流体力学连续性方程和恒定总流动量方程

连续性方程连续性方程的微分形式设在流场中任取一个微元平行六面体，其边长分别为dx、dy和dz，如下图所示。假设微元平行六面体形心的坐标为x、y、z，在某一瞬时t经过形心的流体质点沿各坐标轴的速度分量为ux、uy、uz，流体的密度为ρ。xyOdxdydzuxuzuyz2udxux2dxx2dxx2udxux连续性方程先分析x轴方向，由于ux和ρ都是坐标和时间的连续函数，即ux=uxx(x，y，z，t)和ρ=ρ(x，y，z，t)。根据泰勒级数展开式，略去高于一阶的无穷小量，得在dt时间内，沿轴方向从左边微元面积dydz流入的流体质量为dd,,,,,,ddd22dd(,,,)(,,,)ddd22ddddd22xxxxxxxxyztuxyztyztuxxxyztuxyztyztxxuxxuyztxx同理可得在dt时间内从右边微元面积dydz流出的流体质量为ddddd22xxuxxuyztxx连续性方程上述两者之差为在dt时间内沿x轴方向流体质量的变化，即()dddddddddxxxuuxuxyztxyztxxx同理，在dt时间内沿y轴和z轴方向流体质量的变化分别为：()ddddyuxyzty()ddddzuxyztz因此，dt时间内经过微元六面体的流体质量总变化为ddddyxzuuuxyztxyz连续性方程由于流体是作为连续介质来研究的，六面体内流体质量的总变化，唯一的可能是因为六面体内流体密度的变化而引起的。因此上式中流体质量的总变化和由流体密度变化而产生的六面体内的流体质量变化相等。设开始瞬时流体的密度为ρ，经过dt时间后的密度为ttttzyxd)d,,,(在dt时间内，六面体内因密度变化而引起的质量变化为tzyxtzyxzyxttddddddddddd代入相等条件，得0yxzuuutxyz连续性方程上式为可压缩流体非定常三维流动的连续性方程。不可压缩流体c0yxzuuuxyz可压缩流体定常三维流动的连续性方程。若流体是定常流动0t上式变为：0yxzuuuxyz不可压缩流体三维流动的连续性方程。在同一时间内通过流场中任一封闭表面的体积流量等于零，也就是说，在同一时间内流入的体积流量与流出的体积流量相等。物理意义：恒定总流的动量方程质点系的动量在某个方向的变化，等于作用于该质点系上所有外力的冲量在同一方向投影的代数和。即动量定理：在需要确定流体与外界的相互作用力时，连续性方程和能量方程都无法解决，需引入动量方程。动量方程是自然界的动量定理在流体力学中的应用。KFt恒定总流的动量方程1.恒定总流动量方程的建立在恒定总流中，取一流段（控制体）研究，如下图所示。A1A2v1v2112断面1-1至2-2所具有的动量12K恒定总流的动量方程经过时间dt后，流体从1-2运动至1′-2′，此时所具有的动量为dt时段动量变化1'2'12KKK1'2'K12121'1'2'2'恒定总流的动量方程12121'1'2'2'1'-2'2-2'1'-2KKK1-21-1'1'-2KKK1'-2'1-22-2'1'-21-1'1'-22-2'1-1'＝＝KKKKKKKKKdt时间内水流动量的变化2-2'1-1'＝KKK恒定总流的动量方程dt时间内水流的动量变化u1A1A212121’1’2’2’u2dA1dA2u2dtu1dtdt时间内流段1-1′动量111udtdAu恒定总流的动量方程112211'11111122'222222ddddddddAAAAKuutAtuuAKuutAtuuA总流1-1′与2-2′断面的动量因为断面上的流速分布一般较难确定，所以上述积分不能完成。如何解决这个积分问题？dt时间内流段2-2′动量222udtdAu恒定总流的动量方程上述积分问题的解决用断面平均流速v代替点流速。定义V的大小为v，方向为u的方向。造成的误差用动量修正系数来修正。2AuudAA2AuudAA恒定总流的动量方程1221-1'111111v11122-2'222222v222ddddddddAAKtuuAtvAqvtKtuuAtvAqvt按照动量定律原理，则22'11'v222v111dddKKKqvtqvtFt＝＝＝引入动量修正系数后：恒定总流的动量方程v2211()qvvF作用于控制体内流体上所有外力的矢量和。外力包括：控制体上下游断面1、2上的流体总压力P1、P2、重力G和总流边壁对控制体内流体的作用力R。其中只有重力为质量力，其余均为表面力。即F12FPPGRRP1P2v2v1G恒定总流的动量方程式中，Fx,Fy,Fz为作用于控制体上所有外力在三个坐标方向的投影（不包括惯性力）。v2211v2211v2211()()()xxxyyyzzzqvvFqvvFqvvF恒定总流的动量方程二、应用恒定总流动量方程的注意事项1所选断面必须是不可压缩流体定常流动的缓变流断面，对断面之间流体的流动不作要求。2动量方程是矢量方程，式中的作用力和速度均为矢量。3取控制体。控制体可任意选择，但一般选取总流的一段作为控制体来研究，通常由下列部分组成:底部、侧部：固体边壁，例如，管壁，渠底表面：自由液面等横向边界：过流断面控制体恒定总流的动量方程4选择坐标轴，做出受力图。在图上画上所有受力、流量、流速、压力等矢量。凡是和坐标轴方向一致的力和流速为正，反之，则为负。5动量方程是输出项减去输入项，不可颠倒。输出项输入项外力项不包括惯性力v2211v2211v2211()()()xxxyyyzzzqvvFqVvFqvvF恒定总流的动量方程7动量方程只能求解一个未知数，如果未知数的数目多于一，必须联合其他方程（连续方程、或能量程）方可求解。6未知力的方向可以假定，若计算为正值，则说明假定正确；反之，则说明实际力的方向和假定相反。当流体有分流或汇流时当总流有分流或者汇流时，仍可用动量方程解题，其不同于伯努利方程在分流与汇流时的运用。恒定总流的动量方程v3112233ρQ3ρQ1ρQ2v1v2v3112233ρQ3ρQ1ρQ2v1v2v222v333v111Fqvqvqv分流汇流v333v222v111Fqvqvqv恒定总流的动量方程的应用三、恒定总流动量方程应用举例1.弯管内流体对管壁的作用力管轴竖直放置1122FP2=p2A·2FRFGV1V2FRxFP1=p1A1xzyFRz当管轴竖直放置时，选控制体，在其上画出受力图如右图所示。恒定总流的动量方程的应用沿x方向列动量方程为：11v11(0)RxpAFqV111v1RxFpAqV沿z方向列动量方程为：22v22(0)GRzpAFFqV222v2RzGFpAFqV22RxRzFFFRzRxFarctgF恒定总流的动量方程的应用管轴水平放置1122FP2=p2A·2FRV1V2FRxFP1=p1A1xyFRy沿x方向列动量方程：11v11(0)RxpAFqV111v1RxFpAqV沿y方向列动量方程为：22v22(0)RyFpAqV222v2RyFpAqV22RxRyFFFRyRxFarctgF重力与水流方向垂直，可忽略。恒定总流的动量方程的应用2.流体对建筑物的作用力FPxFP1=ρgbh12/2FR沿x方向列动量方程为：12v2211()PPRFFFqVV12v221122vv12v21222v1221()11()221111()22RPPFFFqVVqqgbhgbhqAAqgbhgbhbhh恒定总流的动量方程的应用3.射流对平面壁的冲击力VFPV000V1122FRV0VVx沿x方向列动量方程为：v00(0)RFqV0v0RFqV整理得：