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前言：特别感谢质心教育的题库与解析，以及“程稼夫力学、电磁学习题答案详解”的作者前辈和血色の寂宁前辈的资料.非习题部分：P314积分中运用了近似，这里给出非近似解答：3-1磁矩：对轴：安培力矩重力力矩：平衡条件得.3-2先计算圆环上的电流如图取一小段圆弧，角度为2dθ，分析这一段物体，安培力为如图中ω的方向，安培力沿径向朝外设其两端张力大小均为T，它们的合力为，沿径向向里这一段圆弧的动力学方程，其中解得由于不转动时既没有安培力，也没有向心加速度，也就没有张力，故而转动时的张力也就是因转动产生的附加张力.3-3由于锥体顶角很小，粒子的速度沿磁场方向的分量都近似为其速率，设为.又，有垂直于磁场方向粒子做圆周运动得当运动了时，电子一定会回到轴上.即若，则聚焦到了屏上.解得.3-4考虑出射角度为θ为粒子，其运动在垂直于磁场平面内的投影为一个过原点的圆.设半径为r，记垂直于磁场的速度分量为，动力学方程：解得，当时才是题目描述的那种离子.解得1)若，则恒成立.比值为.2)若，则对应的立体角为比值为——前辈大神云：当年我没事练习积分的时候发现，找一个球面，沿垂直于一固定方向的平面切两刀，则无论如何切，两刀间的面积总是仅与两刀间的距离呈正比。（具体证明请在X轴上对球面面积取微分）于是这样一块面积便可以用两刀间距占直径的比例乘以总面积来求了。同样，这个发射粒子的范围也可以看作是两刀切出来的，只不过有一刀切在了边上。这种东西称为球冠。3-5由能量关系，解得初速度（1）此时粒子圆周运动，由弦切角定理，弧度为2α，又得（2）沿TM方向不受力，速度分量恒为；垂直于磁场方向的平面上，粒子的投影是匀速圆周运动.动力学方程：解得欲经过M点，须在时，圆周运动回到了圆周运动的起点，即解得.3-6首先考虑将所有粒子收集到原点，然后再偏转到新的范围内.要使一束平行入射的带电粒子汇聚于一点，所加磁场应恰好使得边界处粒子完成四分之一圆周运动抵达原点.由此设计，并考虑方向，可得答案：3-7简单画图可以发现，每个圆弧能将粒子的速度偏转一定角度，一共需要偏转角度为，要求半经最小，则有粒子进磁场和出磁场点之间连成直径.粒子在场区内的运动是半径一定的匀速圆周运动，设为.题中对a的约束意在指明两圆相离如前面分析的那样，总共要转过，又a与R的具体比值是不清楚的，所以一定是要先拐，再拐.为了区域半径最小，进出点应为圆区域的对径点.第一个圆区域，由几何关系；第二个圆区域，由几何关系解得.3-8当摆角为θ时，设摆的速度v，由能量守恒：解得设拉力为T，动力学方程：解得要求这个式子恒为正.极小值在取到为.但是未必能够达到那么大的速度，需要讨论.（1）若，便能达到.这要求且需要，解得因为是的必要条件，所以必有解得.（2）若，便不能达到，这时只需考虑最低点，因为那里最接近二次函数的极值点：解得前面的条件要求，故，解得.即时，在最低点恰好T=0，而时不会出现情况2)综上所述若，为情况（1），也就有，所以；若，为情况（2），.3-9（1）粒子x方向运动不受洛伦兹力，为匀变速直线运动：粒子在平面内做匀速圆周运动：（2）出发后时，粒子第一次经过x轴代入解得.（3），为整数个周期，即粒子回到x轴此时即粒子回到原点.粒子运动中占据的空间为一圆柱，轴线长即x坐标最大值：半径即粒子匀速圆周运动的半径：体积为.3-10因为E垂直于平面而质子轨迹在平面内，所以质子的动能守恒.因为洛伦兹力也垂直于平面，所以粒子匀速运动，且洛伦兹力与电场力平衡：，解得撤去电场后，质子运动在垂直于平面内的投影是匀速圆周运动：解得而在沿B方向匀速运动，故螺距为.3-11如图，速度方向、电场方向和磁场方向两两垂直，洛伦兹力与电场力平衡得取一小段时间，这期间冲到靶上的粒子的电量为.这些粒子的质量为.由动量定理其中F是质子束受到的力.作用在靶上的力是它的反作用力.3-12（1）在垂直于磁场方向粒子做匀速圆周运动，动力学方程解得沿磁场方向粒子做匀加速直线运动，动力学方程得在平面内的投影是一个经过原点的圆，圆心在z轴上.故时，粒子第n次穿过y轴，有（2）此时而在垂直于磁场方向速度分量为得.3-13（1）（2）动力学方程：取，记，有可见是以为角速度的匀速圆周运动的速度.由初始条件，解得，故有积分得到（3）粒子速度为零，即，由此解得，相邻的，所以（4）是匀速圆周运动的速度，平均下来是0，故漂移速度就是.它的x投影.3-14设粒子距离磁极r，轨道半径为R，回旋角速度为ω.粒子受力如图，其中动力学方程可由力三角表示，以为直角边的三角形，斜边为解得，故有.3-15设圆运动半径为R由第一个方程得结合第二个方程解得.3-16法一：建立空间直角坐标系如图.电子的动力学方程为取，记，有可见是以为角速度的匀速圆周运动的速度.由初始条件知圆运动这部分的半径，且与y轴相切，由几何关系临界是当时.解得法二：动力学方程的y分量：由此临界情况下电子到了正极板处速度沿y方向，又能量关系解得.3-17两小问顺序颠倒.（1）当粒子静止在O点时，可看成沿x正方向和负方向两个相等速度的叠加，此速度应满足：从而，x轴正方向的速度产生的洛伦兹力恰与电场力抵消，故沿x轴匀速直线运动.当例子到达顶点时，匀速圆周运动和匀速直线运动的速度方向一致.（2）根据运动的独立性，首先只考虑匀速圆周运动由速度合成可得.3-18撤去重力场，以等效的电场代之.动力学方程：取，记，有可见是以为角速度的匀速圆周运动的速度.由初始条件，知匀速圆周运动的线速度，得半径.由于沿水平方向，所以圆运动在这里达到最高点，为了不碰地，应有，解得.3-19第一阶段：竖直方向得.由于一开始vxvx肯定是不够大的，故会贴地匀加速运动.水平方向电场为小球加速，得至，第一阶段结束.第一阶段的速度最大值为第二阶段，动力学方程为取记，有可见是以为角速度的匀速圆周运动的速度.由初始条件，知线速度速度最大时圆运动的速度与漂移速度同向，第二阶段的速度最大值为综上，整个过程最大速度.3-20方法一：记这一段导管长为l，它受到安培力为，于是两壁压差为方法二：记这一段导管长为l，截面宽w.电流强度微观上表示为，n是载流子数密度.总洛伦兹力得到.3-21在稳定的状态，上下极板之间会有电势差，从而构成回路，有稳定的电流形成.由于把电离气体视为理想导体，所以只要其在z方向受到微小合外力即可产生沿着z方向任意大小电流的电流，因此可以认为这些电离的气体受到的洛仑兹力和电场力平衡，从而求出极板之间的电场和电势差.稳定时洛伦兹力与电场力平衡得相当于两板之间是一个电源，其电动势为，而内阻，来自于两个板.上极板是正极.由欧姆定律得，方向为P→Q.3-22法一：竖直方向只有重力作用，是上抛运动水平方向，得，有所以由二次函数性质，在时有最小值得到.法二：合外力，与初速度方向夹角，小球相当于在恒作用下斜抛，最小速率为相应的“水平”速度：3-23设横向电场E2，纵向电场E1.由横向电场力与洛伦兹力平衡：于是有.3-24（1）由动力学方程：得到，又回旋加速器中粒子作圆周运动的周期即为电场的周期解得（2）.3-25（1）定性判断知电子顺时针回旋.朝上发射的电子轨迹是以S为左端的圆，这个方向最容易发出去.达到时这种电子逸出了.解得.（2）能够射出的电子，其轨迹圆心都在S的右半边.由于电子顺时针回旋，电子总是轨迹圆与MN从较为靠上的交点射出.对于圆心在右下时，射出点在相切时最靠下.由几何关系对于圆心在右上时，射出点与S对径时最靠上.由几何关系所以（3）轨迹圆心在S右边的电子初速度方向是向上和斜向上的所有方向.故占.3-26数据不足无法得到答案，这里提供解法：（1）初速度设为，由，解得因为孔径角很小，近似为圆周运动，解得：（2）粒子同时在轴线附近做圆周运动，这一圆运动的周期取决于B1解得.为了有四个聚焦点，应有解得.3-27做这题的前提是知道磁镜及磁矩守恒利用在磁场缓变的状态下，粒子垂直于磁场方向的速度满足：为常数.因此有在边缘处和在中心处，垂直于磁场方向速度之比为，刚刚能飞出去的粒子在边缘处平行于磁场方向速度为零.设能逃出的粒子在两端的垂直磁场速度分量为，而它出发时速度方向与轴向夹角为.由磁矩守恒，有，解得由于洛仑兹力不做功，故.于是得到，比例为（注意有左右两边要乘2）：.3-28题设A的量纲明显不对，强行忽略就好了.动力学方程取，记，有可见是以为角速度的匀速圆周运动的速度.因为z方向无外力，故粒子会留在平面内，因为，所以圆周运动那部分也留在平面内，由初条件知圆与y轴相切.每经过一个周期就会经过y轴一次.3-29沿z方向的动力学方程，由，依次积分得：两个方向的动力学方程为令，由上两式可得，由解得由，积分得：分离实部虚部得：电子在z方向的运动，由一个沿z方向的匀速直线运动和另一个同样沿z方向的谐振动叠加；电子运动在平面内的投影是一条旋轮线.