决策理论与方法之多属性决策

《决策理论与方法》第九章多属性决策第九章多属性决策第二节确定权的常用方法第三节加权和法第五节TOPSIS法第二节确定权的常用方法一、权的概念二、常用的确定各属性权的方法（一）最小二乘法（二）本征向量法三、最底层目标权重的计算简单回顾目标间不可公度：各目标没有统一的衡量标准或计量单位，因而难以进行比较。目标间的矛盾性：如果采用一种方案去改进某一目标的值，很可能会使另一目标的值变坏。为什么要引入权？多目标决策问题的特点也是求解的难点在于目标间的矛盾性和各目标的属性值不可公度，求解多属性决策问题同样需要解决这两个难点。其中不可公度性可通过属性矩阵的规范化得到部分解决,但这些规范化方法无法反映目标的重要性。因此，引入权的概念，以衡量目标的重要性。属性矩阵的规范化：就是对决策数据进行预处理。主要有6种方法，即线性变换、标准0-1变换、最优值为给定区间时的变换、向量规范法、原始数据的统计处理、专家打分数据的预处理。为什么要引入权？一、权的概念权是目标重要性的度量,即衡量目标重要性的手段。权这一概念包含并反映下列几重因素：①决策人对目标的重视程度②各目标属性值的差异程度③各目标属性值的可靠程度权应当综合反映三种因素的作用，而且通过权，可以通过各种方法将多目标决策问题化为单目标问题求解。一、权的概念如前所述，权是目标重要性的数量化表示；但在目标较多时，决策人往往难于直接确定每个目标的权重。因此，通常的做法是让决策人首先把各目标作成对比较，这种比较可能不准确，也可能不一致。例如，决策人虽然认为第一个目标的重要性是第二个目标重要性的3倍，第二个目标的重要性是第三个目标重要性的2倍，但他并不认为第一个目标的重要性是第三个目标重要性的6倍。因此，需要用一定的方法把目标间的成对比较结果聚合起来确定一组权，常用的有最小二乘法、本征向量法。二、常用的确定各属性权的方法——最小二乘法首先由决策人把目标的重要性作成对比较，设有n个目标，则需比较次。把第个目标对第个目标的相对重要性记为，并认为，这就是属性的权和属性的权之比的近似值，个目标成对比较的结果为矩阵A。（9.8）1212nnnCijijaiijjjiijannnnnnnnanananaaanaaaA2122212212111212222111211二、常用的确定各属性权的方法——最小二乘法若决策人能够准确估计，则有：（9.9）且（9.10）（9.11）Jjiaij,1,,1iikjikijjiijaJkjiaaaaajniiniija11时当11niiniijja11jiija二、常用的确定各属性权的方法——最小二乘法若决策人对的估计不准确，则上列各式中的等号应为近似号。这时可用最小二乘法求即解：（9.12）受约束于：ijawninjijija112minniinii,,2,1011二、常用的确定各属性权的方法——最小二乘法用拉格朗日乘法解这一有约束纯量优化问题，则拉格朗日函数为对求偏导数，并令其为0，得个代数方程：（9.13）由式（9.13）及共个方程，其中有及共个变量，因此可以求得iininjijijaL12112Lnll,,2,1nnjljljniilililnlaaa11,,2,1,0nii111nn,,,211nTnw,,,21二、常用的确定各属性权的方法——最小二乘法式9.13的推导：找出含的项：iininjijijaL12112对nll,,2,1求偏导lnliiililllllnljjljljaLljliaLljliaLljli,12322,121,,,时，时，时，niililnjljljnilillllllilililllllnjljljljniliilililllllllnjljljljlnililililllllnjljljljllaaaaaaaaaaaaaLaaaLLLL111,1,1,1,'1,221,23210011022121222二、常用的确定各属性权的方法——本征向量法由式（9.8），得即式中是单位矩阵，如果目标重要性判断矩阵A中的值估计准确，上式严格等于0(n维0向量)，如果A的估计不够准确，则A中元素的小的摄动意味着本征值的小的摄动，从而有（9.14）是矩阵A的最大本征值。由（9.14）式可以求得本征向量即权向量这种方法称为本征向量法。Awnnnnn2122212212111nnn21210wnIAIwAwmaxmaxTnw,,,21二、常用的确定各属性权的方法——本征向量法与最小二乘法类似，使用这种方法同样需要求得矩阵A，为了便于比较第i个目标对第j个目标的相对重要性，即给出的值，Saaty根据一般人的认知习惯和判断能力给出了属性间相对重要性等级表，见表9.9，利用该表取的值，方法虽粗略，但有一定的实用价值。ijaija二、常用的确定各属性权的方法——本征向量法在用该法确定权时，可以用来度量A中各元素的估计的一致性。为此引入一致性指标CI：（9.15）CI与与表9.10所给同阶矩阵的随机指标RI之比称为一致性比率CR，即CR=CI/RI（9.16）比率CR可用来判定矩阵A能否被接受。若CR0.1，说明A中各元素的估计一致性太差,应重新估计。若CR0.1，则可认为A中各元素的估计基本一致,这时可以用(9.14)式求得,作为n个目标的权。nmaxija1maxnnCIw二、常用的确定各属性权的方法——本征向量法由CR=0.1和表9.10中的RI值,用式(9.15)和式(9.16)可以求得与n相应的临界本征值：由上式算得的见表9.10。一旦从矩阵A求得最大本征值大于，说明决策人所给出的矩阵A中各元素的一致性太差，不能通过一致性检验，需要决策人仔细斟酌，调整矩阵A中元素的值后重新计算，直到小于为止。nnRInnRICRnnCI11.011max'max'maxmax'ijaijamaxmaxmax'三、最底层目标权重的计算比较复杂的多属性决策问题的目标往往具有层次结构。根据不同层次的目标间的关系，可以把多层次的目标体系分成两类。一种是树状结构，如图9.2(a)所示，另一种是网状结构，如图9.2(b)所示。下面分别介绍这两种结构的最低层权重的设定方法。三、最底层目标权重计算—树状结构对于树状结构的目标体系，只要自上而下，即由树干向树梢，求树杈各枝相对于树杈的权，如图9.2(a)所示的系统，首先用第二分节介绍的方法确定第二层中的三个目标B、C、D相对总目标A的权且使；其次确定与第二层各目标相关联的第三层目标的权，共三组，使直到最低层目标相对上一层次目标的各组权全部设定为止。在求出上述各组权后，只要将上一层次目标的权与该目标相关的下一层目标的权相乘即得下一层目标关于总目标的权。例如目标H关于总目标的权，这样依次进行即可获得最低层各目标相对于总目标的权。321,,1321jiji3,2,11212H三、最底层目标权重计算—网状结构对网状结构目标体系，可用下述递推方法求最低层次各目标的权。设多目标决策问题的目标共有k+1级，其中第k-1、k和k+1级如图9.3所示，我们构造一个“第k+1级的某个元素对k-1级的某个元素z的优先函数”（优先函数表示第k+1级中各元素对第k-1级中的元素z的相对的重要即优先性），我们将此函数记作，则ixsixxxx,,,,,21三、最底层目标权重计算—网状结构（9.17）显然，这就是用对z的总要性乘以对的重要性去衡量对于z的优先性。siyxxjzirjyij,,1,1jyjzyixjyiyxjix三、最底层目标权重计算—网状结构如果令（9.18）则（9.19）即（9.20）可以记作：（9.21）jzkjikiiyijyxxbj,,1rjkjijkisib11,,1,krkjkksrsjssirijiirjrjkskikkbbbbbbbbbbbbbbbb212121222221111211111211kkkwBw1三、最底层目标权重计算—网状结构第三节加权和法一、一般加权和法二、字典序法三、层次分析法（AHP）一、一般加权和法加权和法的求解步骤很简单：①属性表规范化，得②确定各指标的权系数，③令（9.23）根据指标的大小排出方案的优劣。示例用加权和法求解例9.2—研究生院试评估。为了取得经验，先选5所研究生院收集有关数据资料进行了试评估。表9.3中所给出的是为了介绍各种数据预处理方法的需要而选的几种典型属性和经过调整了数据。。njmizij,,1;,,1,。njj,,1,njijjizC1iCmii,,1一、一般加权和法对例9.2中的属性值表9.3，其中属性2用式（9.5）进行数据预处理，其他属性用线性变换作数据预处理；设决策人设定各属性权重分别为0.2,0.3,0.4,0.1，则可得各属性的处理结果及加权和，如表9.11-1所示。njijjizC1njijjizC1一、一般加权和法由上表知，方案集X中的各方案排序为。而方案之所以能比优，是因为属性1远比方案优；若用式(9.7)对属性1作处理，所得结果见表9.11-2，这时方案比优。35421xxxxx5x3x3x3x5x35421xxxxx一、一般加权和法一、一般加权和法加权和法，包括评分打点，由于其简单、明了、直观，是人们最经常使用的多目标评价方法。采用加权和法的关键在于确定指标体系并设定各最低层指标的权系数：有了指标体系就可以设法利用统计数据或专家打分给出属性值表，有了权系数，具体的计算和排序就十分简单了。正因为此，以往的各种实际评估过程中总要把相当大的精力和时间用在确定指标体系和设定权上。一、一般加权和法使用加权和法意味着承认如下假设：①指标体系为树状结构，即每个下级指标只与一个上级指标相关联②每个属性的边际价值是线性的(优劣与属性值大小成比例)每两个属性都是相互价值独立的；③属性间的完全可补偿性：一个方案的某属性无论多差都可用其他属性来补偿。事实上，这些假设往往都不成立。首先，指标体系通常是网状的，即至少有一个下级指标同时与二个或二个以上的上级指标相关联。其次，属性的边际价值的线性常常是局部的，甚至有最优值为给定区间或点的情况存在，属性间的价值独立性条件也极难满足，至少是极难验证其满足。至于属性间的可补偿性通常只是部分的、有条件的。因此，使用加权和法要认识到加权和法本身存在的种种局限性并采