华科大数理方程课件――贝塞尔函递推公式和展开成级数(2014)

5.2贝塞尔函数的递推公式不同阶的贝塞尔函数之间有一定的联系，本节来建立反映这种联系的递推公式。,)1(!2)1()(022mmnmnmnmnmxxJ(18))(xJn),()(1xJxxJxdxdnnnn).()(1xJxxJxdxdnnnn由的表达式(18)可推出下列两个基本递推公式：(25)(26)2)(xJxdxdnn11212)1()!1(2)1(mmnmmmnmx022)1(!2)1(mmnmmmnmxdxd,nxx),()(1xJxxJxdxdnnnn).()(1xJxxJxdxdnnnn(25)(26)事实上，在(18)式的两边乘上然后对求导，得012121)11(!2)1(kknkkknkx),,2,1,0(,1kkm令得302121)11(!2)1(kknknknknkxx),(1xJxnn同样可以证明公式(25)。,nxx),()(1xJxxJxdxdnnnn).()(1xJxxJxdxdnnnn(25)(26)事实上，在(18)式的两边乘上然后对求导，得012121)11(!2)1(kknkkknkx)(xJxdxdnn4),(2)()(11xJxnxJxJnnn).(2)()(11xJxJxJnnn),()()(1xxJxnJxJxnnn),()()(1xxJxnJxJxnnn)(xJn),(xJn),()(1xJxxJxdxdnnnn).()(1xJxxJxdxdnnnn(25)(26)如果将以上两式左端的导数表出，化简后则得先后消去与则得(27)(28)显然(25)(26)式与(27)(28)式是等价的。5),(2)()(11xJxnxJxJnnn).(2)()(11xJxJxJnnn),()(1xJxxJxdxdnnnn).()(1xJxxJxdxdnnnn(25)(26)(27)(28))(1xJn)(xJn与)(1xJn若已知之值，由(27)式可算出之值。这样一来，通过(27)式，可以用0阶与1阶贝塞尔函数来表示任意正整数阶的贝塞尔函数。6),()(1xJxxJxdxdnnnn).()(1xJxxJxdxdnnnn(25)(26)0n).()(01xxJxxJdxd);()(10xJxJ特别的，当时，由(26)式得1n当时，由(25)式得(29)),(2)()(11xJxnxJxJnnn).(2)()(11xJxJxJnnn(27)(28)7例),(2)()(11xJxnxJxJnnn).(2)()(11xJxJxJnnn(27)(28)).()(01xxJxxJdxd);()(10xJxJ(29)dxxxJ)(2求解由(27)式知，),()(2)(012xJxJxxJ),()(2)(012xxJxJxxJdxxxJ)(2dxxxJdxxJ)()(201.)()(210cxxJxJ则有),()(1xJxxJxdxdnnnn).()(1xJxxJxdxdnnnn(25)(26)),(2)()(11xJxnxJxJnnn).(2)()(11xJxJxJnnn(27)(28)).()(01xxJxxJdxd);()(10xJxJ(29)内容小结95.3按贝塞尔函数展开为级数应用贝塞尔函数求解数学物理方程的定解问题时，最终都要把已知函数按贝塞尔函数系展开为级数。本节我们将讨论这个问题。本章开始，我们从薄圆盘温度分布的定解问题中，导出了贝塞尔方程的固有值问题：方程(32)的通解为),()()(rDYrCJrFnn0)(RF,0)(222FnrFrFr,|)0(|F(32)(33)10)0(nY无穷大，,0D),()(rCJrFn0)(RF.0)(RJn方程(32)的通解为),()()(rDYrCJrFnn0)(RF,0)(222FnrFrFr,|)0(|F(32)(33)由于由边界条件(33)中的有界性条件可知从而另外，再利用(33)中的条件得(34)110)(xJnx所谓贝塞尔函数的零点，指的是使的那些的值。关于贝塞尔函数的零点有下面几点结论。5.3.1贝塞尔函数的零点)(xJn有无穷多个正零点；●)(xJn)(1xJn与没有公共零点。●)(1xJ)(0xJ整数阶贝塞尔函数应用更多，特别是与12)(nmR)(xJn.0)(RJn(34)应用上述关于贝塞尔函数零点的结论，设),,2,1(m),,2,1(m)(nm),2,1(mrRJrJrFnmnnmnm)()()().,2,1(m2)()(Rnmnm为的正零点，则由方程(34)得与这些固有值相对应的固有函数为(35)(36)rRJrFnmnm)()().,2,1(m(36)5.3.2贝塞尔函数系的正交性n),0(R,0)(0)(drrRJrRrJnknRnmn.kmr阶贝塞尔函数序列(36)在区间上带权正交，即(37)5.3.3贝塞尔函数的模drrRrJRnmn0)(2rRJnmn)(定积分(39)的平方根，称为贝塞尔函数的模。,0)(0)(drrRJrRrJnknRnmn.km(37)5.3.3贝塞尔函数的模drrRrJRnmn0)(2rRJnmn)(定积分(39)的平方根，称为贝塞尔函数的模。.02FrnrdrdFrdrd为了求模，将贝塞尔方程(32)改写如下,0)(222FnrFrFr(32)15),()(11rJrFn),()(22rJrFn21,,012211FrnrdrdFrdrd.022222FrnrdrdFrdrd.02FrnrdrdFrdrd为书写方便，记其中为任意参变量。则有2F1F将上面两式分别乘以和),()(11rJrFn),()(22rJrFn21,.02FrnrdrdFrdrd为书写方便，记其中为任意参变量。则有,02122112FFrnrdrdFrdrdF.01222221FFrnrdrdFrdrdF上两式相减得),()(11rJrFn),()(22rJrFn21,.02FrnrdrdFrdrd为书写方便，记其中为任意参变量。则有.0)(2112212221drdFrdrdFdrdFrdrdFFrFr0R.0)()()(021120212221RRdrdFrFdrdFrFdrrFrrF上式两边对从到积分得(38)21当时，由(38)式得18,/)(1Rnm,0)()()(1nmnJRF),()()(111nmnnmnRJRRJdrdF./)()()()(222)()(2)(02)(RJRJdrrJrRrJnmnmnnnmRnnmn2),()(11rJrFn),()(22rJrFn.)()(222102112021RRdrdFrFdrdFrFdrrFrrF在上式中，令仍为任意参数，由于故上式化为19./)()()()(222)()(2)(02)(RJRJdrrJrRrJnmnmnnnmRnnmndrrRrJRnmn0)(222)()(/2)()(lim)(2RRJJnnmnnmRnm.)(22)(2nmnJRRRJJnmnmnnmnnm/2)()()()()()((40)Rnm/)(200形式的不定型，当时，上式右端为应用洛必达法则，得20drrRrJRnmn0)(2.)(22)(2nmnJR(40)drrRrJRnmn0)(2)(2)(212nmnJR)(2)(212nmnJR)(xJn)(1xJn),()()(1)(nmnnmnJJ),()()(1)(nmnnmnJJ),()()(1xxJxnJxJxnnn),()()(1xxJxnJxJxnnn,0)()(nmnJ由递推公式以及得从而(40)式变为(41)由于贝塞尔函数与没有公共零点，由(41)式知贝塞尔函数的模不为0.5.3.4傅里叶-贝塞尔级数在应用贝塞尔函数求解数学物理方程的定解问题时，往往需要把已知函数按贝塞尔函数系展成级数。,)()(1rRJCrfnmnmm(42).)(2)()(2120)(nmnRnmnmJRdrrRJrrfCmC其中系数由下式确定(43)mC由公式(43)确定的称为傅里叶-贝塞尔系数，级数(42)称为傅里叶-贝塞尔级数。22例.)(2)()(2120)(nmnRnmnmJRdrrRJrrfC,)()(1rRJCrfnmnmm)0(m),2,1(m)(0xJ1)(xf)1,0()()0(0xJm(43),)(21)0(2110)0(0mmmJdxxxJC,1)0(01xJCmmm设是函数的正零点，试将函数在上展成的傅里叶-贝塞尔级数。解由(42)(43)式有先计算分子，(42)23dxxxJm10)0(0drrrJmm)0(002)0(1)0(012)0(1mrrJm,1)0(1)0(mmJ例)0(m),2,1(m)(0xJ1)(xf)1,0()()0(0xJm,)(21)0(2110)0(0mmmJdxxxJC,1)0(01xJCmmm,)0(rxm设是函数的正零点，试将函数在上展成的傅里叶-贝塞尔级数。解由(42)(43)式有先计算分子，令则代入mC得24,2)0(1)0(mmmJC.21)0(01)0(1)0(xJJmmmm例)0(m),2,1(m)(0xJ1)(xf)1,0()()0(0xJm,)(21)0(2110)0(0mmmJdxxxJC,1)0(01xJCmmm设是函数的正零点，试将函数在上展成的傅里叶-贝塞尔级数。解由(42)(43)式有代入mC得于是25),()(1xJxxJxdxdnnnn).()(1xJxxJxdxdnnnn(25)(26)).()(01xxJxxJdxd);()(10xJxJ特别的，(29)1贝塞尔函数的递推公式2.傅里叶-贝塞尔级数.)(2)()(2120)(nmnRnmnmJRdrrRJrrfC,)()(1rRJCrfnmnmm(42)(43)阶贝塞尔