导数的应用――应用题

60解；设箱底边长为xcm，箱子容积为V=x2h例1在边长为60cm的正方形铁皮的四角切去相等的正方形，再把它的边沿虚线折起，做成一个无盖的方底箱子，箱底边长为多少时，箱子容积最大？最大容积是多少？箱高260xh2x)(60x2xxV´=60x－3x²/2令V´=0，得x=40,x=0(舍去)当x过小（接近于0）或过大(接近于60)时，V→0,即箱子容积很小。答；当x=40时,容积最大为1600060)x(040，极值x(0,60)内有唯一0在xV/求最大（最小）值应用题的一般方法1、审题引量2、建立函数关系式3、注明定义域4、纯数学问题求最值5、作答注：在实际问题中，如果函数f(x)在某区间内只有一个x0使f´(x0)=0,而且从实际问题本身又可以知道函数在这点有极大(小)值，那么不与端点比较，f(x0)就是所求的最大值或最小值.(所说区间的也适用于开区间或无穷区间)时使用材料最省2πV当半径为R3hR例2：要生产一批带盖的圆柱形铁桶，要求每个铁桶的容积为定值V，怎样设计桶的底面半径才能使材料最省？此时高与底面半径比为多少？法1：解：设桶底面半径为R,2RπV则桶高为hhR2πR2πS(R)桶的用料为2hπRV2又22πRVR2πR2πS(R)0)(R0)(RR2V2πR2RVRV2πR23232222πV3RV2πR33224πVπV此时：h1:2V2ππ4VR:h3答：均值不等式hR例2：要生产一批带盖的圆柱形铁桶，要求每个铁桶的容积为定值V，怎样设计桶的底面半径才能使材料最省？此时高与底面半径比为多少？法2：解：设桶底面半径为R,2RπV则桶高为hhR2πR2πS(R)桶的用料为2hπRV2又22πRVR2πR2πS(R)0)(R0)(RR2V2πR222/R2V4πRS3/2πV0得：R令S3/2πVR0有唯一的极值0上，SR点时S有最小值2πVR3利用导数求最值法1；间接引量αRRrh圆锥高h的半径r,法1：设圆锥容器的底hπr31V2222hRr)hhπ(R31V22R)h(0πh31hπR3132R330得：hπhπR31V22/R33R)上有唯一极值点hV在(0,R时V有唯一极值33hR是V有最大值33hR36R93R此时r222πrαRR2πrαπ362αRR圆锥高h容器的底的半径r,2：设扇形圆心角α,法rhhπr31V22πrαR2παRr22rRh22)2παR(R22α4π2πRhπr31V222222α4π2πR4πRαπ312π)α(022223α4π24παR0α4π24π)3αα(8πRV222323/π362得α362唯一极值点α在(0,2π)上V有π时V有唯一极值，362απ时V最大362α导数求最值hπr31V222223α4π24παR(0,2π)完成法3：利用均值不等式)α(4παα24πRV222223)2α(8παα2124πR2222233223)38π(2124πR成立)时π362即α2α8π(当且仅当α222)α(4πα21α2124πRV222223凑例3：(利润问题)已知某商品生产成本C与产量q的函数关系式为C=100+4q,价格p与产量q的函数关系式为求产量q为何值时,利润L最大。.8125qp费用总和最小？驶时能使行驶每千米的行元，问此轮以何种速度关的费用是每小时96度无小时6元，而其他与速10km时燃料费是每已知在速度为每小时的速度的立方成正比，它轮船在航行中燃料费和例4；(行程问题)一84时，L最大.qqp例3分析：收入R2q8125qq)81q(25CR利润L4q)(100)q81(25q210021qq812200)q(0(0,200)84对称轴q84时，L最大.q答：费用总和最小？驶时能使行驶每千米的行元，问此轮以何种速度关的费用是每小时96度无小时6元，而其他与速10km时燃料费是每已知在速度为每小时的速度的立方成正比，它轮船在航行中燃料费和例4；(行程问题)一元燃料费为Q，总费用y0),设：航速为x(x3kx则Q310k由65003k3x5003Qx196)x5003(总费用：y30)(xx96x50032200得：xx96-x2503y2/20求得唯一的极值点x它是最小值，20时，y有唯一极值x答：最省？(2)x为何值时运费数y(元)表示成x的函(1)将每吨货物运费修一条公路沿CD直线D距离为xkm,修一货物转运站，设AD处为节约运费，在铁路的3,:的货物运价为5，公路与铁路每吨千米的B处向工厂提供原料由铁路上离CA为20km,工厂，工厂与铁路的距处有一个m的铁路线AB旁的C例5：在长为100k100ADBC20价分别为：路每吨行千米的货物运(1)解；设公路与铁5k,3k(元)x.100DBx,AD10020CADB2220xCD5k400x3kx)(100每吨货物运费y2100)x(0400x22x5k3k(2)y2/0k400x400x35x2215得x15唯一极值点x(0,100)时y有x它是最小值15时y有唯一极值，x答：