中考数学专题训练1：相似三角形的证明与计算

1中考数学专题训练1：相似三角形的证明与计算【基本结论】1.两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例.2.三角形相似的判定：(1)如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似.(2)如果一个三角形的两边与另一个三角形的两边对应成比例，且夹角相等，那么这两个三角形相似.(3)三边成比例的两个三角形相似。3.相似形的性质：相似三角形对应线段之比等于相似比；周长之比等于相似比；面积之比等于相似比的平方。【基础练习】1.三角形的三条高线相交于点H，找出图中所有的相似三角形.2.如图，BD、CE是△ABC的高，求证：△AED∽△ACB.3.如图，等边△ABC中，P为BC上一点，D为AC上一点，且∠APD=600,BP=1,CD=2/3,求△ABC的边长.4.三角形的三条中线相交于点O，求证：BO=2OE.5.在△ABC中，D是BC边上一点，E是AC边上一点．且满足AD＝AB，∠ADE＝∠C．求证：(1)∠DEC=∠B；(2)AB2＝AE•AC．6.△ABC内接于⊙O，AD是△ABC的边BC上的高，AE是⊙O的直径，连接BE，求证：△ABE∽△ADC．【拓展提高】7.如图，△ABC与△CDE都是等边三角形，AD、BE分别与AC、CE交于点F、G，AD、BE交于点H．求证：(1)BE=AD；(2)AF·FC=BF·FH．8.△ABC中，D是AB上的点，E是AC上的点，延长ED与射线CB交于点F．若AE∶EC=1∶2，AD∶BD=3∶2．求FB∶FC的值．9.AB∥CD，AD、BC交于点E，过E作EF∥AB，交BD于F，求证：111ABCDEF+=.231DCABPEABDCHGFEDCBAFCABDECFEABD210.如图，M为线段AB的中点，AE与BD交于点C，∠DME＝∠A＝∠B＝α，且DM交AC于F，ME交BC于G．(1)写出图中三对相似三角形，并证明其中的一对；(2)连结FG，如果α＝45°，AB＝42，AF＝3，求FG的长．11.如图，已知AB是O⊙的直径，过点O作弦BC的平行线，交过点A的切线AP于点P，连结AC．(1)求证：ABCPOA△∽△；(2)若2OB，72OP，求BC的长．12.如图，⊙O中，弦ABCD、相交于AB的中点E，连接AD并延长至点F，使DFAD，连接BC、BF．(1)求证：CBEAFB△∽△；(2)当58BEFB时，求CBAD的值13．在△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4．O为BC边上一点，以O为圆心，OB为半径作半圆与BC边和AB边分别交于点D、点E，连结DE．过点E作半圆O的切线，当切线与AC边相交时，设交点为F．求证：△FAE是等腰三角形．14.已知，延长BC到D，使．取的中点，连结交于点．(1)求的值；(2)若，求的长．15.如图1，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于点D，点O是AC边上一点，连接BO交AD于F，OE⊥OB交BC边于点E．(1)求证：△ABF∽△COE；(2)当O为AC边中点，2ACAB=时，如图2，求OFOE;(3)当O为AC边中点，ACnAB=时，请直接写出OFOE的值．ABC△CDBCABFFDACEAEACABaFBEC，ACBBAACOEDDECOF图1图2F316.如图，已知抛物线y＝34x2＋bx＋c与坐标轴交于A、B、C三点，A点的坐标为(－1，0)，过点C的直线y＝34tx－3与x轴交于点Q，点P是线段BC上的一个动点，过P作PH⊥OB于点H．若PB＝5t，且0＜t＜1．(1)填空：点C的坐标是_____，b＝_____，c＝_____；(2)求线段QH的长(用含t的式子表示)；(3)依点P的变化，是否存在t的值，使以P、H、Q为顶点的三角形与△COQ相似？若存在，求出所有t的值；若不存在，说明理由．17.已知，如图1，过点E(0，-1)作平行于x轴的直线l，抛物线214yx上的两点AB、的横坐标分别为1和4，直线AB交y轴于点F，过点A、B分别作直线l的垂线，垂足分别为点C、D，连接CF、DF．(1)求点A、B、F的坐标；(2)求证：CF⊥DF；(3)点P是抛物线214yx对称轴右侧图象上的一动点，过点P作PQ⊥PO交x轴于点Q，是否存在点P使得△OPQ与△CDF相似？若存在，请求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．18.如图，已知二次函数的ABxyOQHPC22)(mkmxy4图象与轴相交于两个不同的点、，与轴的交点为．设的外接圆的圆心为点．(1)求与轴的另一个交点D的坐标；(2)如果恰好为的直径，且的面积等于，求和的值．19.如图，A、P、B、C是⊙O上的四点，∠APC=∠BPC=60，AB与PC交于Q点．(1)判断△ABC的形状，并证明你的结论；(2)求证：；(3)若∠ABP=15，△ABC的面积为4，求PC的长．20.如图，AB是⊙O的直径，过点A作⊙O的切线并在其上取一点C，连接OC交⊙O于点D，BD的延长线交AC于E，连接AD．(1)求证：△CDE∽△CAD；(2)若AB=2，AC=2，求AE的长．21.已知，如图，直线l经过A(2，0)和B(0，4)两点，它与抛物线2axy在第一象限内相交于点C，又知△AOC的面积为2，(1)求直线AB的函数关系式和a的值.(2)在y轴上有点P，使由P、C、B三点组成的三角形与△AOB相似，求点P的坐标.(3)在y轴上有一点Q，使△COQ是以OC为底边的等腰三角形，求Q点的坐标；x1(0)Ax，2(0)Bx，yCABC△PP⊙yABP⊙ABC△5mkQBAQPBAP3QPCBAO5【巩固练习】1.阴影部分是一个正方形，求其边长.2、ABCD是边长为4的正方形，DEFG是矩形，A在EF上，DG=5，求DE的长.3、已知CD是Rt△ABC斜边AB上的高，求证：22ACBC=ADDB.4.四边形ABCD、DEFG都是正方形，连接AE、CG，AE与CG相交于点M，CG与AD相交于点N．求证：(1)AE=CG；(2)AN·DN=CN·MN．5.如图,已知DE∥BC,CD和BE相交于O,若S△DOE︰S△COB=9︰16,求AD︰DB.6、如图，SADE=0.5SABC,且∠1=∠B,求DE︰BC.7.已知：如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，以AB上的点O为圆心，OB的长为半径的圆与AB交于点E，与AC切于点D．(1)求证：∠ADE＝∠ABD；(2)设AD＝2，AE＝1，求⊙O直径的长．8.Rt△ABC中，有3个内接正方形，DF=9，GK=6，求PQ.9.如图，DF∥EG∥BC，AD＝DE＝EB，且把△ABC分成三部分，求这三部分的面积之比S1∶S2∶S3．DCBANMGFEDCBAOEABCD1ABCDEABCDEORPQOGKLDFCBA