一题多解

1一题多解，殊途同归河北兴隆县教育局教研室姜秀芹13103147709定理：1、平行于三角形一边的直线截其它两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例。2、平行于三角形一边的直线和其它两边相交，所得的三角形与原三角形相似。对于这两个定理，我们往往给学生构建基本图形（图1中的A字型、图2中的8字型）帮助学生理解应用。图1EDCBA图2EDCBA确实这两个基本图形在解决线段成比例时起到了重要的作用。那么，图形中如何构造这个基本图形解决问题呢？我们看下面两个问题：例1：△ABC中，AD为BC边上的中线，点F为AD上一点，且21FDAF，连接BF交AC于点E，求ECAE的值。分析：通过已知21FDAF和结论求ECAE的值，我们能够分析出此题属于相似问题，哪两个三角形相似呢？题目中是不存在的，所以我们应该去构造相似的三角形，从这两个比来看，我们想到如下方法：方法一：如图3-1，过点D作DM//AC交BE于点M，由△AEF∽△DMF（8字型）可得21FDAFDMAE由△BMD∽△BEC（A字型）可得21BCBDECDM于是得ECAE=41方法二：如图3-2，过点D作DM//BE交AC于点M，由△AEF∽△ADM（A字型）F图3EDCBAMF图3-1EDCBAMF图3-2EDCBA2可得21EAEM由△CMD∽△CEB（A字型）可得EM=CM于是得ECAE=41通过这两种方法我们发现，此题的关键时利用作平行线构造了两对相似三角形，应用了等比代换。于是我们思路豁然开朗，还会有以下辅助线做法：例2：阅读材料，小腾遇到这样一个问题，如图1，△ABC中，点D在线段BC上，∠BAD=75°∠CAD=30°，AD=2，BD=2DC，求AC的长.小腾发现，过点C作CE//AB，交AD的延长线于点E，通过构造△ACE，经过推理和计算把问题得到解决（如图2）请回答：∠ACE的度数为，AC的长为.参考小腾思考问题的方法，解决问题：如图3，在四边形ABCD中，∠BAC=90°，∠CAD=30°，∠ADC=75°，AC与BD交于点E，AE=2，BE=2ED，求BC的长。MABCDE图3-3FMABCDE图3-4FMABCDEF图3-5FEDCBAM图3-6FEDCBAMFEDCBA图3-8M图3-73分析与思考：图2中小腾过点C作CE//AB得到了△CDE∽△BDA，于是12DEAD，求得DE=1，由CE//AB得∠E=∠BAD=75°，于是计算出∠ACE=75°，所以△AEC为等腰三角形，所以AC=AE=3，问题得以解决。此题的关键是由所作的平行线得到一对相似三角形和一个等腰三角形。于是思路豁然开朗，我们也可以有下做法：通过这两个例题的做法，让我们体会到平行线所构造的基本图形的价值，体现数学中一题多解的特点，也体会到一题多解的核心，正所谓：“一题多解，殊途同归”。通过这样的练习，开放学生的思维，培养学生思考问题的方法，培养学生的创新能力！图4-1DCBAEAE图4-2DCB图4-3AEDCB图4-4AEDCB图4-5AEDCB