导数的应用习题课

导数的知识点一、知识点1．导数应用的知识网络结构图：2．基本思想与基本方法：①数形转化思想：从几何直观入手，理解函数单调性与其导数的关系，由导数的几何意义直观地探讨出用求导的方法去研究，解决有导数函数的极值与最值问题。这体现了数学研究中理论与实践的辩证关系，具有较大的实践意义。②求有导数函数y=f(x)单调区间的步骤：i）求f′(x)；ii）解不等式f′(x)＞0（或f′(x)＜0）；iii）确认并指出递增区间（或递减区间）。③证明有导数函数y=f(x)在区间(a，b)内的单调性：i）求f′(x)；ii）解不等式f′(x)＞0（或f′(x)＜0）；iii）确认f′(x)在(a，b)内的符号；iv）作出判断。注意：1.在利用导数讨论函数的单调区间时,首先要确定函数的定义域,解决问题的过程中,只能在函数的定义域内,通过讨论导数的符号来判断函数的单调区间.2.在对函数划分单调区间时,除了必须确定使导数等于零的点外,还要注意在定义域内的不连续点和不可导点.3.注意在某一区间内()0只是函数f(x)在该区间上为增(减)函数的充分不必要条件.)(xf4.利用求导的方法可以证明不等式,首先要根据题意构造函数,再判断所设函数的单调性,利用单调性的定义,证明要证的不等式.当函数的单调区间与函数的定义域相同时,我们也可用求导的方法求函数的值域.5.若函数f(x)在开区间(a,b)上具有单调性.则当函数f(x)时在闭区间[a,b]上连续,那么单调区间可以扩大到闭区间[a,b]上.④求有导数的函数y=f（x）的极值的步骤：i）求导数f′(x)；ii）求方程f′(x)=0的全部实根；iii）检查f′(x)在方程f′(x)=0的根左右两侧的值的符号，如果左正右负，那么f（x）在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f（x）在这个根处取得极小值。⑤设y=f（x）在[a，b]上有定义，在(a，b)内有导数，求f（x）在[a，b]上的最大值和最小值的步骤：i）求f（x）在（a，b）内的极值；ii）将f（x）的各极值与f（a）、f（b）比较，确定f（x）的最大值与最小值。求函数的最值时,应注意以下几点:(1)函数的极值是在局部范围内讨论问题,是一个局部概念,而函数的最值是对整个定义域而言,是在整体范围内讨论问题,是一个整体性的概念.(2)闭区间[a,b]上的连续函数一定有最值.开区间(a,b)内的可导函数不一定有最值,但若有唯一的极值,则此极值必是函数的最值.(3)函数在其定义域上的最大值与最小值至多各有一个,而函数的极值则可能不止一个,也可能没有极值,并且极大值(极小值)不一定就是最大值(最小值),但除端点外在区间内部的最大值(或最小值),则一定是极大值(或极小值).(4)如果函数不在闭区间[a,b]上可导,则在确定函数的最值时,不仅比较该函数各导数为零的点与端点处的值,还要比较函数在定义域内各不可导的点处的值.(5)在解决实际应用问题中,如果函数在区间内只有一个极值点(这样的函数称为单峰函数),那么要根据实际意义判定是最大值还是最小值即可,不必再与端点的函数值进行比较.二、例题选讲例1:讨论函数的单调性.|1||1|)(xxxxxf解:函数的定义域为).,1()1,0()0,(当x0或x1时,.)1(12211)(2xxxxxxxxxf.)1(12)(22xxxxf故当x0时,;当x1时,0)(xf.0)(xf当0x1时,,)1(12)(,)1(122)(222xxxxfxxxxxf故当0x1/2时,;当1/2x1时,.0)(xf0)(xf因此,函数在(-∞,0)和(1/2,1)上是增函数,而在(0,1/2)和(1,+∞)上是减函数.例2:已知函数f(x)=ax3+bx2,曲线y=f(x)过点P(-1,2),且在点P处的切线恰好与直线x-3y=0垂直.(1)求a、b的值；(2)若f(x)在区间[m,m+1]上单调递增,求m的取值范围.解:(1),23)(2bxaxxf由题意得:.3132323)1(2)1(bababaff(2),解得x0或x-2.0)2(363)(2xxxxxf故f(x)的单调递增为(-∞,-2]和[0,+∞).).,0[]1,[]2,(]1,[mmmm或即m+1≤-2或m≥0,故m≤-3或m≥0.练习1:已知函数f(x)=x3-3ax+b(a0)的极大值为6,极小值为2.(1)试确定常数a、b的值;(2)求函数的单调递增区间.答案:(1)a=1,b=4.(2)单调递增区间为(-∞,-1)和(1,+∞).例3:试问:曲线y=x6/3上哪一点的法线在y轴上截距最小?(所谓法线是指:过曲线上一点与以此点为切点的切线垂直的直线).解:在已知曲线上任取一点(x,x6/3),则过该点的切线的斜率为,从而法线的斜率为52xyk.215x故法线方程为).(213156xXxxY令X=0,得法线在y轴上的截距:.21346xxY则.)1(22251055xxxxY令,得.10xY当x-1时,,则Y单调减小;当-1x0时,,则Y单调增加;当0x1时,,则Y单调减小;当x1时,,则Y单调增加.0Y0Y0Y0Y故当时,Y有最小值5/6,此时点为所求.1x)31,1(练习2:已知函数f(x)=x3+ax2+bx+c在x=-2/3与x=1处都取得极值.(1)求a、b的值;(2)若x∈[-1,2]时,不等式f(x)c2恒成立,求c的取值范围.答案:(1)a=-1/2,b=-2.(2)利用f(x)maxc2,解得c-1或c2.练习3:若函数f(x)=x3+bx2+cx在(-∞,0]及[2,+∞)上都是增函数,而在(0,2)上是减函数,求此函数在[-1,4]上的值域.答:由已知得可求得c=0,b=-3,从而f(x)=x3-3x2.又f(-1)=f(2)=-4,f(0)=0,f(4)=16,所以函数f(x)在[-1,4]上的值域是[-4,16].,0)2()0(ffxy例4:如图,在二次函数f(x)=4x-x2的图象与x轴所围成的图形中有一个内接矩形ABCD,求这个矩形的最大面积.解:设B(x,0)(0x2),则A(x,4x-x2).从而|AB|=4x-x2,|BC|=2(2-x).故矩形ABCD的面积为:S(x)=|AB||BC|=2x3-12x2+16x(0x2)..16246)(2xxxS令,得.3322,33220)(21xxxS),2,0(1x所以当时,.9332)(3322maxxSx因此当点B为时,矩形的最大面积是)0,2322(.9332例5:已知x,y为正实数,且x2-2x+4y2=0,求xy的最大值.解:由x2-2x+4y2=0得:(x-1)2+4y2=1.设,由x,y为正实数得:sin21,cos1yx.0.sin)cos1(21xy.sin)cos1(21)(f设).21)(cos1(cos]cos)cos1(sin[21)(2f令,得又0)(f;21cos,1cos.3,0,又f(0)=f(π)=0,833)3(f.833)]([maxf故当时,43,23yx.833)(maxxy例6:证明不等式:).0()1(321)1(211ln32xxxxx证:设).0()1(32)1(211ln)(32xxxxxxf则,12)1()1(2)1(11)(2322xxxxxxxxf令,结合x0得x=1.0)(xf而0x1时,;x1时,,所以x=1是f(x)的极小值点.0)(xf0)(xf所以当x=1时,f(x)取最小值f(1)=1.从而当x0时,f(x)≥1恒成立,即:成立.2)1(211lnxxx3)1(321x三、小结四、作业1.要充分掌握导数应用的基本思想与基本方法.2.要认识导数应用的本质,强化应用意识.3.认真梳理知识,夯实基础,善于利用等价转化,数形结合等数学思想方法,发展延拓,定能不断提高解题的灵活性和变通性.p.257~258课后强化训练.例2:已知f(x)=x2+c,且f[f(x)]=f(x2+1)(1)设g(x)=f[f(x)],求g(x)的解析式.(2)设,试问:是否存在实数,使在(-∞,-1)内为减函数,且在(-1,0)内是增函数.)()()(xfxgx)(x说明:此题为p.248第15题.解:(1)由已知得f[f(x)]=f(x2+c)=(x2+c)2+c,f(x2+1)=(x2+1)2+c;由f[f(x)]=f(x2+1)得:(x2+c)2+c=(x2+1)2+c,即(x2+c)2=(x2+1)2,故c=1.所以f(x)=x2+1.从而g(x)=f[f(x)]=f(x2+1)=(x2+1)2+1=x4+2x2+2.(2)).2()2()()()(24xxxfxgx若满足条件的存在,则.)2(24)(3xxx由函数在(-∞,-1)内为减函数知,当x-1时,即对于恒成立.)(x,0)(x)1,(0)2(243xxx.44)2(2,44;4)2(2,122xxxxx而又函数在(-1,0)内为增函数知,当-1x0时,即对于恒成立.)(x,0)(x)0,1(0)2(243xxx.44)2(2,044,01,4)2(222xxx故当时,在(-∞,-1)内为减函数,且在(-1,0)内是增函数,即满足条件的存在.4)(x另解:由已知的单调性知:(-∞,-1)内,(-1,0)内又在点x=-1处连续,故点x=-1是极小值点.0)(xf0)(xf)(x.40)1(例5:如图宽为a的走廊与另一走廊垂直相连,如果长为8a的细杆能水平地通过拐角,问另一走廊的宽度至少是多少?aABC8a解:设细杆与另一走廊一边夹角为又设另一走廊的宽为y.),20(θy.cos8,cosaaBCaAB).20(cossin8sin)(aaBCy.coscos8coscossincos8)(2222aaaaay令.321cos81cos03y由于y(θ)只有一个极小值,所以它是最小值,这时.33ay故另一走廊的宽度至少是.33a