概率论与数理统计(王明慈第二版)第5章数理统计的基本知识4-5

2020/6/251三大抽样分布：分布、t分布、F分布及其分位点.第四节分布t分布F分布2χ2χ基本内容：2020/6/252分布2χ定理1.设kXXX,,,21222212kXXXχ记作).(~22k,2分布的服从自由度为k1.定义都服从标准相互独立,正态分布N(0,1),则随机变量.中包含独立变量的个数指自由度221k2XXχk：一、特别地,当k=1时,）（，1~(0,1)2211XN~X则若2020/6/253其概率密度函数:1k2k6k.0,0;0,)2(21)(21222xxexkxfxkk其图形随着参数k的变化而改变，如图所示2020/6/2542.分布的性质2χ，相互独立和若随机变量2221),(~),(~22221221kk(1)可加性:且则它们的和).(~2122221kk此性质推广至多个变量的情形:).(~21222221nnkkk则有，，相互独立且设),,2,1()(~222nikiii2020/6/255(2)期望与方差(P927题)),2,(,~~2kkNXkkX近似则若时，）（22221kXXXX若X~2(k)，则E(X)=k，D(X)=2k.(3)分析：由2分布的定义知，),1(,,,222221独立同分布，均服从其中kXXX由中心极限定理可得结论.).1,0(~2NkkX近似且将其标准化2020/6/256例1.，的样本是设正态总体X,,),9,0(~321XXXNX.9232221的抽样分布试求统计量XXX3,2,1),1,0(~3iNXi解：由于X1,X2,X3相互独立，且Xi~N(0,9),有3,2,1)1(~922iXi，则由可加性得.3~92232221）（XXX2020/6/257dxxf)(223.分布的分位点满足对于给定的数设),10(),(~22k)]([22kP.)()(22分位点分布的称为的点kk定义1.xO)(2xf)(2k2χ),10(使得若存在,x)(xXP（分位点）定义：对于X和给定的.分位点分布的(上侧)为则称Xx2020/6/258(3)χ20.90(P285)2020/6/259)3(),1(225.0205.0试求84.3)1(205.011.4)3(225.0解:经查表2(P285)得例2.2020/6/2510二、t分布历史上，正态分布由于其广泛的应用背景和良好的性质，曾被看作是“万能分布”。在这样的背景下，十九世纪初英国一位年经酿酒化学技师GossetWS，他在酒厂从事试验和数据分析工作，对数据误差有着大量的感性的认识，Gosset知道在总体均值和方差已知情况下，),(~1,21nNXnXnnii近似2020/6/2511为“t分布”或“学生氏分布”.xyO但是Gosset在试验中遇到的样本容量仅有5-6个,在其中他发现实际数据的分布情况与正态分布有着较大的差异。正态分布Gosset样本曲线于是Gosset怀疑存在一个不属于正态的其他分布，通过学习终于得到了新的概率密度曲线，在1908年以“Student”笔名发表了此项结果，后人称此分布2020/6/25121.t分布的定义),(~),1,0(~2kYNXkYXt/定理2.设随机变量X与Y相互独立,且则随机变量服从自由度为k的t分布,记作).(~ktt又称学生氏分布,记为2020/6/2513①关于x=0对称；3k1k30k)1,0()30(Nt其概率密度函数2)1(2)1()2()21()(ktkxkkkxft分布的概率密度函数图形如图所示②当k充分大时，其图形与标准正态分布图形相似.Rx,eπxxfxtk2221)()(lim2020/6/2514例3.，的样本来自总体和YXYYYXXX,,,,,,,921921),9,0(NYX且都服从相互独立设总体，和其中的分布求统计量，T91291iiiiYXT),9,0(,,,921NXXX服从相互独立由于，),9,0(~291NXii所以,)1,0(~3),9,0(~NYNYii有而.9,,2,1),1(~)322iYi(故解:),1,0(~9191NXii则2020/6/2515)9(~)3(2291iiY由可加性知分布的定义有所以根据t)9(~9)3(9129191tYXiiii).9(~91291tYXTiiii故2020/6/25162.t分布的分位点满足对于给定的数设),10(),(~ktt.)()(分位点分布的称为的点ktkt)10()()]([ttdxxfkttP定义2.Ox)(xft)(kt)()(1ktkt12020/6/2517(9)t0.20(P286)2020/6/2518).30(),2(45.0005.0tt解:经查表3(P286)得,92.9)2(005.0t.127.0)30(45.0t例4.试求2020/6/2519三、F分布),(~),(~2212kYkX21//kYkXF定理3.设随机变量X与Y相互独立,且则随机变量服从自由度为(k1,k2)的F分布,记作).,(~21kkFF1.定义2020/6/2520Ox)(xfF)10,1()10,4()10,10(其概率密度函数为.0,0;0,)()2()2()2()(221122122212121121xxkxkxkkkkkkxfkkkkkF其图形如图所示：2020/6/2521例5.设总体X～N(0,1),而X1,X2,…,X15是来自总体),10(~22102221XXX随机变量),5(~2215212211XXXX的简单随机样本，则随机变量)(22152122112102221XXXXXXY分析：服从分布,参数为.)5,10(~5/)(10/2152122112102221FXXXXXX）（所以2020/6/25222.F分布的性质),(21k,kX~F:分布的定义由F2211kXkXX),(21k,kX~F若).(~/112,kkFX则证明：，且相互独立其中),(~),(~222121kXkX).,(~1121122kkFkXkXX定理：2020/6/25233.F分布的分位点定义3.),10(),,(~21对于给定的数设kkFF),(2121)()),((kkFFdxxfkkFFP有.),(),(2121分位点分布的为则称kkFkkFOx)(xfF),(21kkF2020/6/25241)},({211kkFFP证明:设F~F(k1,k2),则)(1)(12211k,kFk,kFαα注：1}),(11{211kkFFP~1F}),(11{211kkFFP)},(1{12kkFFP得证!由等价变形于是即(P1478题)),(12kkF2020/6/2525),,(.46050F(P287)2020/6/2526).10,4(),10,1(025.005.0FF解:经查表4(P287)得,96.4)10,1(05.0F,47.4)10,4(025.0F).4,10(),1,10(975.095.0FF并试求202.096.41.224.047.41)10,4(1)4,10(025.0975.0FF解:例6.试求.k,kFk,kFαα)(1)(12121)1,10(95.0F)10,1(105.0F2020/6/2527第五节正态总体统计量的分布基本内容：一、抽样分布——统计量的分布；二、正态总体下的抽样分布2020/6/2528一、统计量的分布统计量是对样本信息的“加工”,由于样本是随机变量,故统计量有一定的概率分布.我们称统计量的分布为抽样分布.它依赖于样本,所以统计量也是随机变量,2020/6/2529二、正态总体下的抽样分布且有nXXX,,,21,,,2,1),,(~2niNXiiiniiiXc1).,(~12211niiiniiiniiiccNXcnccc,,,21性质.设相互独立,都服从正态分布,则它们的线性组合也服从正态分布,其中为常数.回顾正态分布的性质2020/6/2530);,(~2NX.nσμ,N~X2)(来自总体X的一个样本,),,,21nXXX设(则样本均值且,11niiXnX有定理1.(P1167题结论)2020/6/25311.单个正态总体下统计量的分布).(~)(121222nXnii(2)统计量);1,0(~NnXU标准化的样本均值(1)统计量则设总体，),(~2NX定理2.…………①…………②2020/6/2532定理3.则设总体),,(~2NX；相互独立与2)1(SX).1(~)1(2222nSn1);(~)(22122nχσXXχnii：注(其中自由度减少一个，即n-1)(2)统计量…………③2020/6/2533它们受到一个条件的约束：减少一个自由度的原因：；不相互独立),,2,1(}{niXXi)(111XnXσσXXniinii）（XnXnii1由于0.2020/6/2534定理4.),,(~2NX设总体);1,0(~NnXU).1(~)1(2222nSn则统计量nSXt/).1(~nt证明：由定理2和定理3知,).1(~/1)1(1222ntnSXnSnnXnUt故，相互独立与2SX…………④2020/6/2535(1)已知总体).5.0(,33.5,)2(2XPs求已知未知例7.),,(~2NX设总体2,16),,(~2nNX从总体X中抽取容量为16的样本.；，)5.0(2)1(XP求概率已知解:则由定理2知:),1,0(~)(216/2NXXU2020/6/2536.1)1(2)1()1()1()1)(2()5.0(UPXPXP.8413.0)1(查表得.6826.018413.02)5.0(XP2020/6/2537(2)33.5,16),,(~22snNX),15(~)(33.51616/33.5tXXt)5.0(XP由定理4知:).5.0(,33.5,2XPs求已知未知已知)866.0)(33.516(XP)866.0(tP)866.0(1tP)]866.0()866.0([1tPtP)866.0(21tP2020/6/2538查表得：，866.0)15(20.0t.20.0)866.0()]15([20.0tPttP即.60.020.021)5.0(XP2020/6/2539例8.),,(~2NX设总体,,,,161XX抽取样本];2)(1612[)1(216122iiXP求已知，解:则已知，)1()16(~)(22122niiX]2)(1612[216122iiXP)32)(8(21612iiXP)328(2P)32()8(22PP2020/6/254001.0)32(,95.0)8(22PP.94.001.095.0]2)(1612[216122iiXP查表得2020/6/