辅助角公式在高考三角题中的应用-专题辅导-不分版本

辅助角公式在高考三角题中的应用柳毓对于形如y=asinx+bcosx的三角式，可变形如下：y=asinx=bcosxabxaabxbab222222(sincos)··。由于上式中的aab22与bab22的平方和为1，故可记aab22=cosθ，bab22=sinθ，则。)xsin(ba)sinxcoscosx(sinbay2222由此我们得到结论：asinx+bcosx=abx22sin()，（*）其中θ由aabbab2222cos,sin来确定。通常称式子（*）为辅助角公式，它可以将多个三角式的函数问题，最终化为y=Asin(x)+k的形式。下面结合近年高考三角题，就辅助角公式的应用，举例分类简析。一.求周期例1（2006年上海卷选）求函数yxxx24432cos()cos()sin的最小正周期。解：)6x2sin(2x2cosx2sin3x2sin3)2x2sin(x2sin3)4xsin()4xcos(2y所以函数y的最小正周期T=π。评注：将三角式化为y=Asin(x)+k的形式，是求周期的主要途径。二.求最值例2.（2003年北京市）已知函数f(x)=cos4x-2sinxcosx-sin4x。若x[,]02，求f(x)的最大值和最小值。解：f(x)=(cos2x+sin2x)(cos2x-sin2x)-sin2x=cos2x-sin2x=224sin()x。由0242434≤≤≤≤xx。当244x，即x=0时，sin()24x最小值22；当24238xx，即时sin()24x取最大值1。从而f(x)在[,]02上的最大值是1，最小值是2。三.求单调区间例3.（2005年江西省）已知向量→，→axxbx(cos,tan())(sin()2224224，tan())x24，令ba)x(f→→，求函数f(x)在[0，π]上的单调区间。解：fxab()→·→。)4xsin(2xcosxsin12xcos22xcos2xsin22xtan112xtan2xtan12xtan1)2xcos222xsin22(2xcos22)42xtan()42xtan()42xsin(2xcos222·先由04454≤≤≤≤xx。反之再由4420424544≤≤≤≤；≤≤≤≤xxxx。所以f(x)在[]04，上单调递增，在[]4，上单调递减。评注：以向量的形式给出条件或结论，是近两年来三角命题的新趋势，但最终仍要归结为三角式的变形问题。而化为y=Asin(ωx+)+k的形式，是求单调区间的通法。四.求值域例4.求函数fxkxkxx()cos()cos()sin()613261322332(,)xRkZ的值域。解：。)2x2sin(4]6sin)x23cos(6cos)x23[sin(4)x23sin(32)x23cos(2)x23sin(32)x23k2cos()x23k2cos()x(f所以函数f(x)的值域是[-4，4]。五.画图象例5.（2003年新课程）已知函数f(x)=2sinx(sinx+cosx)，画出函数y=f(x)在区间[]22，上的图象。解：。)4x2sin(21x2sinx2cos1xcosxsin2xsin2)x(fy2由条件22542434≤≤≤≤xx。列表如下24x5420234x23888382y21121122描点连线，图象略。六.图象对称问题例6.如果函数y=sin2x+acos2x的图象关于直线x=8对称，那么a=()（A）2（B）2（C）1（D）-1解：可化为yax122sin()。知x8时，y取得最值±12a，即sin()cos()()()2828122111211210122222aaaaaaaaaD±±选（）。七.图象变换例7（2000年全国）已知函数。Rx,1xcosxsin23cos21y2该函数的图象可由yxxRsin()的图象经过怎样的平移和伸缩变换得到？解：yxx14123421(cos)sin12262654122654(sincoscossin)sin()xxx。可将函数y=sinx的图象依次进行下述变换：（1）向左平移6，得到y=sin(x+6)的图象；（2）将（1）中所得图象上各点横坐标变为原来的21倍，纵坐标不变，得y=)6x2sin(的图象；（3）将（2）中所得图象上各点纵坐标变为原来的21倍，横坐标不变，得y=21sin(2x+6)的图象；（4）将（3）中所得图象向上平移45个单位长度，得到y=21sin(2x+6)+45的图象。综上，依次经过四步变换，可得y=1xcosxsin23xcos212的图象。八.求值例8.已知函数f(x)=xsin32+sinxcosx。设α∈（0，π），f(2)=2341，求sinα的值。解：f(x)=x2sin21)x2cos1(23=sin23)3x2(。由f(2)=sin(3)412323，得sin(3)=41。又α∈（0，π）)34,3(3。而sin41＞233，故α+),2(3，则cos(α+3)=415。sinα=sin[3)3(]=sin3sin)3cos(3cos)3(=23)415(2141=8531。评注：化为一种角的一次式形式，可使三角式明晰规范。在求sinα时，巧用凑角法：α=（α+3）-3，并且判断出α+3的范围，进而求出cos(α+3)的确切值，使整个求值过程方向明确，计算简捷。九.求系数例9.（2005年重庆）若函数f(x)=)2xcos(2xsina)x2sin(4x2cos1的最大值为2，试确定常数a的值。解：f(x)=cos2xsinaxcos4xcos222x=xsin2axcos21=)xsin(4a412，其中角由sin=22a1acos,a11来确定。由已知有44a412，解得a=15。十.解三角不等式例10.（2005年全国Ⅲ）已知函数f(x)=sin2x+sin2x，x]2,0[，求使f(x)为正值的x的集合。解：f(x)=1-cos2x+sin2x=1+)4x2sin(2。由f(x)＞0，有sin(2x-,22)＞4则得2kπ-45k2＜4x2＜4，故kπ＜x＜kπ+)Zk(43。再由x[0,2π]，可取k=0，1，得所求集合是47＜x＜，43＜＜x0x或。