修2-1P50例3)设点A,B的坐标分别是(-5,0),(5,0),直线AM,BM相交于点M,且他们的斜率的乘积为94,求点M的轨迹方程:(是一个椭圆)(讨论当他们的斜率的乘积为94时可以得到双曲线)(2013新课标1卷20)已知圆:M1)1(22yx,圆:N9)1(22yx,动圆P与圆M外切并且与圆N内切,圆心P的轨迹为曲线C。(1)求C的方程;(2)l是与圆P,圆M都相切的一条直线,l与曲线C交于BA,两点,当圆P的半径最长时,求AB(2013陕西卷文20)已知动点),(yxM到直线4:xl的距离是它到点)0,1(N的距离的2倍。(1)求动点M的轨迹C的方程(2)过点)3,0(P的直线m与轨迹C交于BA,两点,若A是PB的中点,求直线m的斜率。QF1F2MMF1F2三、双曲线类型:8、圆锥曲线第一定义:点M(00,yx)圆1F1)1(22yx上的一个动点,点2F(1,0)为定点。线段2MF的垂直平分线与1MF相交于点Q(x,y),求点Q的轨迹方程;(注意点2F(1,0)在圆外)定义法:(选修2-1P59例5)点M(x,y)与定点F(5,0)的距离和它到定直线516x的距离之比为45,求点M的轨迹方程.(圆锥曲线第二定义)四、抛物线类型:10、定义法:(选修2-1)点M(x,y)与定点F(2,0)的距离和它到定直线2x的距离相等,求点M的轨迹方程。(或:点M(x,y)与定点F(2,0)的距离比它到定直线3x的距离小1,求点M的轨迹方程。)(2013陕西卷文20)已知动点),(yxM到直线4:xl的距离是它到点)0,1(N的距离的2倍。(1)求动点M的轨迹C的方程(2)过点)3,0(P的直线m与轨迹C交于BA,两点,若A是PB的中点,求直线m的斜率已知三点(0,0)O,(2,1)A,(2,1)B,曲线C上任意一点(,)Mxy满足||()2MAMBOMOAOB。(1)求曲线C的方程;)在直角坐标系xOy中,曲线C1的点均在C2:(x-5)2+y2=9外,且对C1上任意一点M,M到直线x=﹣2的距离等于该点与圆C2上点的距离的最小值.(Ⅰ)求曲线C1的方程;(湖北)设A是单位圆x2+y2=1上的任意一点,i是过点A与x轴垂直的直线,D是直线i与x轴的交点,点M在直线l上,且满足丨DM丨=m丨DA丨(m0,且m≠1)。当点A在圆上运动时,记点M的轨迹为曲线C。(I)求曲线C的方程,判断曲线C为何种圆锥曲线,并求焦点坐标;QF1F2M(辽宁)如图,椭圆0C:22221(0xyabab,a,b为常数),动圆22211:Cxyt,1bta。点12,AA分别为0C的左,右顶点,1C与0C相交于A,B,C,D四点。(Ⅰ)求直线1AA与直线2AB交点M的轨迹方程;(四川)如图,动点M到两定点(1,0)A、(2,0)B构成MAB,且2MBAMAB,设动点M的轨迹为C。(Ⅰ)求轨迹C的方程;(Ⅱ)设直线2yxm与y轴交于点P,与轨迹C相交于点QR、,且||||PQPR,求||||PRPQ的取值范围。1.(★★★★)已知椭圆的焦点是F1、F2,P是椭圆上的一个动点,如果延长F1P到Q,使得|PQ|=|PF2|,那么动点Q的轨迹是()A.圆B.椭圆C.双曲线的一支D.抛物线2.(★★★★)设A1、A2是椭圆4922yx=1的长轴两个端点,P1、P2是垂直于A1A2的弦的端点,则直线A1P1与A2P2交点的轨迹方程为()A.14922yxB.14922xyC.14922yxD.14922xy二、填空题3.(★★★★)△ABC中,A为动点,B、C为定点,B(-2a,0),C(2a,0),且满足条件sinC-sinB=21sinA,则动点A的轨迹方程为_________.4.(★★★★)高为5m和3m的两根旗杆竖在水平地面上,且相距10m,如果把两旗杆底部的坐标分别确定为A(-5,0)、B(5,0),则地面观测两旗杆顶端仰角相等的点的轨迹方程是_________.三、解答题5.(★★★★)已知A、B、C是直线l上的三点,且|AB|=|BC|=6,⊙O′切直线l于点A,又过B、C作⊙O′异于l的两切线,设这两切线交于点P,求点P的轨迹方程.6.(★★★★)双曲线2222byax=1的实轴为A1A2,点P是双曲线上的一个动点,引A1Q⊥A1P,A2Q⊥A2P,A1Q与A2Q的交点为Q,求Q点的轨迹方程.8.(★★★★★)已知椭圆2222byax=1(a>b>0),点P为其上一点,F1、F2为椭圆的焦点,∠F1PF2的外角平分线为l,点F2关于l的对称点为Q,F2Q交l于点R.(1)当P点在椭圆上运动时,求R形成的轨迹方程;(2)设点R形成的曲线为C,直线l:y=k(x+2a)与曲线C相交于A、B两点,当△AOB的面积取得最大值时,求k的值.一、1.解析:∵|PF1|+|PF2|=2a,|PQ|=|PF2|,∴|PF1|+|PF2|=|PF1|+|PQ|=2a,即|F1Q|=2a,∴动点Q到定点F1的距离等于定长2a,故动点Q的轨迹是圆.2.解析:设交点P(x,y),A1(-3,0),A2(3,0),P1(x0,y0),P2(x0,-y0)∵A1、P1、P共线,∴300xyxxyy∵A2、P2、P共线,∴300xyxxyy解得x0=149,149,3,92220200yxyxxyyx即代入得二、3.解析:由sinC-sinB=21sinA,得c-b=21a,∴应为双曲线一支,且实轴长为2a,故方程为)4(1316162222axayax.答案:)4(1316162222axayax4.解析:设P(x,y),依题意有2222)5(3)5(5yxyx,化简得P点轨迹方程为4x2+4y2-85x+100=0.答案:4x2+4y2-85x+100=0三、5.解:设过B、C异于l的两切线分别切⊙O′于D、E两点,两切线交于点P.由切线的性质知:|BA|=|BD|,|PD|=|PE|,|CA|=|CE|,故|PB|+|PC|=|BD|+|PD|+|PC|=|BA|+|PE|+|PC|=|BA|+|CE|=|AB|+|CA|=6+12=18>6=|BC|,故由椭圆定义知,点P的轨迹是以B、C为两焦点的椭圆,以l所在的直线为x轴,以BC的中点为原点,建立坐标系,可求得动点P的轨迹方程为728122yx=1(y≠0)6.解:设P(x0,y0)(x≠±a),Q(x,y).∵A1(-a,0),A2(a,0).由条件yaxyaxxxaxyaxyaxyaxy220000000)(11得而点P(x0,y0)在双曲线上,∴b2x02-a2y02=a2b2.即b2(-x2)-a2(yax22)2=a2b2化简得Q点的轨迹方程为:a2x2-b2y2=a4(x≠±a).8.解:(1)∵点F2关于l的对称点为Q,连接PQ,∴∠F2PR=∠QPR,|F2R|=|QR|,|PQ|=|PF2|又因为l为∠F1PF2外角的平分线,故点F1、P、Q在同一直线上,设存在R(x0,y0),Q(x1,y1),F1(-c,0),F2(c,0).|F1Q|=|F2P|+|PQ|=|F1P|+|PF2|=2a,则(x1+c)2+y12=(2a)2.又221010yycxx得x1=2x0-c,y1=2y0.∴(2x0)2+(2y0)2=(2a)2,∴x02+y02=a2.故R的轨迹方程为:x2+y2=a2(y≠0)(2)如右图,∵S△AOB=21|OA|·|OB|·sinAOB=22asinAOB当∠AOB=90°时,S△AOB最大值为21a2.此时弦心距|OC|=21|2|kak.在Rt△AOC中,∠AOC=45°,.33,2245cos1|2|||||2kkaakOAOC专题一:求曲线的轨迹方程课前自主练习:1.如图1,ABC中,已知(2,0)B,(2,0)C,点A在x轴上方运动,且tantan2BC,则顶点A的轨迹方程是.2.如图2,若圆C:22(1)36xy上的动点M与点(1,0)B连线BM的垂直平分线交CM于点G,则G的轨迹方程是.3.如图3,已知点(3,0)A,点P在圆221xy上运动,AOP的平分线交AP于Q,则Q的轨迹方程是.4.与双曲线2222xy有共同的渐近线,且经过点(2,2)的双曲线方程为.5.如图4,垂直于y轴的直线与y轴及抛物线22(1)yx分别交于点A、P,点B在y轴上,且点A满足||AB2||OA,则线段PB的中点Q的轨迹方程是.几种常见求轨迹方程的方法:1.直接法:由题设所给(或通过分析图形的几何性质而得出)的动点所满足的几何条件列出等式,再用坐标代替这等式,化简得曲线的方程,这种方法叫直
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