决策模型

概率统计模型决策模型决策是人们在生活和工作中普遍存在的一种活动，是为解决当前或未来可能发生的问题，选择最佳方案的一种过程。比如，某人决定要到某地出差，而天气预报可能有寒流，考虑出差是否要带棉大衣，带上棉大衣无寒流是个累赘，若不带又可能遇上寒流而挨冻，到底带不带？这就要他作出决策;又如生产某种产品的工厂，若对此种产品的市场需求不是很了解，生产的数量太小，影响企业收入，生产的数量太大，又势必造成产品积压，影响资金周转，给企业造成损失，到底生产多少为宜？这就需要有关人员通过市场调查后作出决策。所以，小到个人生活，大至企业经营以及国家的政治经济问题，都需要决策。•一、展销会选址问题：•某公司为扩大市场，要举办一个产品展销•会，会址打算选择甲、乙、丙三地，获利•情况除了与会址有关外，还与天气有关，•天气分为晴、阴、多雨三种，据天气预报，•估计三种天气情况可能发生概率为0.2，0.5，0.3，其收益情况见表4—2，现要通过分析，确定会址，使收益最大。表4—2天气情况N1（晴）N2（阴）N3（多雨）自然状态收益值概率选址方案P1=0.20P2=0.50P3=0.30A1（甲地）461A2（乙地）541.5A3（丙地）621.2•在决策问题中，把面临的几种自然情况称为自•然状态或客观条件，简称为状态或条件，如N1，N2，N3，这些是不可控因素，把A1，A2，A3称为行动方案或策略，这些是可控因素，至于选择哪个方案由决策者决定。表4—2中右下方的数字4，6，1，5，4，1.5，6，2，1.2称为益损值，根据这些数字的含义不同，有时也称为效益值或风险值，由它们构成的矩阵•称为决策的益损矩阵或风险矩阵，表4—2•中的P1，P2，P3是各状态出现的概率。2.1265.145164M•一般地，如果决策问题的可控因素，即行动方案用Ai（i=1~m）表示，状态用Nj（j=1~n）表示，在Nj状态下•采用Ai行动方案的益损值用aij表示，Nj状态下的概率用Pj（j=1~n）表示，可得到决策矩阵（或称益损矩阵）•的一般结构，如表4—3所示。表4—3N1N2…Nj…Nn状态益损值概率方案P1P2…Pj…PnA1…Ai…Ama11a12…a1j…a1n………………ai1ai2…aij…ain………………am1am2…amj…amn•二、风险决策问题当n1，且各种自然状态出现的概率可通过某种途径获得时的决策问题，就是风阶决策问题。如例4.1就是风险决策问题，对于这类问题，我们介绍两种决策准则和相应的解决方法。1.最大可能准则由概率论知识，一个事件的概率就是该事件在一次试验中发生的可能性大小，概率越大，事件发生的可能性就越大。基于这种思想，在风险决策中我们选择一种发生概率最大的自然状态来进行决策，而不顾及其他自然状态的决策方法，这就是最大可能准则。这个准则的实质是将风险型决策问题转化为确定型决策问题的一种决策方法。),,2,1(nipi若对例4.1按最大可能准则进行决策，则因为自然状态出现的概率最大，因此就在这种自然状态下进行决策，通过比较可知，采取行动方案获利最大。因此，采用方案是最优决策。应该指出，如果各自然状态的概率较接近时，一般不使用这种决策准则。2.期望值准则（决策树法）如果把每个行动方案看作随机变量，在每个自然状态下的效益值看作随机变量的取值，其概率为自然状态出现的概率，则期望值准则就是将每个行动方案的数学期望计算出来，视其决策目标的情况选择最优行动方案。2N50.02p1A1A若对例4.1按期望值准则进行决策，则需要计算各行动方案的期望收益，事实上显然，最大，所以采取行动方案最佳，即选择甲地举办展销会效益最大。值得提出的是，为了形象直观地反映决策问题未来发展的可能性和可能结果所作的预测而采用的决策树法就是按期望值准则进行决策的一种方案。以例4.1来说明其决策步骤。56.23.02.15.022.06)(45.33.05.15.042.05)(1.43.015.062.04)(321AEAEAE1AE1A例4.1的决策树如图4－1所示，其中：□——表示决策点，从它引出的分枝叫方案分枝，其数目就是方案数○——表示机会节点，从它引出的分支叫概率分支，每条概率分支代表一种自然状态，并标有相应状态发生的概率。△——称为末稍节点，右边数字表示各方案在不同自然状态下的益损值。计算各机会节的期望值，并将结果标在节点止方，再比较各机会节点上标值的大小，进行决策，在淘汰方案分枝上标“＋＋”号，余下方案即为最优方案，最优方案的期望值标在决策点的上方。本例上方标4.1为最大，因此选定方案，其收益数值的期望4.1。4.1丙地多雨P（N3）=0.1△+1.2阴P（N2）=0.5△+2晴P（N1）=0.2△+6多雨P（N3）=0.1△+1.5阴P（N2）=0.5△+4晴P（N1）=0.2△+5多雨P（N3）=0.1△+1阴P（N2）=0.5△+6晴P（N1）=0.2△+4乙地甲地3.452.564.1决策A1aA111111aaAA1A2aA111111aaAA1A3aA111111aaAA1•投资决策•问题的提出投资决策问题：为了生产某种产品，设计了两个基建方案，一是建大厂，二是建小厂，大厂需要投资300万元，小厂需要投资160万元，两者的使用期都是10年。估计在此期间，产品销路好的可能性是0.7，销路差的可能性是0.3，若销路好，建大厂每年收益100万元，建小厂每年收益40万元；若销路差，建大厂每年损失20万元，建小厂每年收益10万元（详见表3—1），试问应建大厂还是建小厂？进一步的，将投资分为前三年和后七年两期考虑，根据市场预测，前三年销路好的概率为0.7，而如果前•三年的销路好，则后七年销路好的概率为0.9，•如果前三年的销路差，则后七年的销路肯定差，•在这种情况下，建大厂和建小厂哪个方案好？自然状态益损值概率方案销路好0.7销路差0.3建大厂100-20建小厂4010•图4—1决策树注意：决策问题的目标如果是效益（如利润、投资、回报等）应取期望值的最大值，如果决策目标是费用的支出或损失，则应取期望值的最小值。（2）多级决策问题下面以投资决策问题为例，说明决策方法。（a）画决策树（图4—2）（b）计算各点的益损期望值：点2：[0.7×100+0.3×(-20)]×10(年)-300（大厂投资）=340万元点3：[0.7×40+0.3×10]×10(年)-160（小厂投资）=150万元由此可见，建大厂的方案是合理的。•现在考虑一种情况：假定对投资决策问题分为前三年和后七年两期•考虑。根据市场预测，前三年销路好的概率为•0.7，而如果前三年销路好，则后七年销路好的概率为0.9，如果前三年销路差，则后七年的销路肯定差，在这种情况下，建大厂和建小厂那个方案好？（a）画出决策树如下（图4—3）图4—3决策树•（b）计算各点的益损期望值点4：[0.9×100+0.1×(—20)]×7(年)=616万元点5：1.0×(—20)×7(年)=—140万元点2：0.7×100×3(年)+0.7×616+0.3×(—20)×3(年)+0.3×(—140)—300(大厂投资)=281.2点6：[0.9×40+0.1×10]×7(年)=259点7：1.0×10×7(年)=70点3：0.7×40×3(年)+0.7×259+0.3×10×3(年)+0.3×70—160(小厂投资)=135.3通过比较，建大厂仍然是合理方案。上例只包括一个决策点，称为单级决策问题。在有此实际问题中将包括两个或两个以上的决策点，称为多级决策问题，可利用同样的思路进行决策。例4.2某工程采正常速度施工，若无坏天气的影响，可确保在30天内按期完成工程，但据天气预报，15天后肯定变坏，有40%的可能出现阴雨天气，但这不会影响工程进度;有50%的可能遇到小风暴而使工期推迟15天;另有10%的可能遇到大风暴而使工期推迟20天。对于以上可能出现的情况，考虑两种方案：（1）提前加班，确保工程在15天内完成，实施此方案需增加额外支付18000元。（2）先维持原定的施工进度，等到15天后根据实际出现的天气状况再作对策：a）若遇阴雨天，则维持正常进度，不必支付额外费用。b）若遇小风暴，则有下述两个供选方案：一是抽空（风暴过后）施工，支付工程延期损失费20000元，二是采用应急措施，实施此措施可能有三种结果：有50%的可能减少误工期1天，支付延期损失费和应急费用24000元;的可能减少误工期2天，支付延期损失费和应急费用18000元;有20%的可能减少误工期3天支付延期损失费和应急费用12000元。3）若遇大风暴，则仍然有两个方案可供选择：一是抽空进行施工，支付工程的延期损失费50000元;二是采取应急措施，实施此措施可能有三种结果：有70%的可能减少误工期2天，支付延期损失费及应急费用54000元;有20%可能减小误工期3天，支付延期损失费及应急费用46000元;有10%的可能减少误工期4天，支付延期损失费及应急费用38000元。试进行决策，选择最佳行动方案。解（1）据题意画出决策树，如图4－4。A正常速度B小风暴CE0－18000－12000－18000－24000－20000DF－54000－46000－38000－50000－50000－19800－19800－14900减少误工3天(0.2)减少误工4天(0.1)减少误工2天(0.7)减少误工1天(0.5)减少误工2天(0.3)减少误工3天(0.2)阴雨（0.4）（0.5）（0.1）-50800提前加班应急抽空施工抽空施工应急大风暴－14900（2）计算第一级机会点E,F的损失费用期望值将19800和50800标在相应的机会点上，然后在第一级决策点C,D外分别进行方案比较：首先考察C点，其应急措施支付额外费用的期望值较少，故它为最佳方案，同时划去抽空施工的方案分枝，再在C上方标明最佳方案期望损失费用19800元;再考虑D外的情况，应急措施比抽空施工支付的额外费用的期望值少，故划去应急措施分标，在D上方标上50000元。50800380001.0460002.0540007.0)(19800120002.0180003.0240005.0)(FEEE（3）计算第二级机会点B的损失费用期望值将其标在B的上方，在第二级决策点A处进行比较，发现正常进度方案为最佳方案，故划去提前加班的方案分枝，并将14900标在A点上方。因此，合理的决策应是开始以正常施工进度进行施工，15天后再根据具体情况作进一步决策，若出现阴雨天，则维持正常速度;若出现小风暴可采用应急措施;若出现大风暴，则进行抽空施工。14900500001.0198005.004.0)(BE•三、不确定型决策当风险决策问题的自然状态发生的概率既不知道、也无法预先估计或利用历史资料得到时的决策问题就称为不确定型决策问题。仍用，表示决策问题中的自然状态，表示行动方案，表示在自然状态下采取第种行动方的益损值。若为效益值时取正值;若为损失值时取负值。下面介绍几不确定型的决策则。1.乐观准则乐观准则的思想就是对客观情况总是持乐观态度，事事都合人意，即选最大效益的最大值所对应的行动方案作为决策。12,,,nNNNmAAA,,,21ijajNiijaijaijjiaxmaxma2.悲观准则悲观准则的思想就是对客观情况总是持悲观态度，万事都不会如意，即总是把事情的结果估计的很不利，因此就在最坏的情况下找一个较好的行动方案。也就是在每个状态下的最小效益值中选最大值所对应的行动方案作为决策。3.等可能准则等可能准则的思想就是既然不能断定哪种自然状态出的可能性的大小，就认为各自然状态出现的可能性相同，即。然后按风险决策的方法进行决策。njnNpj,,2,1,1)()min(maxijjia例4.3某厂有一种新产品，其推销策略有三种可供选择，但各方案所需资金、时间都不同，加上市场情况的差别，因而获利和亏损情况不同，而市场情况