华科大数理方程课件――贝塞尔函数的应用(2014)

15.4贝塞尔函数的应用贝塞尔函数应用极为广泛，本节我们仅选择最简单的问题，以说明用贝塞尔函数求解数学物理问题的要点与步骤。设有半径为1的均匀薄圆盘，圆周上的温度保持为0度，初始时刻圆盘内的温度分例1(热传导问题)布为,12rru),,(truu其中是圆盘内任一点的极半径，试求圆盘内的温度分布。解所求温度满足二维齐次热传导方程。由于求解区域是圆域，采用极坐标。由于定解条件与无关，所以于是定解问题如下：2,0|1ru),10()1(2ruruaurrrt.1|20rut(44)(45)(46)),()(),(tTrRtru,)1(2TRrRaTRRRrRTaT12,,02TaT.022RrRrRr应用分离变量法，令代入(44)得由此得(47)(48)3,0|1ru),10()1(2ruruaurrrt.1|20rut(44)(45)(46),02TaT.022RrRrRr(47)(48),||u,|)0(|R.0)1(R由问题的物理意义可知，温度函数u应满足条件因而函数R应满足(49)并且由齐次边界条件(45)可得(50)4(48)-(50)构成了0阶贝塞尔方程的固有值问题：0阶贝塞尔方程(48)的通解为),()()(00rDYrCJrR(48),022RrRrRr,|)0(|R.0)1(R|)0(|R0)1(R,0D,0)(0J知再利用条件(50)得由条件(49)即0)(0xJ是的零点。)(0m以)(0xJ表示.0)()0(0mJ即则得方程的正零点，(50)(49)(48)在条件(49)(50)下的固有值及相应固有函数为5).,2,1(m,2)0()0(mm.)()0(0rJrRmm,02TaT(47))0(m,)(2)0()(tammmeCtT),()(),(tTrRtru从而利用,0|1ru),10()1(2ruruaurrrt.1|20rut(44)(45)(46)现考虑方程将代入方程(47)得其通解可得).(),()0(0)(2)0(rJeCtrumtammm6,0|1ru),10()1(2ruruaurrrt.1|20rut(44)(45)(46),1)()0,(21)0(0rrJCrummm.)(),(1)0(0)(2)0(mmtamrJeCtrum.)(21)1()0(2110)0(02mmmJdrrJrrC根据叠加原理，方程(44)满足条件(45)的解为(51)再由初始条件(46)得利用傅里叶-贝塞尔系数公式(43)则有7.)(),(1)0(0)(2)0(mmtamrJeCtrum(51).)()()()(02110002211mmmJdrrJrrCdrrrJm10)0(0dxxxJmm)0(002)0(1)0(012)0(1mxxJm,1)0(1)0(mmJ,)0(xrm先计算分子，令则).()(01xxJxxJdxd8dxxxJxmm)0(0024)0(1)0(022)0(13)0(4)0(2)(1mxJxJmmmdrrJrm10)0(03dxxJxmm)0(0034)0(1dxxJxxJxmmm)0()0(0120134)0(21,)0(xrm先计算分子，令则.)(),(1)0(0)(2)0(mmtamrJeCtrum(51).)(21)1()0(2110)0(02mmmJdrrJrrC).()(01xxJxxJdxd)()(1xJxxJxdxdnnnn9,)(21)0(22)0()0(1)0(mmmmJJdrrJrm10)0(03,)0(xrm先计算分子，令则.)(),(1)0(0)(2)0(mmtamrJeCtrum(51).)(21)1()0(2110)0(02mmmJdrrJrrCdrrrJm10)0(0,1)0(1)0(mmJ代入mC得,)(4)0(212)0()0(2mmmmJJC10,0|1ru),10()1(2ruruaurrrt.1|20rut(44)(45)(46).)(),(1)0(0)(2)0(mmtamrJeCtrum(51),)(4)0(212)0()0(2mmmmJJC将mC代入(51)即得问题(44)-(46)的解为.)(4),(2)0()()0(01)0(212)0()0(2tammmmmmerJJJtru11设有一半径为圆形膜，圆周固定，例3(圆形膜轴对称振动问题)u),,(truu高度突然放手任其振动，解由于方程是齐次的，并且定解条件与角度因此，在极坐标系下位移函数两个变量的函数于是定解问题如下：0hB的若在膜的中心掀起一个很小而静止，无关，只是tr,.0|),1(|00tttuBrhu),0(1(2Bruruaurrrtt),0|Bru(62)(63)(64)试求该膜的振动规律。12),()(),(tTrRtruTRrRaTR)1(2RRrRTaT12,,02TaT.022RrRrRr应用分离变量法，令代入(62)得由此得(65)(66).0|),1(|00tttuBrhu),0(1(2Bruruaurrrtt),0|Bru(62)(63)(64)13,||u,|)0(|R.0)(BR由问题的物理意义可知，位移函数u应满足条件因而函数R应满足并且由齐次边界条件(63)可得(67).0|),1(|00tttuBrhu),0(1(2Bruruaurrrtt),0|Bru(62)(63)(64),02TaT.022RrRrRr(65)(66)14从而构成了0阶贝塞尔方程的固有值问题：0阶贝塞尔方程(66)的通解为),()()(00rDYrCJrR(66),022RrRrRr,|)0(|R.0)(BR|)0(|R0)(BR,0D,0)(0BJ知再利用条件(67)得由有界条件B即0)(0xJ是的零点。)(nm以)(0xJ表示.0)()0(0mJ即则得方程的正零点，(67)(66)在有界条件及(67)下的固有值及相应固有函数为15).,2,1(m,2)0()0(Bmm.)()0(0rBJrRmm)0(m,sincos)()0()0(tBabtBaatTmmmmm从而现考虑方程将代入方程(65)得其通解).()sincos(),()0(0)0()0(rBJtBabtBaatrummmmmm,02TaT(65).0|),1(|00tttuBrhu),0(1(2Bruruaurrrtt),0|Bru(62)(63)(64)16,0)()0(0)0(rBJbBmmm.)()sincos(),(1)0(0)0()0(mmmmmmrBJtBabtBaatru).,2,1(0mbm根据叠加原理，方程(62)满足条件(63)的解为(68)再由初始条件(64)中的第二式得于是得.0|),1(|00tttuBrhu),0(1(2Bruruaurrrtt),0|Bru(62)(63)(64)17),1()()0,(1)0(0BrhrBJarummm利用傅里叶-贝塞尔系数公式(43)则有.0|),1(|00tttuBrhu),0(1(2Bruruaurrrtt),0|Bru(62)(63)(64).)()sincos(),(1)0(0)0()0(mmmmmmrBJtBabtBaatru根据叠加原理，方程(62)满足条件(63)的解为(68)再由初始条件(64)中的第一式得18.)()()()(021200021mBmmJBdrrBJBrrha利用傅里叶-贝塞尔系数公式(43)则有(69)drrBrJhBm0)0(0dxxxJhBmm)0(002)0(2)0(012)0(2mxxJhBm,)0(1)0(2mmJhB,)0(xrBm先计算分子，令则19.)(2)1()0(2120)0(0mbmmJBdrrBJBrrha利用傅里叶-贝塞尔系数公式(43)则有(69)drrBJrBhBm0)0(02dxxJxhBmm)0(0023)0(2,)0(xrBm先计算分子，令则dxxxJxhBmm)0(003)0(2dxxxJxJxhBmmm)0()0(010123)0(220)0(1)0(2mmJhB,)()0(003)0(2mdxxJhBmdxxJxxJJhBmmmmm)0()0(0000)0(12)0(3)0(2)()(.)(2)1()0(2120)0(0mbmmJBdrrBJBrrha利用傅里叶-贝塞尔系数公式(43)则有(69)drrBJrBhBm0)0(02,)0(xrBm先计算分子，令则dxxxJxJxhBmmm)0()0(010123)0(221)0(1)0(2mmJhB,)()0(003)0(2mdxxJhBm.)(2)1()0(2120)0(0mbmmJBdrrBJBrrha利用傅里叶-贝塞尔系数公式(43)则有(69)drrBJrBhBm0)0(02drrBrJhBm0)0(0,)0(1)0(2mmJhB.)()(2)0(00)0(213)0(mdxxJJhammm将以上结果代入(69)式得22将mmba,代入(68)即得问题(62)-(64)的解为.cos)(2),()0(0)0(100)0(213)0()0(rBJBtadxxJJhtrummmmmm.0|),1(|00tttuBrhu),0(1(2Bruruaurrrtt),0|Bru(62)(63)(64),)()(2)0(00)0(213)0(mdxxJJhammm).,2,1(0mbm.)()sincos(),(1)0(0)0()0(mmmmmmrBJtBabtBaatru(68)内容小结1.n阶贝塞尔方程的固有值问题n阶贝塞尔方程的通解可表示为),()()(rDYrCJrFnnrRJrFnmnm)()().,2,1(m,)()(2Rnmnm固有值和固有函数分别为0)(RF,0)(222FnrFrFr,|)0(|F(33)(32)内容小结),()(1xJxxJxdxdnnnn).()(1xJxx