与圆有关的最值问题

与圆有关的最值问题一、距离问题1、求已知圆上点到定点的距离P•M•C•点P与圆C都是确定的，M是圆上动点，PM何时最小，何时最大？P•M•C•A•B•分析：设PC连线与圆交于A、B，当M在A位置时，PM最小；在B位置时PB最大(1)PA=PC-AC=PC-MCPM(2)∠PMB∠AMB=90°,所以∠PMB∠PBM所以PBPM例1、已知x,y满足：(𝒙−𝟒)𝟐+(𝒚−𝟑)𝟐=𝟏,求𝒙𝟐+𝒚𝟐的最大最小值xyo分析：(x,y)是圆上的点,𝒙𝟐+𝒚𝟐是点到原点的距离的平方，圆心(4,3)到原点距离为5，所以(𝒙𝟐+𝒚𝟐)min=𝟒𝟐=𝟏𝟔(𝒙𝟐+𝒚𝟐)min=𝟔𝟐=362、圆上动点到定直线的距离M•C•LM是圆C上动点，什么时候M到L距离最大或最小？M•C•LA•B•分析：过圆心作L的垂线交圆于A、B，则M在A(B)位置时到L距离最小(大)M到L的距离等于过M与L平行的直线与L的距离例2、圆𝒙𝟐+𝒚𝟐−𝟒𝒙−𝟒𝒚+𝟕=𝟎上的点到直线𝒙+𝒚−𝟐=𝟎的距离的取值范围是________xyo解：化为标准方程(𝒙−𝟐)𝟐+(𝒚−𝟐)𝟐=𝟏圆心(2,2)到直线距离为𝟐所以圆上点到直线距离的取值范围是[𝟐−𝟏,𝟐+𝟏]xyo例3、从点P(−𝟏,𝒎)引圆C：(𝒙−𝟐)𝟐+𝒚𝟐=𝟐的切线,当切线长最短时，求m的值-1P•C分析：切线长𝟐=PC𝟐−𝒓𝟐因为r是定值。所以PC最小时，切线最短所以PC⊥直线x=-1时，PC最短，从而切线最短，此时m=03、其他举例P•C•已知圆C内一定点P，过P的所有弦中，那一条最短设圆心到弦的距离为d,则弦长=𝟐𝒓𝟐−𝒅𝟐上式中,r是定值,所以d最大时，弦最短，即P为弦的中点时例:已知直线L:𝒎+𝟏𝒙+𝒚−𝟐𝒎−𝟑=𝟎,圆C:(𝒙−𝟐)𝟐+𝒚𝟐=𝟒(1)求证:L与圆C一定相交(2)设L与圆C交于A、B，求AB最小值(3)求ΔCAB面积的最大值