二次函数知识点巩固

二次函数勤为径教育2020/6/25知识点1二次函数定义的应用•常考题型：通过二次函数的定义计算相应的变量技巧总结：（1）熟练掌握二次函数的一般式𝑦=𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐，其中二次项系数𝑎≠0；（2）通过二次函数的定义可知：①二次函数的解析式必须是整式，②二次项的系数必须不等于0（𝑎≠0），③二次函数中可以没有一次项和常数项；（3）熟练掌握a、b、c的作用。知识点1二次函数定义的应用•常考题型：通过二次函数的定义计算相应的变量例题精讲：•1、（2011•红桥区一模）已知抛物线y=ax2-3x+a2-1经过坐标原点，且开口向下，则实数a的值为_______.•2、已知二次函数𝑦=𝑚𝑥𝑚2+𝑚的图象是开口向下的抛物线，m=______.•3、反比例函数y=2xm的图象在第一、三象限，则抛物线y=mx2+m的图象开口方向________（填“向上”或“向下”）．•4、若𝑦=𝑚2−3𝑚𝑥𝑚2−2𝑚−1是二次函数，则m=______.•5、已知函数y=（m+2）xm（m+1）是二次函数，则m=______.•6、（2011•化州市二模）抛物线𝑦=𝑎𝑥𝑎2−𝑎开口向下，则a=___.•7、已知：抛物线y=kx2+2（k+1）x+k+1开口向下，且与x轴有两个交点，则k的取值范围是（）A．-1＜k＜0B．k＜0C．k＜-1D．k＞-1-1-2向下-11-1A知识点2二次函数图像与系数之间的关系•常考题型：根据图像判断正负技巧总结：（1）通过二次项系数a判断抛物线的开口方向与开口的大小（𝑎0，抛物线开口向上；𝑎0，抛物线开头向下）（|𝑎|越大，抛物线开口越小；|𝑎|越小，抛物线开口越大）；（2）通过二次项系数a与一次项系数b共同作用开看抛物线的对称轴的位置（左同右异）；（3）通过常数项c来判断抛物线与Y轴的交点位置（抛物线与Y轴的交点坐标为0,𝑐：𝑐0，交点位于Y轴的正半轴；𝑐=0，抛物线过原点；𝑐0，交点位于Y轴的负半轴）；（4）𝑎+𝑏+𝑐的正负通过𝑥=1时所对应的函数值𝑦=𝑎+𝑏+𝑐的正负来判断；（5）𝑎−𝑏+𝑐的正负通过𝑥=−1时所对应的函数值𝑦=𝑎−𝑏+𝑐的正负来判断；知识点2二次函数图像与系数之间的关系•常考题型：根据图像判断正负技巧总结：（6）4𝑎+2𝑏+𝑐的正负通过𝑥=2时所对应的函数值𝑦=4𝑎+2𝑏+𝑐的正负来判断；（7）𝑏2−4𝑎𝑐的正负通过抛物线与X轴的交点个数来判断（若抛物线与X轴有两个交点，则𝑏2−4𝑎𝑐0；若抛物线与X轴有一个交点，则𝑏2−4𝑎𝑐=0；若抛物线与X轴没有交点，则𝑏2−4𝑎𝑐0）；（8）判断二次项系数a与一次项系数b的关系式时，则通过抛物线的对称轴来判断；（9）判断二次项系数a与常数项c的关系式时。则通过抛物线与X轴的交点𝑥1,𝑥2的乘积𝑥1×𝑥2=𝑐𝑎来判断。知识点2二次函数图像与系数之间的关系•常考题型：根据图像判断正负例题精讲：•1、已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列结论：①abc＞0；②2a+b＜0；③a+c＞0；④4a+2b+c与4a-2b+c都是负数，其中结论正确的序号是_____。•2、已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，有下列4个结论：①abc＞0；②b＜a+c；③4a+2b+c＞0；④b2-4ac＞0；其中正确的结论有______。②③③④知识点2二次函数图像与系数之间的关系•常考题型：根据图像判断正负例题精讲：•3、已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，有下列结论：①b2-4ac＞0；②abc＞0；③8a+c＞0；④9a+3b+c＜0．其中，正确结论的个数是_______个．•4、已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，有下列结论：①ac＞0；②b＜0；③b2-4ac＞0；④9a+3b+c＜0．其中，正确结论的是______．（只填序号）4②③④知识点2二次函数图像与系数之间的关系•常考题型：根据图像判断正负例题精讲：•5、已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列结论：①c＜0，②abc＞0，③a-b+c＞0，④2a-3b=0，⑤c-4b＞0．其中正确结论的个数是_______个．•6、已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，有下列4个结论：①abc＜0；②b＞a+c；③2a-b=0；④b2-4ac＜0．其中正确的结论有______个．42知识点2二次函数图像与系数之间的关系•常考题型：根据图像判断正负例题精讲：•7、已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，有下列四个结论：①b＜0；②b2-4ac＞0；③4a-2b+c＞0；④a-b+c＜0．其中正确结论的序号有_______。（写出所有正确结论的序号）•8、（2013•六合区一模）已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则下列结论：①c=2；②b2-4ac＜0；③当x=1时，y的最小值为a+b+c中，正确的有______。①②③①知识点2二次函数图像与系数之间的关系•常考题型：根据图像判断正负例题精讲：•9、已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列结论：①abc＞0；②2a+b＜0；③4a-2b+c＜0．正确序号为_____。•10、已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，下列结论：①a+b+c＜0；②a-b+c＞0；③abc＞0；④b=2a．其中正确的是_________。②③①②③④知识点2二次函数图像与系数之间的关系•常考题型：根据图像判断正负例题精讲：•11、已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则下列5个结论：①abc＜0；②a+c＞b；③4a+2b+c＞0；④c＞-2a；⑤a+b＞am2+bm（m≠1）．其中正确的结论有_________。（填序号）•12、（2013•咸宁模拟）已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，有下列5个结论：①abc＞0；②b＜a+c；③4a+2b+c＞0；④2c＜3b；⑤a+b＞m（am+b），（m≠1的实数）．其中正确的结论有_______.（填序号）①③④⑤③④⑤知识点2二次函数图像与系数之间的关系•常考题型：根据图像判断正负例题精讲：•13、（2013•德阳）已知二次函数的y=ax2+bx+c（a≠0）图象如图所示，有下列5个结论：①abc＜0；②b＜a+c；③4a+2b+c＞0；④2c＜3b；⑤a+b＜m（am+b）（m≠1的实数），其中正确结论的序号是______。•14、已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，有下列5个结论：①abc＞0；②b＜a+c；③4a+2b+c＞0；④2c＜3b；⑤a-b＞m（am+b），（m≠-1的实数）其中正确的结论有_______。①③④①②⑤知识点3二次函数的对称轴、顶点与最值•常考题型：求解二次函数的对称轴、顶点坐标与最值技巧总结：（1）二次函数𝑦=𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐的对称轴表达式为𝑥=−𝑏2𝑎；（2）会用配方法将二次函数𝑦=𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐转换为其顶点式𝑦=𝑎𝑥+𝑏2𝑎2+4𝑎𝑐−𝑏24𝑎，从而得到二次函数的顶点坐标为−𝑏2𝑎,4𝑎𝑐−𝑏24𝑎；（3）顶点坐标的纵坐标4𝑎𝑐−𝑏24𝑎就是二次函数的最值，当𝑎0时，𝑥=−𝑏2𝑎时二次函数存在最小值为4𝑎𝑐−𝑏24𝑎；当𝑎0时，𝑥=−𝑏2𝑎时二次函数存在最大值为4𝑎𝑐−𝑏24𝑎；（4）二次函数𝑦=𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐与Y轴的交点坐标为0,𝑐，其中c必须是一般式对应的常数项；知识点3二次函数的对称轴、顶点与最值•常考题型：求解二次函数的对称轴、顶点坐标与最值技巧总结：（5）用配方法将二次函数𝑦=𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐转换为其顶点式𝑦=𝑎𝑥+𝑏2𝑎2+4𝑎𝑐−𝑏24𝑎：2----yaxbxc一般式2axbxc2baxxca22222bbbaxxcaaa22224bbaxcaa2224bbaxcaa224---24bacbaxaa顶点式知识点3二次函数的对称轴、顶点与最值•常考题型：求解二次函数的对称轴、顶点坐标与最值例题精讲：•1、二次函数y=x2-4x+6的顶点坐标是顶点______，对称轴是对称轴直线_________，最小值是____.•2、已知二次函数y=x2-2x-3（1）指出它的对称轴__________、顶点坐标_________．（2）x取______时，y有最小值，最小值是_________.•3、已知二次函数𝑦=12𝑥2+2𝑥−52（1）求出抛物线的顶点坐标、对称轴、最小值；（2）求出抛物线与x轴、y轴交点坐标；（2，2）直线x=22直线x=1（1，-4）1-4知识点4一次函数、反比例函数与二次函数的图像之间的关系•常考题型：根据一次函数或者反比例函数的图像，选择二次函数的大致图像•技巧总结：（1）一次函数𝑦=kx+𝑏中系数k,b的作用分别为：（2）反比例函数中k的作用为：如果k0，则一次函数的图像一定经过一、三象限，并且y随着x的增大而增大；如果k0，则一次函数的图像一定经过二、四象限，并且y对着x的增大而减少。b决定一次函数的图像与Y轴的交点位置，当b0，直线与Y轴的交点位于Y轴的正半轴；当b=0，直线过原点；当b0，直线与Y轴的交点位于Y轴的负半轴。kyx如果k0，则反比例函数的图像位于一、三象限，并且在每一象限内y随着x的增大而减少；如果k0，则反比例函数的图像一定经过二、四象限，并且在每一象限内y对着x的增大而增大。知识点4一次函数、反比例函数与二次函数的图像之间的关系•常考题型：根据一次函数或者反比例函数的图像，选择二次函数的大致图像•技巧总结：（4）二次函数𝑦=𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐中系数a，b，c的作用分别为：二次项系数a决定二次函数的图像----抛物线的开口方向：当a0，抛物线的开口向上；当a0，抛物线的开口向下。二次项系数的绝对值|𝑎|决定抛物线开口的大小：|𝑎|越大，抛物线开口越小；|𝑎|越小，抛物线的开口越大。一次项系数b与二次项系数a一起作用决定抛物线对称轴x=-𝑏2𝑎的位置：当a，b同号时，抛物线的对称轴位于Y轴的左侧；当a，b异号时，抛物线的对称轴位于Y轴的右侧；当b=0时，抛物线的对称轴为Y轴。如果k0，则反比例函数的图像位于一、三象限，并且在每一象限内y随着x的增大而减少；如果k0，则反比例函数的图像一定经过二、四象限，并且在每一象限内y对着x的增大而增大。知识点4一次函数、反比例函数与二次函数的图像之间的关系•常考题型：根据一次函数或者反比例函数的图像，选择二次函数的大致图像•例题精讲：•1、若函数y=kx+b的图象经过第一、二、四象限，那么函数y=kx2+bx+1的图象大致为（）A、B、C、D、2、如图，如果函数y=kx+b的图象在第一、二、三象限，那么函数y=kx2+bx-1的图象大致是（）A、B、C、D、CB知识点4一次函数、反比例函数与二次函数的图像之间的关系•常考题型：根据一次函数或者反比例函数的图像，选择二次函数的大致图像•例题精讲：•3、正比例函数y=kx的图象经过二、四象限，则抛物线y=kx2-2x+k2的大致图象是（）A、B、C、D、4、反比例函数𝑦=𝑘𝑥𝑘≠0的图象在第二、三象限，那么函数y=kx2-2x的图象大致是（）A、B、C、D、AA知识点4一次函数、反比例函数与二次函数的图像之间的关系•常考题型：根据一次函数或者反比例函数的图像，选择二次函数的大致图像•例题精讲：•5、