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第44节解答题专练五（7分）（解直角三角形的应用）第十一章解答题1.如图，有一段斜坡BC长为10米，坡角∠CBD=12°，为方便残疾人的轮椅车通行，现准备把坡角降为5°．（1）求坡高CD；（2）求斜坡新起点A到原起点B的距离（精确到0.1米）．（参考数据：sin12°≈0.21，cos12°≈0.98，tan5°≈0.09）答：坡高2.1米，斜坡新起点与原起点的距离约为13.5米.2．（2016黄石）如图，为测量一座山峰CF的高度，将此山的某侧山坡划分为AB和BC两段，每一段山坡近似是“直”的，测得坡长AB=800米，BC=200米，坡角∠BAF=30°，∠CBE=45°．（1）求AB段山坡的高度EF；（2）求山峰的高度CF．（1.414，CF结果精确到米）【分析】（1）作BH⊥AF于H，如图，在Rt△ABF中根据正弦的定义可计算出BH的长，从而得到EF的长；（2）先在Rt△CBE中利用∠CBE的正弦计算出CE，然后计算CE和EF的和即可．【解答】解：（1）作BH⊥AF于H，如图，在Rt△ABF中，∵sin∠BAH=，∴BH=800•sin30°=400，∴EF=BH=400m；（2）在Rt△CBE中，∵sin∠CBE=，∴CE=200•sin45°=100≈141.4，∴CF=CE+EF=141.4+400≈541（m）．答：AB段山坡高度为400米，山CF的高度约为541米．3.如图，小强在江南岸选定建筑物A，并在江北岸的B处观察，此时，视线与江岸BE所成的夹角是30°，小强沿江岸BE向东走了500m，到C处，再观察A，此时视线AC与江岸所成的夹角∠ACE=60°．根据小强提供的信息，你能测出江宽吗？若能，写出求解过程（结果可保留根号）；若不能，请说明理由．【分析】先过A作AD⊥BE于D，再根据30°和60°判断出∠BAC也是30°，所以AC=BC=500m，在Rt△ADC中，因为∠ACD=60°，所以∠CAD=30°，所以AC=2CD，因此可以求出江宽．【解答】解：能．过点A作BE的垂线，垂足为D，∵∠CBA=30°，∠ECA=60°，∴∠CAB=30°，∴CB=CA=500m，在Rt△ACD中，∠ECA=60°，∴∠CAD=30°，∴CD=CA=250m．由勾股定理得：AD2+2502=5002，解得AD=250m，则河流宽度为250m．4.如图，一旗杆直立于平地上，其高为AB，当阳光与地面成30°时，旗杆的影子BC的长为6米；当阳光与地面成45°时，旗杆的影子BD，求DC的长．（精确到0.1m，参考数据：≈1.414，≈1.732）【分析】本题在Rt△ABC和Rt△ABD中，利用三角函数关系，求得BD，BC的长，从而求得CD的长．【解答】解：在Rt△ABC中，∵tan∠ACB=，∴AB=BCtan∠ACB=6tan30°=6×=（米）在Rt△ABD中，∵tan∠ADB=，∴BD=（米）∴DC=BC-BD=6-≈6-2×1.732≈2.5（米）答：DC的长约为2.5米．5.《中华人民共和国道路交通管理条理》规定：“小汽车在城市街道上的行驶速度不得超过70千米/时．”如图所示，已知测速站M到公路l的距离MN为30米，一辆小汽车在公路l上由东向西行驶，测得此车从点A行驶到点B所用的时间为2秒，并测得∠AMN=60°，∠BMN=30°．计算此车从A到B的平均速度为每秒多少米（结果保留两个有效数字），并判断此车是否超过限速．（参考数据：≈1.732，≈1.414）【分析】根据题意需求AB长．由已知易知AB=BM，解直角三角形MNB求出BM即AB，再求速度，与限制速度比较得结论．注意单位．【解答】解：在Rt△AMN中，AN=MN×tan∠AMN=MN×tan60°=30×=30．在Rt△BMN中，BN=MN×tan∠BMN=MN×tan30°=30×＝10．∴AB=AN-BN=30-10=20．则A到B的平均速度为：∵70千米/时=米/秒≈19米/秒＞17米/秒，∴此车没有超过限速．6.如图，热气球的探测器显示，从热气球看一栋高楼顶部的仰角为60°，看这栋高楼底部的俯角为30°，热气球与高楼的水平距离为60m，这栋高楼有多高？（结果精确到0.1m，参考数据：＝1.73）【分析】作AD⊥BC于D，由俯仰角得出∠ADB、∠CAD的值，则由AD的长及俯仰角的正切值得出BD、CD的长，BC的长即可求出．【解答】解：如图，过点A作AD⊥BC，垂足为D．根据题意，可得∠BAD=60°，∠CAD=30°，AD=60在Rt△ADB中，BD=AD×tan60°=60，在Rt△ADC中，CD=AD×tan30°=20，∴BC=CD+BD=60+20=80≈138.6（m）.答：这栋楼高约为138.6m．7.如图，A、B两地之间有一座山，汽车原来从A地到B地须经C地沿折线A-C-B行驶，现开通隧道后，汽车直接沿直线AB行驶，已知AC=12km，BC=9km，∠A=30°，隧道开通后，汽车从A地到B地比原来少走多少路程？（结果保留整数）（参考数据：≈1.73，≈2.24）【分析】过点C作AB的垂线CD，垂足为D，在直角△ACD和直角△CBD中，解直角三角形求出CD，和AD，再利用勾股定理求出BD，进而求出汽车从A地到B地比原来少走多少路程．【解答】解：过点C作AB的垂线CD，∵∠A=30°，AC=12km，∴AD=AC•cos30°=∴CD=AC•sin30°=12×=6（km），在Rt△BCD中，BC=9（km），∴BD=∴AB=AD+BD=≈6×1.73+3×2.24≈17.10km∴汽车从A地到B地比原来少走的路程为：AC+BC-AB=12+9-17.10≈4（km）．答：汽车从A地到B地比原来少走约4km的路程．8．（2016绍兴）如图1，某社会实践活动小组实地测量两岸互相平行的一段河的宽度，在河的南岸边点A处，测得河的北岸边点B在其北偏东45°方向，然后向西走60m到达C点，测得点B在点C的北偏东60°方向，如图2．（1）求∠CBA的度数；（2）求出这段河的宽（结果精确到1m，备用数据≈1.41，≈1.73）．【分析】（1）根据三角形的外角的性质、结合题意计算即可；（2）作BD⊥CA交CA的延长线于D，设BD=xm，根据正切的定义用x表示出CD、AD，根据题意列出方程，解方程即可．【解答】解：（1）由题意得，∠BAD=45°，∠BCA=30°，∴∠CBA=∠BAD﹣∠BCA=15°；（2）作BD⊥CA交CA的延长线于D，设BD=xm，∵∠BCA=30°，∴CD==x.∵∠BAD=45°，∴AD=BD=x，则x﹣x=60，解得x=≈82.答：这段河的宽约为82m．谢谢观看！