重积分论文

《高等数学II》精品课程建设之二——重积分姓名：党文慧指导老师：林麦麦(西北师范大学物理与电子工程学院，甘肃兰州730070)摘要：高等数学讨论的重积分主要包括二重积分和三重积分两部分，引起二重积分概念的过程是测量曲顶柱体体积的过程的反映，三重积分概念是作为二重积分概念的推广而引出的，但事实上三重积分也是某些具体现实过程的反映。重积分在各种知识领域中的应用非常广阔，我们将在理论力学，材料力学，水力学及其她一些工程学科中碰到它们。重积分主要用来解决实际问题，在本文中，首先我总结一下学习中遇到的重积分的应用，比如求空间立体的体积，空间物体的质量及其在几何和物理方面的应用，并借以实例加以说明。其次，谈谈我个人对学习重积分的一些建议和想法。关键词：重积分；曲面面积；重心；转动惯量；引力；应用.TheapplicationofHeavyintegralDANGwen-huiLINMai-mai(CollegeofPhysicsandElectronicEngineering,NorthwestNormalUniversity,Lanzhou730070,Gansu,China)Abstract:Thediscussionofthehighermathematicsincludesmultipleintegraldoubleintegralandtripleintegral,thecauseoftheconceptofdoubleintegralprocessisthevolumeofthecylindermeasuringsongtopreflectionoftheprocess.Thetripleintegralconceptisintroedastheconceptofdoubleintegralpopularization,while,infact,thetripleintegralisalsosomespecificreflectionofrealityprocess.Heavyintegraliswidelyusedinallkindsofknowledge,wewillmeettheminthetheoreticalmechanics,mechanics,materialsandsomeotherengineeringdiscipline.Heavyintegralismainlyusedtosolvepracticalproblems,inthisarticle.First，Iencounteredinthestudysummarizedtheapplication,suchasheavypointsforthree-dimensionalvolume,spaceobjectsinthequalityandtheapplicationsofgeometryandphysics,andsomeexamplestoillustrate.Then，saysomethingaboutmysuggestionsandopinionsforthestudyofHeavyintegral.Keywords:Heavyintegral;Surfacearea;Gravity;Inertia;Gravity;Application.在高等数学中，重积分是多元函数积分学的内容，在一元函数积分学中我们知道定积分是某种确定形式的和的极限。这种和的概念推广到定义在区域、曲线及曲面上多元函数的情形，便得到重积分、曲线积分及曲面积分的概念。高等数学讨论的重积分主要包括二重积分和三重积分两部分，引起二重积分概念的过程是测量曲顶柱体体积的过程的反映，三重积分概念是作为二重积分概念的推广而引出的，但事实上三重积分也是某些具体现实过程的反映。在本章中将介绍重积分的概念、计算法以及它们的一些应用。重积分在各种知识领域中的应用非常广阔，我们将在理论力学，材料力学，水力学及其她一些工程学科中碰到它们。文章中我分为两个部分来谈重积分,第一部分主要归纳了重积分的应用，对于重积分的学习,要求主要掌握重积分的计算和应用，会用重积分的思想解决实际问题，然而计算又涵盖在具体应用中。因此学习重积分要从它的应用着手。第二部分谈了谈自己对学习重积分的一些建议和想法。主要从学习重积分的思想和计算方法两方面来谈。I.重积分的应用归纳如下:1.1曲面的面积设曲面的方程为，yxfz,在xoy面上的投影为xyD，函数yxf,在D上具有连续偏导数，则曲面的面积为：DyxDdyxfyxfdxdyyfxfA,,112222若曲面的方程为，zygx,在yoz面上的投影为yzD，则曲面的面积为：DzyDdzyfzyfdydzzgygA,,112222若曲面的方程为，xzhy,在zox面上的投影为zxD，则曲面的面积为：DxzDdxzfxzfdzdxxhzhA,,112222例1：计算双曲抛物面xyz被柱面222Ryx所截出的面积A。解：曲面在xoy面上投影为222:RyxD,则DyxdxdyzzA221即有:322222200211113RDAxydxdydrrdrR从而被柱面222Ryx所截出的面积A如上所示。例2:求半径为a的球的表面积.解:取上半球面方程为222yxaz,则它在xoy面上的投影区域222,ayxyxD.又由,222yxaxxz,222yxayyz得.122222yxaayzxz因为这函数在闭区域D上无界,我们不能直接应用曲面面积公式,所以先取区域abbyxyxD0,2221为积分区域,算出相应于1D的球面面积1A后,令ab取1A的极限就得半球面的面积.1,2221DdxdyyxaaA利用极坐标,得bDaddaddaaA022202211于是.22limlim2221abaaaAabab这就是半个球面的面积,因此整个球面的面积为.42aA1.2质量1.2.1平面薄片的质量若平面薄片占有平面闭区域D，面密度为yx,，则它的质量为Ddyxm,，其中dyxdm,称为质量元素.1.2.2物体的质量若物体占有空间闭区域，体密度为zyx,,，则它的质量为Ddvzyxm,,例3：由螺线2，与直线2，围成一平面薄片D，它的面密度为22yx，求它的质量。yox解：如图所示，DDdddxdyyxdxdym20202224051445205204d1.3质心1.3.1平面薄片的质心若平面若平面薄片占有平面比区域D，面密度为yx,，则它的质心坐标为：DDdyxymydyxxmx,1,1，其中m为平面薄片的质量.1.3.2物体的质心若物体占有空间闭区域，体密度为zyx,,，则它的质心坐标为：DDDdvzyxmzdvzyxmydvzyxmx,,1,,1,,1，其中m为物体的质量.例4：求位于两球面42222zyx，和11222zyx之间的均匀物体的质心.解：由对称性可知，质心必须位于z轴上，故0,0yx由公式ddzdzmz1由面常数，不妨设1，则的体积d，328134-23433zddz20cos61120cossin120cos16cos4cossin412cossin41sincos20620544420cos4cos22042020cos4cos2220ddddddd所以71532820z，从而质心坐标为715,0,0。例5:求位于两圆sin2和sin4之间的均匀薄片的质心。解：如图所示：因为闭区域D对称于轴y轴，所以质心yxC,，必位于y轴上，于是0x。再按公式DydAy1计算y，由于闭区域D位于半径为1和半径为2的两圆之间，所以它的面积等于这两圆面积之差，即3A。再利用极坐标计算积分yDox因此,3737y所以质心是37,0C。1.4转动惯量1.4.1平面薄片的转动惯量若平面薄片占有平面闭区域D，面密度为yx,，则它对轴,轴以及对原点的转动惯量分别为:dyxIdxIdyIDDoyDx2222,,1.4.2物体的转动惯量若物体占有空间闭区域，体密度为zyx,,，则它对轴,轴以及对原点的转动惯量分别为:4sin22402sin056sinsinsin73DDydddddddzyxIdyxIdxzIdyxIozyx222222222,,,例6：求半径为a的均匀半圆薄片对其直径的转动惯量。y解:建立坐标系如图所示:0:222yayxDox221241sinsin00432232DDaxadrrddrdrdxdyyI又半圈薄片的质量221aM.412MaIx.例7：求均匀球体对于过球心的一条轴l的转动惯量。解:取球心为原点,z轴为l轴,设球所占域为,:2222azyx则.3452132252sinsincossincossin200032543222222222aaMMaadrrddddrdrrrdxdydzyxI1.5引力1.5.1平面薄片对质点的引力若平面若平面薄片占有平面比区域D，面密度为yx,，质量为m的质点位于00,yx，设薄片对质点的引力为yxFFF,，则DxdrxxGmF30,DydryyGmF30其中2020yyxxr,G为引力常数.1.5.2物体对质点的引力若物体占有空间闭区域，体密度为zyx,,，质量为m的质点位于000,,zyx，设薄片对质点的引力为zyxFFFF,,，则drxxGmFox3dryyGmFoy3drzzGmFoz3其中202020zzyyxxr,G为引力常数.例8：求一高R，底面半径为R的密度均匀的正圆锥对其顶点处的单位质点的引力。解:以圆锥的顶点为原点,对称轴为z轴建立直角坐标系,此时圆锥的方程为Rzyx22，设密度为，所求zyxFFFF,,用微元法讨论，在圆锥任意一点zyx,,处取微元d，则此小块质量为d，它对原点处单位质点引力为：rrdGrrrdGFd321，其中.,,,222zyxrzyxr由对称性可知0yxFF，cosFddFz因为rzcos，所以drzGdFz3，从而drzGFz3RGGdRGdzGdRzzzddGdzddzzGRRRRR